Кіріспе

Сандар теориясында, математиканың бір саласы, куспистік форма – Фурье қатарларын дамытуда нөлдік тұрақты мүшесі бар модульдік форманың ерекше түрі.

Кіріспе

Модульдік топтың модульді формалары үшін куспер формасы, Фурье қатардағы кеңейтімдегі тұрақты коэффициент a0-дің мәнін нөлге тең ету арқылы анықталады (q кеңейтілімін қараңыз).

Бұл Фурье кеңейтімі, модульдік топтың жоғарғы жарты жазықтықтағы әрекеті арқылы туындайды.

Басқа топтар үшін бірнеше бірліктер арқылы ауысу болуы мүмкін, сонда Фурье кеңейтімі басқа параметрлермен беріледі. Дегенмен, барлық жағдайларда q → 0 шегі, z-ның жолғары бөлігі ∞-ге ұмтылғандағы жоғарғы жарты жазықтықтағы шекке сәйкес келеді. Модульдік топ бойынша бөлу арқылы, бұл шек модульдік қисықтың кусперіне (жинақы ету үшін қосылған нүкте ретінде) сәйкес келеді. Осылайша, анықтама куспер формасының кусперде нөлге тең болатын модульдік форма екенін көрсетеді. Басқа топтар үшін бірнеше кусперлер болуы мүмкін, ал анықтама барлық кусперлерде нөлге тең болатын модульдік формаға айналады. Бұл бірнеше кеңейтімдерді қажет етуі мүмкін.

Өлшем

Кусп формалары кеңістіктерінің өлшемдері, принципте, Риманн-Рох теоремасы арқылы есептелуге болады. Мысалы, Раманужанның тау функциясы τ(n) модульдік топ үшін салмағы 12-ге тең құс формасының Фурье коэффициенттерінің тізбегі ретінде туындайды, мұнда a1 = 1. Мұндай формалардың кеңістігінің өлшемі 1-ге тең, яғни бұл анықтама мүмкін; және бұл кеңістіктегі Хекке операторларының скалярлық көбейту арқылы әрекет етуін түсіндіреді (Раманужанның өзіндік теңдіктерін Морделл дәлелдеген). Бұл модульдік дискриминант, ол эллиптік қисықтың Вейерштрасс теңдеуінің оң жағындағы кубикалық дискриминантты (нормалау тұрақтысына дейін) және Дедекинд эта-функциясының 24-ші дәрежесін көрсетеді. Мұндағы Фурье коэффициенттері былай жазылады және "Раманужанның тау функциясы" деп аталады, нормалау шарты τ(1) = 1.

Қарым-қатынас ұғымдары

Автоморфтық формалардың жалпы картинасында, кусп формалары Айзенштейн серияларына толықтырады, спектрлік теорияның әртүрлі салаларында кездесетін дискретті спектр / үздіксіз спектр немесе дискретті сериялық бейнелеу / туынды бейнелеу аражігінде. Яғни, Айзенштейн серияларын шұңқырларда белгілі бір мәндерді алу үшін "құруға" болады. Бұл, параболалық кіші топтардың өте күрделі теориясына және сәйкес келетін куспидальдық бейнелеулерге байланысты үлкен, жалпы теория болып табылады. Бір редуктивті топтың стандартты параболалық кіші тобын қарастырайық (адель сақинасы үстінде), егер барлық параболалық кіші топтар үшін стандартты минималды параболалық кіші топқа қатысты нөлге тең болса, онда автоморфтық форма куспидаль деп аталады. Бұл жазу тәсілі: .