Введение
В математической дисциплине общей топологии, компактификация Стоуна — Чеха (или Чеха — Стоуна) — это метод построения универсального отображения из топологического пространства X в компактное хаусдорфово пространство βX. Компактификация Стоуна — Чеха βX топологического пространства X является наибольшим, наиболее общим компактным хаусдорфовым пространством, "порожденным" X, в том смысле, что любое непрерывное отображение из X в компактное хаусдорфово пространство факторизуется через βX (единственным образом). Если X — пространство Тихонова, то отображение из X в его образ в βX является гомеоморфизмом, поэтому X можно рассматривать как (плотное) подпространство βX; любое другое компактное хаусдорфово пространство, плотно содержащее X, является факторпространством βX. Для общих топологических пространств X отображение из X в βX не обязательно должно быть инъективным. Требуется форма аксиомы выбора, чтобы доказать, что каждое топологическое пространство имеет компактификацию Стоуна — Чеха. Даже для достаточно простых пространств X доступное конкретное описание βX часто остается неуловимым. В частности, доказательства того, что βX \ X не пусто, не дают явного описания какой-либо конкретной точки в βX \ X. Компактификация Стоуна — Чеха неявно появляется в работе и была дана явно и .
История
Андрей Николаевич Тихонов ввёл полностью регулярные пространства в 1930 году, чтобы избежать патологической ситуации пространств Хаусдорфа, единственными непрерывными функциями с вещественными значениями в которых являются постоянные функции. В той же статье 1930 года, где Тихонов определил полностью регулярные пространства, он также доказал, что каждое пространство Тихонова (то есть, хаусдорфово полностью регулярное пространство) имеет компактификацию Хаусдорфа (в этой же статье он также доказал теорему Тихонова). В 1937 году Чех обобщил технику Тихонова и ввёл обозначение βX для этой компактификации. Стоун также построил βX в статье 1937 года, хотя и использовал совершенно иной метод. Несмотря на то, что статья Тихонова является первой работой, посвящённой компактификации Стоуна-Чеха, и несмотря на то, что на статью Тихонова ссылались как Стоун, так и Чех, имя Тихонова редко связывают с βX.
Примеры
Если X — компактное пространство Хаусдорфа, то оно совпадает со своей компактификацией по Стоуну — Чеху. Большинство других компактификаций по Стоуну — Чеху не имеют конкретных описаний и чрезвычайно неудобны в обращении. Исключения составляют:
Компактификация по Стоуну — Чеху первого несчётного ординала с топологией порядка является этим же ординалом. Компактификация по Стоуну — Чеху удалённой планки Тихонова является планкой Тихонова.
Конструкция с использованием C*-алгебры
Компактификация Стоуна — Чеха естественным образом гомеоморфна спектру Cb(X). Здесь Cb(X) обозначает C*-алгебру всех непрерывных ограниченных комплекснозначных функций на X с супремум-нормой. Отметьте, что Cb(X) канонически изоморфна алгебре мультипликаторов C0(X).
Применение: двойное пространство пространства ограниченных последовательностей действительных
Компактификация Стоуна–Чеха βN может быть использована для характеризации (пространства Банаха всех ограниченных последовательностей в скалярном поле R или C, с супремум-нормой) и его двойственного пространства. Для любой ограниченной последовательности существует замкнутый шар B в скалярном поле, содержащий её образ, то есть функцию из N в B. Поскольку N дискретен, а B компактен и хаусдорфов, эта функция a непрерывна. Согласно универсальному свойству, существует единственное расширение βa : βN → B. Это расширение не зависит от выбора шара B. Таким образом, мы определили отображение расширения из пространства ограниченных скалярнозначных последовательностей в пространство непрерывных функций на βN. Это отображение биективно, поскольку каждая функция в C(βN) ограничена и может быть ограничена на ограниченную скалярную последовательность. Если рассматривать оба пространства с супремум-нормой, то отображение расширения становится изометрией. Действительно, если в вышеописанной конструкции взять наименьший возможный шар B, то видно, что супремум-норма расширенной последовательности не увеличивается (хотя образ расширенной функции может быть больше). Следовательно, пространство можно отождествить с C(βN). Это позволяет использовать теорему Рисса о представлении и установить, что двойственное пространство можно отождествить с пространством конечных борелевских мер на βN. Наконец, следует отметить, что этот метод обобщается на пространство L∞ произвольного пространства с мерой X. Однако вместо простого рассмотрения пространства βX ультрафильтров на X, правильный способ обобщения этой конструкции – рассмотреть каменное пространство Y мерыной алгебры X: пространства C(Y) и L∞(X) изоморфны как C*-алгебры, при условии, что X удовлетворяет разумному условию конечности (любое множество положительной меры содержит подмножество конечной положительной меры).