Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Жалпы топологияның математикалық саласында, Stone–Čech компактификациясы (немесе Čech–Stone компактификациясы) – топологиялық X кеңістігінен компактты Hausdorff кеңістігіне βX универсалды бейнелеуді құру тәсілі. Топологиялық кеңістік X-тің Stone–Čech компактификациясы βX – X кеңістігімен "жасалатын" ең ірі, ең жалпылама компактты Hausdorff кеңістігі, яғни X-тен компактты Hausdorff кеңістігіне кез келген үздіксіз бейнелеу βX арқылы өтеді (бірегей тәсілмен). Егер X – Тихонов кеңістігі болса, онда X-тен βX-тегі бейнеге дейінгі бейнелеу гомеоморфизм болады, сондықтан X-ті βX-тің (тығыз) ішкі кеңістігі деп қарастыруға болады; X-ті тығыз қамтитын кез келген басқа компактты Hausdorff кеңістігі – βX-тің факторлық кеңістігі болып табылады. Жалпы X топологиялық кеңістіктері үшін X-тен βX-ке дейінгі бейнелеу инъективті болуы міндетті емес. Әрбір топологиялық кеңістіктің Stone–Čech компактификациясы бар екенін дәлелдеу үшін таңдау аксиомасының бір түрі қажет. Тіпті өте қарапайым X кеңістіктері үшін де βX-тің қолжетімді нақты сипаттамасын табу қиын. Атап айтқанда, βX \ X бос емес екенін дәлелдеу βX \ X-тің нақты бір нүктесін анықтап көрсетпейді. Stone–Čech компактификациясы алғаш рет еңбектерінде жасырын түрде кездеседі және кейіннен және еңбектерінде нақты түрде берілді.
In the mathematical discipline of general topology, Stone–Čech compactification (or Čech–Stone compactification) is a technique for constructing a universal map from a topological space X to a compact Hausdorff space βX. The Stone–Čech compactification βX of a topological space X is the largest, most general compact Hausdorff space "generated" by X, in the sense that any continuous map from X to a compact Hausdorff space factors through βX (in a unique way). If X is a Tychonoff space then the map from X to its image in βX is a homeomorphism, so X can be thought of as a (dense) subspace of βX; every other compact Hausdorff space that densely contains X is a quotient of βX. For general topological spaces X, the map from X to βX need not be injective. A form of the axiom of choice is required to prove that every topological space has a Stone–Čech compactification. Even for quite simple spaces X, an accessible concrete description of βX often remains elusive. In particular, proofs that βX \ X is nonempty do not give an explicit description of any particular point in βX \ X. The Stone–Čech compactification occurs implicitly in a paper by and was given explicitly by and .
Тарих
Андрей Николаевич Тихонов 1930 жылы Хаусдорф кеңістіктеріндегі патологиялық жағдайды болдырмау мақсатымен толық реттелген кеңістіктерді енгізді, олардың жалғыз үздіксіз, нақты мәнді функциялары тұрақты функциялар болып табылады. 1930 жылғы мақаласында, Тихонов толық реттелген кеңістіктерді анықтағаннан кейін, ол әрбір Тихонов кеңістігінің (яғни Хаусдорф толық реттелген кеңістігінің) Хаусдорф тығыздалуы бар екенін дәлелдеді (сол мақалада ол Тихонов теоремасын да дәлелдеді). 1937 жылы Чех Тихоновтың әдістемесін кеңейтіп, осы тығыздалуды белгілеу үшін βX белгісін енгізді. Стоун да 1937 жылғы мақаласында βX құрастырды, бірақ мүлдем басқа әдіс қолданды. Тихоновтың мақаласы Stone-Čech тығыздалуы тақырыбындағы алғашқы жұмыс болғанына және Стоун мен Чех екеуі де Тихоновтың мақаласына сілтеме жасағанына қарамастан, Тихоновтың есімі көбінесе βX-пен байланыстырылмайды.
Andrey Nikolayevich Tikhonov introduced completely regular spaces in 1930 in order to avoid the pathological situation of Hausdorff spaces whose only continuous real valued functions are constant maps. In the same 1930 article where Tychonoff defined completely regular spaces, he also proved that every Tychonoff space (i. e. Hausdorff completely regular space) has a Hausdorff compactification (in this same article, he also proved Tychonoff's theorem). In 1937, Čech extended Tychonoff's technique and introduced the notation βX for this compactification. Stone also constructed βX in a 1937 article, although using a very different method. Despite Tychonoff's article being the first work on the subject of the Stone–Čech compactification and despite Tychonoff's article being referenced by both Stone and Čech, Tychonoff's name is rarely associated with βX.
Мысалдар
Егер X компактты Хаусдорф кеңістігі болса, онда ол өзінің Stone–Čech компактификациясымен сәйкес келеді. Басқа Stone–Čech компактификацияларының көпшілігі нақты сипаттамаға ие емес және өте қиын қолданылады. Ерекше жағдайлар:
If X is a compact Hausdorff space, then it coincides with its Stone–Čech compactification. Most other Stone–Čech compactifications lack concrete descriptions and are extremely unwieldy. Exceptions include:
Бірінші санаусыз ординалдың реттік топологиясымен Stone–Čech компактификациясы – сол ординалдың өзі. Қысқартылған Тихонов жазықтығының Stone–Čech компактификациясы – Тихонов жазықтығы.
The Stone–Čech compactification of the first uncountable ordinal , with the order topology, is the ordinal The Stone–Čech compactification of the deleted Tychonoff plank is the Tychonoff plank.
C*-алгебраларды қолдану арқылы құрастыру
Stone–Čech тығыздалуы Cb(X) спектріне табиғи түрде гомеоморфты. Мұнда Cb(X) – X-тегі барлық үздіксіз, шектелген кешенді мәнді функциялардың C* алгебрасын жоғарғы нормасымен (sup нормасымен) білдіреді. Cb(X) алгебрасы C0(X) көбейтуші алгебрасына каноникалық түрде изоморфты екенін ескеріңіз.
The Stone–Čech compactification is naturally homeomorphic to the spectrum of Cb(X). Here Cb(X) denotes the C* algebra of all continuous bounded complex valued functions on X with sup norm. Notice that Cb(X) is canonically isomorphic to the multiplier algebra of C0(X).
Қолданба: нақты сандар тізбектерінің шекаралы кеңістігінің қос кеңістігі
Stone–Čech тығыздалуы βN (R немесе C скалярлы өрістегі барлық шектелген тізбектердің Банах кеңістігі, жоғары нормасымен) және оның қос кеңістігін сипаттау үшін қолданылуы мүмкін. Берілген шектелген тізбекке сәйкес скалярлық өрісте жабық шар B бар, оның ішінде тізбектің бейнесі орналасқан. Сонда a – N-ден B-ге функция болады. N дискретті, ал B компактты және Хаусдорфтық болғандықтан, a үздіксіз. Жалпы қасиетке сәйкес, βa : βN → B бірегей кеңейтуі бар. Бұл кеңейту қарастырылатын B шарына тәуелді емес. Біз шектелген скалярлық мәнді тізбектер кеңістігінен βN үстіндегі үздіксіз функциялар кеңістігіне дейінгі кеңейту операторын анықтадық. Бұл оператор биективті, себебі C(βN) кеңістігіндегі әрбір функция шектелген болуы керек және оны шектелген скалярлық тізбекке шектеуге болады. Егер екі кеңістікті де жоғары нормасымен қарастырсақ, кеңейту операторы изометрияға айналады. Шындығында, жоғарыдағы құрылымда ең кішкентай мүмкін B шарын алсақ, кеңейтілген тізбектің жоғары нормасы өспейтінін көреміз (кеңейтілген функцияның бейнесі үлкен болса да). Осылайша, ол C(βN) кеңістігімен сәйкестендіріледі. Бұл Риес өкілдік теоремасын қолдануға және оның қос кеңістігін βN кеңістігіндегі шекті Борель өлшемдерінің кеңістігімен сәйкестендіруге мүмкіндік береді. Соңында, бұл әдіс кездейсоқ өлшем кеңістігі X-тің L∞ кеңістігіне де жалпыланатынын атап өткен жөн. Алайда, X кеңістігіндегі ультрафильтрлердің βX кеңістігін қарастырудың орнына, осы құрылымды жалпылаудың дұрыс жолы – X-тің өлшем алгебрасының Y тас кеңістігін қарастыру: C(Y) және L∞(X) кеңістіктері C* алгебралары ретінде изоморфты болады, егер X жеткілікті шектілік шартын қанағаттандырса (оң өлшемге ие кез келген жиын оң шекті өлшемге ие кіші жиынды қамтиды).
The Stone–Čech compactification βN can be used to characterize (the Banach space of all bounded sequences in the scalar field R or C, with supremum norm) and its dual space. Given a bounded sequence there exists a closed ball B in the scalar field that contains the image of is then a function from N to B. Since N is discrete and B is compact and Hausdorff, a is continuous. According to the universal property, there exists a unique extension βa : βN → B. This extension does not depend on the ball B we consider. We have defined an extension map from the space of bounded scalar valued sequences to the space of continuous functions over βN. This map is bijective since every function in C(βN) must be bounded and can then be restricted to a bounded scalar sequence. If we further consider both spaces with the sup norm the extension map becomes an isometry. Indeed, if in the construction above we take the smallest possible ball B, we see that the sup norm of the extended sequence does not grow (although the image of the extended function can be bigger). Thus, can be identified with C(βN). This allows us to use the Riesz representation theorem and find that the dual space of can be identified with the space of finite Borel measures on βN. Finally, it should be noticed that this technique generalizes to the L∞ space of an arbitrary measure space X. However, instead of simply considering the space βX of ultrafilters on X, the right way to generalize this construction is to consider the Stone space Y of the measure algebra of X: the spaces C(Y) and L∞(X) are isomorphic as C* algebras as long as X satisfies a reasonable finiteness condition (that any set of positive measure contains a subset of finite positive measure).