Введение

Семья замкнутых математических кривых

Суперэллипс, также известный как кривая Ламе, названная в честь Габриэля Ламе, — это замкнутая кривая, напоминающая эллипс, сохраняющая геометрические характеристики большой полуоси и малой полуоси, а также симметрию относительно них, но имеющая отличную общую форму. В декартовой системе координат множество всех точек на кривой удовлетворяет уравнению:

где и — положительные числа, а вертикальные черты вокруг числа обозначают его абсолютную величину. Трехмерное обобщение называется суперэллипсоидом (в некоторых источниках также именуемым суперквадрикой). В полярной системе координат уравнение суперэллипса (множество всех точек на кривой удовлетворяет уравнению) имеет вид:

Периметр

Периметр суперэллипса, как и эллипса, не имеет решения в замкнутой форме, выраженного только элементарными функциями. Точные решения для периметра суперэллипса существуют с использованием бесконечных сумм; их можно усечь для получения приближенных решений. Численное интегрирование – еще один способ получения оценок периметра с произвольной точностью. Приближение в замкнутой форме, полученное с помощью символьной регрессии, также является вариантом, который обеспечивает баланс между простотой и точностью. Рассмотрим суперэллипс, центрированный в начале координат 2D-плоскости. Теперь представим, что суперэллипс (с параметром формы *n*) растянут таким образом, что первый квадрант (например, *x*, *y*) представляет собой дугу от *x* до *y*, где *x* < *y*. Тогда длина дуги суперэллипса в этом единственном квадранте приближается следующей функцией от *x* и *y*:

h + (((((n * 0.88487077) * h + 0.2588574 / h) ^ exp(n / 0.90069205)) + h) + 0.09919785) ^ (1.4812293 / n)

Это приближение длины дуги в одном квадранте точно в пределах ±0,2% для всех значений *n*, и может быть использовано для эффективной оценки общего периметра суперэллипса.

История

Общее картографическое обозначение формы происходит от французского математика Габриэля Ламе (1795–1870), обобщившего уравнение для эллипса. Шрифт Melior Германа Запфа, опубликованный в 1952 году, использует суперэллипсы для букв, таких как «o». Тридцать лет спустя Дональд Кнут добавил в семейство шрифтов Computer Modern возможность выбора между истинными эллипсами и суперэллипсами (оба аппроксимируются кубическими сплайнами). Суперэллипс был назван датским поэтом и ученым Питом Хайном (1905–1996), хотя он не открыл его, как иногда утверждается. В 1959 году градостроители Стокгольма, Швеция, объявили конкурс на проектирование кольцевой развязки на городской площади Сергельс Торг. Победительское предложение Пита Хайна основывалось на суперэллипсе с n = 2,5 и a/b = 6/5. Как он объяснил:
Человек – это животное, которое проводит линии, о которые потом спотыкается. Во всей истории цивилизации прослеживаются две тенденции: одна – к прямым линиям и прямоугольным формам, другая – к круговым линиям. Обе тенденции имеют механические и психологические причины. Предметы, сделанные по прямым линиям, хорошо сочетаются друг с другом и экономят пространство. И мы можем легко перемещаться – физически или мысленно – вокруг предметов, сделанных по округлым линиям. Но мы ограничены, вынуждены выбирать одно или другое, хотя часто промежуточный вариант был бы лучше. Рисовать что-то от руки – например, экспериментальную кольцевую развязку, которую пробовали в Стокгольме, – не годится. Она не фиксирована, не определена, как круг или квадрат. Непонятно, что это такое. Это не эстетически удовлетворительно. Суперэллипс решил эту проблему. Он не круглый и не прямоугольный, а находится между ними. Но он фиксирован, он определен – он обладает целостностью. Сергельс Торг был завершен в 1967 году. Между тем, Пит Хайн продолжил использовать суперэллипс в других предметах, таких как кровати, посуда, столы и т. д. Повернув суперэллипс вокруг его длинной оси, он создал суперяйцо – цельную форму, похожую на яйцо, которое могло стоять вертикально на плоской поверхности и продавалось как новинка. В 1968 году, когда переговорщики в Париже по поводу войны во Вьетнаме не смогли договориться о форме стола для переговоров, Балински, Кирон Андервуд и Холт предложили суперэллиптический стол в письме в New York Times, в котором меридианы представляли собой дуги суперэллипсов. Логотип новостной компании The Local состоит из наклоненного суперэллипса, соответствующего пропорциям Сергельс Торг. Три соединенных суперэллипса используются в логотипе команды Pittsburgh Steelers. В вычислительной технике мобильная операционная система iOS использует кривую суперэллипса для значков приложений, заменяя стиль с закругленными углами, использовавшийся до версии 6.