Введение
О трансцендентности большого класса чисел
В математике теорема Гельфонда — Шнайдера устанавливает трансцендентность широкого класса чисел.
In mathematics, the Gelfond–Schneider theorem establishes the transcendence of a large class of numbers.
История
Первоначально это было доказано независимо друг от друга в 1934 году Александром Гельфондом и Теодором Шнайдером.
Заявление
Если a и b — комплексные алгебраические числа, причём ни a, ни b не являются рациональными, то любое значение произведения ab является трансцендентным числом.
Комментарии
Значения a и b не ограничиваются действительными числами; допускаются комплексные числа (здесь комплексные числа не считаются рациональными, когда их мнимая часть не равна 0, даже если и действительная, и мнимая части рациональны). В общем случае, 1=ab = exp(b ln a) является многозначным, где ln обозначает натуральный логарифм. Это объясняет фразу "любое значение" в формулировке теоремы. Эквивалентная формулировка теоремы следующая: если α и γ – ненулевые алгебраические числа, и мы берем любой ненулевой логарифм α, то (log γ)/(log α) является либо рациональным, либо трансцендентным. Это можно выразить так: если log α и log γ линейно независимы над рациональными числами, то они линейно независимы над алгебраическими числами. Обобщение этого утверждения на более общие линейные формы в логарифмах нескольких алгебраических чисел относится к области трансцендентной теории чисел. Если ограничение, что a и b должны быть алгебраическими, снято, утверждение перестает быть верным в общем случае. Например, здесь a равно , которое (как доказано самой теоремой) является трансцендентным, а не алгебраическим. Аналогично, если 1=a = 3 и 1=b = (log 2)/(log 3), что является трансцендентным, то 1=ab = 2 является алгебраическим. Характеризация значений a и b, дающих трансцендентное ab, неизвестна. Курт Малер доказал p-адический аналог теоремы: если a и b принадлежат Cp, завершению алгебраического замыкания Qp, и они алгебраичны над Q, и если и , то является либо рациональным, либо трансцендентным, где logp – p-адическая логарифмическая функция.
Here, a is , which (as proven by the theorem itself) is transcendental rather than algebraic. Similarly, if 1=a = 3 and 1=b = (log 2)/(log 3), which is transcendental, then 1=ab = 2 is algebraic. A characterization of the values for a and b which yield a transcendental ab is not known. Kurt Mahler proved the p adic analogue of the theorem: if a and b are in Cp, the completion of the algebraic closure of Qp, and they are algebraic over Q, and if and then is either rational or transcendental, where logp is the p adic logarithm function.
Приложения
Теорема Гельфонда — Шнайдера утвердительно решает седьмую проблему Гильберта.