Суперэллипс: Математикалық қисықтар отбасысы

Кіріспе

Жабық математикалық қисықтар отбасы

Суперэллипс, Габриэль Ламе есімімен аталған Ламе қисығы да, эллипс сияқты жабық қисық болып табылады, жартылай үлкен ось пен жартылай кіші осьтің геометриялық қасиеттерін және оларға қатысты симметриясын сақтайды, бірақ жалпы пішіні басқаша. Декарт координаталар жүйесінде қисықтағы барлық нүктелер жиынтығы келесі теңдеуді қанағаттандырады:

мұнда және – оң сандар, ал санның қос тік сызықтары сол санның абсолюттік шамасын білдіреді. Үш өлшемді жалпылау суперэллипсоид деп аталады (кейбір әдебиеттерде оны суперквадрик деп те атайды). Полярлық координаталар жүйесінде суперэллипстің теңдеуі (қисықтағы барлық нүктелер жиынтығы келесі теңдеуді қанағаттандырады):

Қоршау

Суперэллипстің периметрі, эллипстің периметрі сияқты, элементар функцияларды ғана қолдана отырып, жабық түрде шешілмейді. Суперэллипстің периметрі үшін нақты шешімдер шексіз қосындылар арқылы қол жеткізіледі; оларды жуықтап алу үшін оларды қысқартуға болады. Кез келген дәлдікпен периметрді бағалау үшін сандық интеграция да қолданылуы мүмкін. Үнемділік пен дәлдікті теңестіретін, символдық регрессия арқылы алынған жабық түрдегі жуықтау да мүмкіндік. 2D жазықтықтың төңірегіне ортақталған суперэллипсті қарастырайық. Енді, суперэллипстің (пішін параметрімен) бірінші квадранты (мысалы, , ) -тен , -ге дейінгі доға ретінде созылсын. Онда, осы жалғыз квадранттағы суперэллипстің доға ұзындығы келесі функция арқылы шамаланады:

h + (((((n * 0.88487077) * h + 0.2588574 / h) ^ (exp(n / 0.90069205) + h)) + 0.09919785) ^ (1.4812293 / n))

Бұл жалғыз квадранттың доға ұзындығының жуықтауы ±0.2% дейін дәлдікпен барлық мәндері үшін қолданылады және суперэллипстің жалпы периметрін тиімді бағалау үшін пайдаланылуы мүмкін.

Тарих

Форманың жалпы картезиандық белгісі француз математигі Габриэль Ламеден (1795–1870) алынған, ол эллипстің теңдеуін жалпылады. Герман Запфтың 1952 жылы жарық көрген Melior қаріпі «о» сияқты әріптер үшін суперэллипстерді қолданады. Отыз жылдан кейін Дональд Кнут өзінің Computer Modern қаріптер отбасына нақты эллипс пен суперэллипс арасында таңдау мүмкіндігін (екеуі де кубикалық сплайндармен жуықталған) енгізді. Суперэллипсті атауын даниялық ақын және ғалым Пит Хайн (1905–1996) берді, бірақ ол оны кейде айтылғандай өзі ашқан жоқ. 1959 жылы Швецияның Стокгольм қаласындағы қала жоспарлаушылар Сергельс Торг алаңындағы айналымдық жолдың дизайнына қатысты бәйге жариялады. Пит Хайннің жеңімпаз ұсынысы n = 2.5 және a/b = 6/5 параметрі бар суперэллипс негізінде жасалған. Ол былай түсіндірді:
Адам – өзі салған сызықтардың үстінен секіріп кететін жануар. Өркениеттің барлық үлгісінде екі бағыт болған: бірі – түзу сызықтар мен тікбұрыштарға, екіншісі – дөңгелек сызықтарға. Екі бағыттың да механикалық және психологиялық себептері бар. Түзу сызықтардан жасалған заттар жақсы үйлеседі және орынды үнемдейді. Ал дөңгелек сызықтардан жасалған заттардың маңында физикалық немесе рухани түрде оңай қозғалуға болады. Бірақ біз бірін таңдауға мәжбүрміз, ал көбінесе аралық форма жақсырақ болар еді. Стокгольмдегі тәжірибелік айналымдық жол сияқты қолмен салған нәрсе жарамайды. Ол бекітілмеген, шеңбер немесе шар сияқты нақты емес. Оның не екенін білмейсің. Ол эстетикалық тұрғыдан қанағаттандырмайды. Суперэллипс осы мәселені шешті. Ол дөңгелек те емес, тікбұрышты да емес, олардың арасында. Бірақ ол бекітілген, нақты – оның бірлігі бар. Сергельс Торг 1967 жылы аяқталды. Содан кейін Пит Хайн суперэллипсті басқа да заттарда қолданды, мысалы, төсектерде, ыдыстарда, үстелдерде және т.б. Ол суперэллипсті ең ұзын осінің айналасына айналдырып, тік тұра алатын жұмыртқа пішіндес супержұмыртқа жасады және оны жаңалық ретінде сатты. 1968 жылы Вьетнам соғысы жөніндегі келіссөздердегі Париждегі тараптар келіссөз үстелінің пішіні туралы келісе алмағанда, Балински, Кирон Андервуд және Холт Нью-Йорк Таймс газетіне жолдаған хатында суперэллипстік үстелді ұсынды, онда меридиандар суперэллипс доғаларынан тұрады. The Local жаңалықтар компаниясының логотипі Сергельс Торгтың пропорцияларына сәйкес еңкейтілген суперэллипстен тұрады. Питтсбург Стиллерс командасының логотипі үш байланысқан суперэллипстен жасалған. Компьютерлік технологиялар саласында iOS мобильді операциялық жүйесі 6-шы нұсқаға дейін қолданылған дөңгеленген бұрыштар стилін алмастырып, қосымшалар белгішелері үшін суперэллипс қисығын қолданады.

The general Cartesian notation of the form comes from the French mathematician Gabriel Lamé (1795–1870), who generalized the equation for the ellipse. Hermann Zapf's typeface Melior, published in 1952, uses superellipses for letters such as o. Thirty years later Donald Knuth would build the ability to choose between true ellipses and superellipses (both approximated by cubic splines) into his Computer Modern type family. The superellipse was named by the Danish poet and scientist Piet Hein (1905–1996) though he did not discover it as it is sometimes claimed. In 1959, city planners in Stockholm, Sweden announced a design challenge for a roundabout in their city square Sergels Torg. Piet Hein's winning proposal was based on a superellipse with n = 2.5 and a/b = 6/5. As he explained it:
Man is the animal that draws lines which he himself then stumbles over. In the whole pattern of civilization there have been two tendencies, one toward straight lines and rectangular patterns and one toward circular lines. There are reasons, mechanical and psychological, for both tendencies. Things made with straight lines fit well together and save space. And we can move easily — physically or mentally — around things made with round lines. But we are in a straitjacket, having to accept one or the other, when often some intermediate form would be better. To draw something freehand — such as the patchwork traffic circle they tried in Stockholm — will not do. It isn't fixed, isn't definite like a circle or square. You don't know what it is. It isn't esthetically satisfying. The super ellipse solved the problem. It is neither round nor rectangular, but in between. Yet it is fixed, it is definite — it has a unity. Sergels Torg was completed in 1967. Meanwhile, Piet Hein went on to use the superellipse in other artifacts, such as beds, dishes, tables, etc. By rotating a superellipse around the longest axis, he created the superegg, a solid egg like shape that could stand upright on a flat surface, and was marketed as a novelty toy. In 1968, when negotiators in Paris for the Vietnam War could not agree on the shape of the negotiating table, Balinski, Kieron Underwood and Holt suggested a superelliptical table in a letter to the New York Times. in which the meridians are arcs of superellipses. The logo for news company The Local consists of a tilted superellipse matching the proportions of Sergels Torg. Three connected superellipses are used in the logo of the Pittsburgh Steelers. In computing, mobile operating system iOS uses a superellipse curve for app icons, replacing the rounded corners style used up to version 6.