Кіріспе
Топологияның саласы
Математикада, төмен өлшемді топология – төрт немесе одан аз өлшемді манифольдтарды, немесе жалпырақ айтқанда топологиялық кеңістіктерді зерттейтін топологияның саласы. Типтік тақырыптарға 3 және 4 манифольдтардың құрылымдық теориясы, түйіндер теориясы және өрімдер тобы жатады. Бұл геометриялық топологияның бір бөлігі деп қарастыруға болады. Сонымен қатар, бұл 1 өлшемді топологиялық кеңістіктерді зерттеуге қатысты болуы мүмкін, бірақ мұндай зерттеулер көбінесе континуум теориясының аясында қарастырылады.
Тарих
1960 жылдары басталған бірқатар табыстар топологияда төмен өлшемдерге ерекше назар аударуға ықпал етті. 1961 жылы Стивен Смелдің бес немесе одан жоғары өлшемде Поанкаре болжамын шешуі үш және төрт өлшемнің ең қиын екенін көрсетті; шындығында, оларға жаңа әдістер қажет болды, ал жоғары өлшемдердің мүмкіндіктері хирургия теориясында қолданылатын есептеу әдістерімен мәселелерді шешуге мүмкіндік берді. 1970-ші жылдардың соңында қалыптасқан Турстонның геометриялық болжамы геометрия мен топологияның төмен өлшемдерде тығыз байланысты екенін көрсететін тұжырым ұсынды, ал Турстонның Хакен манифольды үшін геометрияны дәлелдеуі бұрын нашар байланысқан математика салаларынан әртүрлі құралдарды пайдаланды. Воган Джонстың 1980-ші жылдардың басында Джонс полиномиалын ашқандығы түйін теориясын жаңа бағыттарға жетеледі және төмен өлшемді топология мен математикалық физика арасындағы әлі де түсініксіз байланыстарды тудырды. 2002 жылы Григорий Перельман үш өлшемді Поанкаре болжамын, Ричард С. Гамильтонның Риччи ағынын қолдана отырып, геометриялық талдау саласына жататын дәлелді жариялады. Жалпы алғанда, бұл прогресс осы саланы математиканың басқа салаларымен одан да жақсы интеграциялауға мүмкіндік берді.
Екі өлшемді
Бет – екі өлшемді топологиялық көптүрлілік. Ең көп танылатын мысалдар – қалыпты үш өлшемді Евклид кеңістігіндегі қатты денелердің шекараларынан туындайтын R3 мысалдары, мысалы, шардың беті. Дегенмен, Клейн бөтелкесі сияқты кейбір беттерді ерекшеліктерді немесе өзімен-өзі қиылысуларды тудырмай үш өлшемді Евклид кеңістігіне ендіру мүмкін емес.
Тейхмюллер кеңістігі
Математикада (нақты) топологиялық бет X-тің Тейхмюллер кеңістігі TX – X бетіндегі күрделі құрылымдарды, сәйкестік гомеоморфизміне изотопты гомеоморфизм әрекетіне дейін параметрлейтін кеңістік. TX кеңістігінің әрбір нүктесін "белгіленген" Риман беттерінің изоморфизм класы ретінде қарастыруға болады, мұнда "белгілеу" – X-тен X-ке дейінгі гомеоморфизмдердің изотопия класы. Тейхмюллер кеңістігі (Riemann) модульдер кеңістігінің әмбебап жабындысы болып табылады. Тейхмюллер кеңістігінде канондық күрделі көпқырлы құрылым және көптеген табиғи метрикалар бар. Тейхмюллер кеңістігінің негізгі топологиялық кеңістігін Фрике зерттеген, ал Тейхмюллер метрикасын ол енгізген.
Біркелкілік теоремасы
Математикада біркелкілік теоремасы әрбір жай байланысқан Риман беті ашық бірлік дискіге, күрделі жазықтыққа немесе Риман сферасына конформды түрде тең екенін айтады. Атап айтқанда, ол тұрақты қисықтығы бар Риман метрикасын қабылдайды. Бұл Риман беттерін олардың әмбебап жамылғысына сәйкес эллипстік (оң қисықтыққа ие, яғни тұрақты оң қисықтық метрикасын қабылдайтын), параболалық (жазық) және гиперболалық (теріс қисықтыққа ие) деп жіктейді. Біркелкілік теоремасы – жазықтықтың дұрыс жай байланысқан ашық ішкі жиындарынан жай байланысқан Риман беттеріне Риманнің бейнелеу теоремасының жалпыламасы болып табылады.
Үш өлшемді
Топологиялық X кеңістігі 3-көптік болып есептеледі, егер X-тің әрбір нүктесі үшін Евклидтік 3 кеңістігіне гомеоморфты болатын шұғыласы болса. Топологиялық, бөлшектік-сызықтық және тегіс санатар үш өлшемде эквивалентті, сондықтан, мысалы, топологиялық 3-көптіктермен немесе тегіс 3-көптіктермен жұмыс істейміз деген айырмашылық көбінесе маңызды емес. Үш өлшемдегі құбылыстар басқа өлшемдердегілерден күрт өзгеше болуы мүмкін, сондықтан үш өлшемнен жоғары өлшемдерге жалпыланбайтын, арнайы техникалар кеңінен қолданылады. Осы ерекшелік түйін теориясы, геометриялық топтар теориясы, гиперболалық геометрия, сандар теориясы, Тейхмюллер теориясы, топологиялық кванттық өріс теориясы, өлшеу теориясы, Флор гомологиясы және дербес дифференциалдық теңдеулер сияқты әртүрлі салалармен тығыз байланыстарды ашуға мүмкіндік берді. 3-көптіктер теориясы төмен өлшемді топологияның немесе геометриялық топологияның бір бөлігі саналады.
Торап және тоқыма теориясы
Тораптар теориясы – математикалық тораптарды зерттейтін ғылым. Күнделікті өмірде аяқ киімнің шнурларында немесе арқанда кездесетін түйіндерден шабыттанғанмен, математиктер зерттейтін тораптың ерекшелігі – оның екі ұшы біріктірілгендіктен, оны шешу мүмкін емес. Математикалық тұрғыда торап – үш өлшемді Евклид кеңістігіндегі (R3) шеңбердің енуі болып табылады (топологияны қолданғандықтан, шеңбер классикалық геометриялық ұғыммен ғана емес, сонымен қатар оның барлық гомеоморфизмдерімен байланысты). Егер бір торапты R3 кеңістігінде өзіне-өзі деформациялау арқылы (әлеуметтік изотопия деп аталады) екінші торапқа түрлендіруге болады, онда екі математикалық торап эквивалентті болып саналады. Бұл түрлендірулер торапталған жіпті кеспей немесе жіпті өзінен өткізбей жасалатын манипуляцияларға сәйкес келеді. Тораптық комплементтер жиі зерттеледі. K торабының тораптық комплементі – торапты қоршап тұрған үш өлшемді кеңістік. Бұл тұжырымды нақтылау үшін, K торабы үш түрлі М кеңістігінде орналасқан деп есептейік (көбінесе М – 3 сфера). N – K торабының түтікшелі аймағы болсын, яғни N – қатты тор. Тораптық комплемент – N-нің толықтыруы.
Байланысты тақырып – тоқымдар теориясы. Тоқымдар теориясы – күнделікті тоқымдар ұғымын және оның кейбір жалпыламаларын зерттейтін абстрактілі геометриялық теория. Тоқымдарды топтарға жіктеуге болады, онда топтық операция – «арқандар жиынтығында бірінші тоқымды жасап, содан кейін оны иілген арқандарда екінші тоқыммен орындау» болып табылады. Мұндай топтарды нақты түрде сипаттауға болады, осы мәселе бойынша мақала қарастырылған. Тоқымдар топтарына терең математикалық түсіндірме беруге болады, олар белгілі бір конфигурациялық кеңістіктердің негізгі тобы ретінде қарастырылады.
Гиперболалық 3-көптүрлілік
Гиперболалық 3-көршік – тұрақты қималық қисықтығы -1 болатын толық Риманн метрикасымен жабдықталған 3-көршік. Басқаша айтқанда, ол гиперболалық изометриялардың кіші тобының үш өлшемді гиперболалық кеңістікте еркін және дұрыс үздіксіз әрекет етуінен алынған бөлік. Клейн моделіне де қараңыз. Оның қалың-жұқа ыдырауында жабық геодезиялықтардың және/немесе Евклидтік бет пен жабық жарты сәуле көбейтіндісі түріндегі ұштарының түтікшелі аймақтарынан тұратын жұқа бөлігі бар. Көршік шекті көлемді болады, егер және тек қана оның қалың бөлігі тығыз болса. Бұл жағдайда ұштары тордың жабық жарты сәулеге көбейтіндісі түрінде болады және олар тұйықтар деп аталады. Тораптық толықтырулар – ең көп зерттелген тұйықталған көршіктер.
Пуанкаре болжамы мен геометриялық
Турстонның геометриялық болжамы белгілі бір үш өлшемді топологиялық кеңістіктердің әрқайсысымен байланыстырылатын бірегей геометриялық құрылымға ие екенін мәлімдейді. Бұл екі өлшемді беттерге қатысты біркелкілік теоремасының аналогы болып табылады, онда кез келген жай байланысқан Риман бетіне үш геометрияның бірі (евклидтік, сфералық немесе гиперболалық) берілуі мүмкін. Үш өлшемде топологиялық кеңістіктің бәріне бір геометрияны тағайындау әрқашан мүмкін болмайды. Оның орнына, геометриялық болжам бойынша, кез келген жабық 3-көптүрлілік канондық түрде геометриялық құрылымның сегіз түрінің біріне ие бөлшектерге бөлінеді. Бұл болжамды және ол Пуанкаре болжамы және Турстонның эллиптизация болжамы сияқты басқа да бірнеше болжамдарды қамтиды.
Төрт өлшем
4 өлшемді топологиялық көпқырлы. Тегіс 4 көпқырлы — бұл тегіс құрылымы бар 4 көпқырлы. Төртінші өлшемде, төменгі өлшемдерден айырмашылығы, топологиялық және тегіс көпқырлылар өте ерекше. Тегіс құрылымды қабылдамайтын кейбір топологиялық 4 көпқырлылар бар, тіпті егер тегіс құрылым болса да, ол бірегей болуы міндетті емес (яғни, гомеоморфты, бірақ дифеоморфты емес тегіс 4 көпқырлылар бар). 4 көпқырлылар физикада маңызды, себебі жалпы салыстырмалылық теориясында кеңістік-уақыт псевдо-Риманнның 4 көпқырлысы ретінде модельденеді.
Экзотикалық R4
Экзотикалық R4 — Евклид кеңістігі R4-ке гомеоморфты, бірақ дифеоморфты емес дифференциалдалатын көптік. Алғашқы мысалдарды 1980 жылдардың басында Майкл Фридман, Фридманның топологиялық 4-көптүрліліктер туралы теоремалары мен Саймон Дональдсонның тегіс 4-көптүрліліктер туралы теоремалары арасындағы қайшылықты пайдаланып тапты. Клиффорд Таубес алғаш көрсеткендей, R4-тің дифеоморфты емес дифференциалдалатын құрылымдарының континуумы бар. Бұл құрылымға дейін сфералардағы дифеоморфты емес тегіс құрылымдар – экзотикалық сфералар – бар екені белгілі болған, бірақ 4-сфераның нақты жағдайы үшін мұндай құрылымдардың болуы туралы мәселе ашық қалды (және бүгінгі күнге дейін де ашық). 4-тен басқа кез келген оң бүтін сан n үшін Rn-де экзотикалық тегіс құрылымдар жоқ; яғни, егер n ≠ 4 болса, онда Rn-ге гомеоморфты кез келген тегіс көптік Rn-ге дифеоморфты болады.
Төрт өлшемдегі басқа ерекше құбылыстар
Көптүрліліктер туралы бірнеше негізгі теоремалар бар, оларды ең көп дегенде 3 өлшемде төмен өлшемді әдістермен, ал кем дегенде 5 өлшемде мүлдем басқа жоғары өлшемді әдістермен дәлелдеуге болады, бірақ олар 4 өлшемде жалған. Міне, бірнеше мысал: 4-тен басқа өлшемдерде Кирби-Зибенманн инварианты PL-құрылымның болуына кедергі келтіреді; яғни, компактты топологиялық көптүрлілік PL-құрылымға ие, егер және тек қана оның Кирби-Зибенманн инварианты H4(M, Z/2Z) жойылса. 3-өлшемде және одан төмен, кез келген топологиялық көптүрлілік негізінен бірегей PL-құрылымға ие. 4-өлшемде Кирби-Зибенманн инварианты жойылған, бірақ PL-құрылымы жоқ көптеген мысалдар бар. 4-тен басқа кез келген өлшемде, компактты топологиялық көптүрлілік тек шекті сандағы нақты ерекше PL немесе тегіс құрылымдарға ие. 4-өлшемде, тығыз көптүрлілікте дифеоморфты емес тегіс құрылымдардың санаулы сансыз саны болуы мүмкін. Төрт – бұл Rn экзотикалық тегіс құрылымы болуы мүмкін жалғыз n өлшем. R4 экзотикалық тегіс құрылымдардың санаулы сансыз санына ие; экзотикалық R4-ке қараңыз. Тегіс Пуанкаре болжамының шешімі 4-өлшемнен басқа барлық өлшемдерде белгілі (әдетте ол кем дегенде 7-өлшемде жалған; экзотикалық сфераны қараңыз). PL-көптүрліліктер үшін Пуанкаре болжамы 4-тен басқа барлық өлшемдер үшін дәлелденді, бірақ оның 4-өлшемде дұрыс екендігі белгісіз (бұл 4-өлшемдегі тегіс Пуанкаре болжамымен эквивалентті). h-кобордизм теоремасы кобордизмдер үшін жарамды, егер кобордизмнің де, оның шекарасының да өлшемдері 4-ке тең болмаса. Кобордизмнің шекарасының өлшемдері 4-ке тең болса (Дональдсон көрсеткендей), ол сәтсіз болуы мүмкін. Егер кобордизмнің өлшемдері 4-ке тең болса, онда h-кобордизм теоремасының дұрыс екендігі белгісіз. 4-ке тең емес өлшемді топологиялық көптүрліліктің тұтқалы денеге жіктелуі бар. 4-өлшемді көптүрліліктер тұтқалы денеге жіктеледі, егер және тек қана олар тегістелсе. 4-өлшемді компактты топологиялық көптүрліліктер бар, олар кез келген симплициалдық кешенге гомеоморфты емес. Кем дегенде 5-өлшемде симплициалдық кешенге гомеоморфты емес топологиялық көптүрліліктердің болуы ашық мәселе болып келді. 2013 жылы Сиприан Манолеску ArXiv-те препринт жариялады, онда әрбір 5-тен үлкен немесе оған тең өлшемде симплициалдық кешенге гомеоморфты емес көптүрліліктер бар екені көрсетілді.
In dimensions other than 4, the Kirby–Siebenmann invariant provides the obstruction to the existence of a PL structure; in other words a compact topological manifold has a PL structure if and only if its Kirby–Siebenmann invariant in H4(M,Z/2Z) vanishes. In dimension 3 and lower, every topological manifold admits an essentially unique PL structure. In dimension 4 there are many examples with vanishing Kirby–Siebenmann invariant but no PL structure. In any dimension other than 4, a compact topological manifold has only a finite number of essentially distinct PL or smooth structures. In dimension 4, compact manifolds can have a countable infinite number of non diffeomorphic smooth structures. Four is the only dimension n for which Rn can have an exotic smooth structure. R4 has an uncountable number of exotic smooth structures; see exotic R4. The solution to the smooth Poincaré conjecture is known in all dimensions other than 4 (it is usually false in dimensions at least 7; see exotic sphere). The Poincaré conjecture for PL manifolds has been proved for all dimensions other than 4, but it is not known whether it is true in 4 dimensions (it is equivalent to the smooth Poincaré conjecture in 4 dimensions). The smooth h cobordism theorem holds for cobordisms provided that neither the cobordism nor its boundary has dimension 4. It can fail if the boundary of the cobordism has dimension 4 (as shown by Donaldson). If the cobordism has dimension 4, then it is unknown whether the h cobordism theorem holds. A topological manifold of dimension not equal to 4 has a handlebody decomposition. Manifolds of dimension 4 have a handlebody decomposition if and only if they are smoothable. There are compact 4 dimensional topological manifolds that are not homeomorphic to any simplicial complex. In dimension at least 5 the existence of topological manifolds not homeomorphic to a simplicial complex was an open problem. In 2013, Ciprian Manolescu posted a preprint on the ArXiv showing that there are manifolds in each dimension greater than or equal to 5, that are not homeomorphic to a simplicial complex.