Введение
В теории чисел, области математики, куспидальная форма — это особый вид модульной формы с нулевым постоянным коэффициентом в разложении в ряд Фурье.
Введение
В случае модульных форм для модульной группы, куспидальная форма характеризуется исчезновением постоянного коэффициента a0 в разложении в ряд Фурье (см. q-разложение). Это разложение в ряд Фурье существует как следствие действия модульной группы на верхней полуплоскости посредством преобразования. Для других групп может потребоваться сдвиг на несколько единиц, в этом случае разложение в ряд Фурье выражается через другой параметр. Однако, во всех случаях предел при q → 0 соответствует пределу на верхней полуплоскости при стремлении мнимой части z к ∞. Рассматривая фактор по модульной группе, этот предел соответствует куспиду модулярной кривой (в смысле точки, добавленной для компактификации). Таким образом, определение сводится к тому, что куспидальная форма – это модулярная форма, обращающаяся в нуль на куспиде. В случае других групп может быть несколько куспидов, и определение становится модулярной формой, обращающейся в нуль на всех куспидах. Это может потребовать нескольких разложений.
This Fourier expansion exists as a consequence of the presence in the modular group's action on the upper half plane via the transformation
For other groups, there may be some translation through several units, in which case the Fourier expansion is in terms of a different parameter. In all cases, though, the limit as q → 0 is the limit in the upper half plane as the imaginary part of z → ∞. Taking the quotient by the modular group, this limit corresponds to a cusp of a modular curve (in the sense of a point added for compactification). So, the definition amounts to saying that a cusp form is a modular form that vanishes at a cusp. In the case of other groups, there may be several cusps, and the definition becomes a modular form vanishing at all cusps. This may involve several expansions.
Размер
Размеры пространств куспидальных форм, в принципе, вычислимы с помощью теоремы Римана — Роха. Например, функция Рамануджана тау τ(n) возникает как последовательность коэффициентов Фурье куспидальной формы веса 12 для модулярной группы, при a1 = 1. Пространство таких форм имеет размерность 1, что означает возможность такого определения; и это объясняет, почему действие операторов Гекке на этом пространстве задается умножением на скаляр (доказательство Морделла тождеств Рамануджана). Явно это модульный дискриминант, который представляет (с точностью до нормализующей константы) дискриминант кубического многочлена в правой части уравнения Вейерштрасса эллиптической кривой, а также 24-ю степень функции Дедекинда эта. Коэффициенты Фурье здесь записываются и называются функцией Рамануджана тау, с нормализацией τ(1) = 1.
which represents (up to a normalizing constant) the discriminant of the cubic on the right side of the Weierstrass equation of an elliptic curve; and the 24 th power of the Dedekind eta function. The Fourier coefficients here are written
and called 'Ramanujan's tau function', with the normalization τ(1) = 1.
Связанные понятия
В более широкой картине автоморфных форм, куспидальные формы дополняют ряды Эйзенштейна, что соответствует разделению на дискретный и непрерывный спектры, или на дискретные и индуцированные представления, типичному для различных областей спектральной теории. Иными словами, ряды Эйзенштейна можно сконструировать таким образом, чтобы они принимали заданные значения в куспидах. Существует обширная общая теория, однако она опирается на достаточно сложную теорию параболических подгрупп и соответствующих куспидальных представлений. Рассмотрим стандартную параболическую подгруппу некоторой редуктивной группы (над кольцом аделей), автоморфная форма на называется куспидальной, если для всех параболических подгрупп , таких что , выполняется условие , где – стандартная минимальная параболическая подгруппа. Обозначение для определяется как .