Кіріспе
Сандардың үлкен класының трансценденттігі туралы
Математикада Гельфонд-Шнайдер теоремасы сандардың кең класының трансценденттігін дәлелдейді.
In mathematics, the Gelfond–Schneider theorem establishes the transcendence of a large class of numbers.
Тарих
Оны 1934 жылы Александр Гельфонд және Теодор Шнайдер дербес түрде дәлелдеген.
Айтылым
Егер a және b рационалды емес кешенді алгебралық сандар болса, онда ab-нің кез келген мәні трансцендентті сан болады.
Ескертпелер
a және b мәндері нақты сандармен ғана шектелмейді; кешенді сандарға рұқсат етіледі (мұнда кешенді сандардың жорамал бөлігі 0-ге тең болмаса, нақты және жорамал бөліктерінің екеуі де рационалды болса да, рационалды сандар ретінде қарастырылмайды). Жалпы, 1=ab = exp(b ln a) көпмәнді болады, мұнда ln – табиғи логарифмді білдіреді. Бұл теореманың тұжырымдамасындағы «кәз келген мәні» деген сөз тіркесіне түсіндірме береді. Теореманың баламалы тұжырымдамасы мынадай: егер α және γ нөлден өзге алгебралық сандар болса және α-ның кез келген нөлден өзге логарифмін алсақ, онда (log γ)/(log α) рационалды немесе трансцендентті болады. Бұл log α және log γ рационалдарға қатысты сызықтық тәуелсіз болса, олар алгебралық сандарға қатысты да сызықтық тәуелсіз болады деп түсіндіруге болады. Бұл тұжырымды бірнеше алгебралық сандардың логарифмдерінің жалпы сызықтық формаларына кеңейту трансцендентті сандар теориясының саласына жатады. Егер a және b алгебралық болу шарты алынса, тұжырым жалпы жағдайда дұрыс бола бермейді. Мысалы, мұнда a – e, ол (теореманың өзі дәлелдегендей) алгебралық емес, трансцендентті. Сол сияқты, егер 1=a = 3 және 1=b = (log 2)/(log 3), ол трансцендентті болса, онда 1=ab = 2 алгебралық болады. ab-нің трансцендентті мәнін беретін a және b мәндерінің сипаттамасы белгісіз. Курт Малер теореманың p-адық аналогын дәлелдеді: егер a және b Cp-де болса, Qp-нің алгебралық жабылуының толықтырылуы, және олар Q-ға алгебралық, ал егер және онда рационалды немесе трансцендентті болады, мұнда logp – p-адық логарифм функциясы.
Here, a is , which (as proven by the theorem itself) is transcendental rather than algebraic. Similarly, if 1=a = 3 and 1=b = (log 2)/(log 3), which is transcendental, then 1=ab = 2 is algebraic. A characterization of the values for a and b which yield a transcendental ab is not known. Kurt Mahler proved the p adic analogue of the theorem: if a and b are in Cp, the completion of the algebraic closure of Qp, and they are algebraic over Q, and if and then is either rational or transcendental, where logp is the p adic logarithm function.
Қолданбалар
Гелфонд-Шнайдер теоремасы Гилберттің жетінші мәселесіне жауап береді.