Введение

В математике, низкомерная топология — это раздел топологии, изучающий многообразия или, в более общем смысле, топологические пространства размерности не более четырех. К числу основных тем относятся теория структуры трехмерных и четырехмерных многообразий, теория узлов и группы кос. Это можно рассматривать как часть геометрической топологии. Также этот термин может использоваться для обозначения изучения топологических пространств размерности один, хотя это чаще относят к теории континуума.

История

Ряд достижений, начиная с 1960-х годов, привел к усилению внимания к низким размерностям в топологии. Решение Стивеном Смалем в 1961 году гипотезы Пуанкаре в пяти и более измерениях сделало трех- и четырехмерные случаи наиболее сложными; и действительно, для их решения потребовались новые методы, в то время как большая свобода в высших размерностях позволяла сводить вопросы к вычислительным методам, доступным в теории хирургий. Гипотеза геометризации, сформулированная Уильямом Терстоном в конце 1970-х годов, предложила структуру, указывающую на тесную взаимосвязь геометрии и топологии в низких размерностях, а доказательство геометризации Терстоном для многообразий Хакена использовало разнообразные инструменты из областей математики, ранее слабо связанных между собой. Открытие Воном Джонсом многочлена Джонса в начале 1980-х годов не только открыло новые направления в теории узлов, но и выявило до сих пор загадочные связи между низкоразмерной топологией и математической физикой. В 2002 году Григорий Перельман объявил о доказательстве трехмерной гипотезы Пуанкаре, используя поток Риччи Ричарда Гамильтона – идею, принадлежащую к области геометрического анализа. В целом, этот прогресс способствовал более тесной интеграции топологии с другими областями математики.

Двумерность

Поверхность — это двумерное топологическое многообразие. Наиболее распространенные примеры возникают как границы твердых тел в обычном трехмерном евклидовом пространстве R3, например, поверхность шара. С другой стороны, существуют поверхности, такие как бутылка Клейна, которые нельзя вложить в трехмерное евклидово пространство без появления особенностей или самопересечений.

Космос Тейхмюллера

В математике, пространство Тейхмюллера TX (действительной) топологической поверхности X — это пространство, параметризующее комплексные структуры на X с точностью до действия гомеоморфизмов, изотопных тождественному гомеоморфизму. Каждая точка в TX может рассматриваться как класс изоморфизма «маркированных» римановых поверхностей, где «маркировка» представляет собой класс изотопии гомеоморфизмов из X в X. Пространство Тейхмюллера является универсальным накрытием орбисферы пространства модулей (Римана). Пространство Тейхмюллера обладает канонической структурой комплексного многообразия и множеством естественных метрик. Основное топологическое пространство пространства Тейхмюллера было изучено Фрике, а метрика Тейхмюллера на нём была введена .

Теорема унифицирования

В математике теорема об униформизации утверждает, что каждая односвязная поверхность Римана конформно эквивалентна одной из трех областей: открытому единичному диску, комплексной плоскости или сфере Римана. В частности, на ней существует риманова метрика постоянной кривизны. Это позволяет классифицировать римановы поверхности как эллиптические (положительно искривлённые, точнее, допускающие постоянную положительную кривизну), параболические (плоские) и гиперболические (отрицательно искривлённые) в зависимости от их универсального накрытия. Теорема об униформизации является обобщением теоремы Римана об отображениях с правильных односвязных открытых подмножеств плоскости на произвольные односвязные поверхности Римана.

Три измерения

Топологическое пространство X является трёхмерным многообразием, если для каждой точки в X существует окрестность, гомеоморфная трёхмерному евклидову пространству. Топологические, кусочно-линейные и гладкие категории эквивалентны в трёх измерениях, поэтому обычно не делают существенного различия между, скажем, топологическими и гладкими трёхмерными многообразиями. Явления в трёх измерениях могут существенно отличаться от явлений в других измерениях, что обуславливает широкое использование высокоспециализированных методов, которые не обобщаются на размерности, большие трёх. Эта особенность привела к обнаружению тесных связей с различными другими областями, такими как теория узлов, геометрическая теория групп, гиперболическая геометрия, теория чисел, теория Тейхмюллера, топологическая квантовая теория поля, теория калибровочных полей, гомология Флоэра и уравнения в частных производных. Теория трёхмерных многообразий рассматривается как часть низкоразмерной или геометрической топологии.

Теория узлов и плетений

Теория узлов – это изучение математических узлов. Хотя и вдохновлённая узлами, встречающимися в повседневной жизни в шнурках и верёвках, математический узел отличается тем, что его концы соединены вместе, так что его нельзя развязать. В математическом языке узел – это вложение окружности в трёхмерное евклидово пространство, R3 (поскольку мы используем топологию, окружность не привязана к классическому геометрическому понятию, а ко всем её гомеоморфизмам). Два математических узла эквивалентны, если один из них можно преобразовать в другой посредством деформации R3 на себя (известной как окружающая изотопия); эти преобразования соответствуют манипуляциям с узловой нитью, которые не включают в себя разрезание нити или прохождение нити через саму себя. Комплементы узлов часто изучаются как трёхмерные многообразия. Комплемент узла прирученного узла K – это трёхмерное пространство, окружающее узел. Чтобы это было точнее, предположим, что K – это узел в трёхмерном многообразии M (чаще всего M – это трёхмерная сфера). Пусть N – трубчатая окрестность K; таким образом, N – это твердый тор. Тогда комплемент узла является дополнением к N.

Смежной темой является теория кос. Теория кос – это абстрактная геометрическая теория, изучающая повседневное понятие косы и некоторые обобщения. Идея заключается в том, что косы можно организовать в группы, в которых групповая операция заключается в «выполнении первой косы на наборе нитей, а затем следовании за ней второй косой на скрученных нитях». Такие группы могут быть описаны явными представлениями, как показано в статье о группах кос. Группы кос также могут иметь более глубокую математическую интерпретацию: как фундаментальная группа определённых конфигурационных пространств.

Гиперболические 3-многообразные

Гиперболический 3-многообразие — это 3-многообразие, снабжённое полной римановой метрикой постоянной сеченияльной кривизны 1. Иными словами, это фактор трехмерного гиперболического пространства по подгруппе гиперболических изометрий, действующей свободно и правильно разрывно. См. также модель Клейна. Его толсто-тонкое разложение имеет тонкую часть, состоящую из трубчатых окрестностей замкнутых геодезических и/или концов, являющихся произведением евклидовой поверхности и замкнутого полулучa. Многообразие имеет конечный объем тогда и только тогда, когда его толстая часть компактна. В этом случае концы имеют вид тора, умноженного на замкнутый полулуч, и называются куспидами. Дополнения к узлам — наиболее часто изучаемые куспидальные многообразия.

Гипотеза Понкаре и геометризация

Гипотеза геометризации Турстона утверждает, что определенные трехмерные топологические пространства обладают уникальной геометрической структурой, которую можно с ними связать. Это аналог теоремы об униформизации для двухмерных поверхностей, утверждающей, что каждая односвязная поверхность Римана может быть наделена одной из трех геометрий (евклидовой, сферической или гиперболической). В трех измерениях не всегда возможно приписать единую геометрию всему топологическому пространству. Вместо этого гипотеза геометризации утверждает, что любое замкнутое трехмерное многообразие можно канонически разложить на части, каждая из которых имеет один из восьми типов геометрической структуры. Гипотеза была предложена Уильямом Тёрстоном и подразумевает ряд других гипотез, таких как гипотеза Пуанкаре и гипотеза Тёрстона об эллиптизации.

Четыре измерения

4-мерное многообразие — это 4-мерное топологическое многообразие. Гладкое 4-мерное многообразие — это 4-мерное многообразие с гладкой структурой. В четвертом измерении, в резком контрасте с меньшими измерениями, топологические и гладкие многообразия существенно различаются. Существуют некоторые топологические 4-многообразия, которые не допускают гладкой структуры, и даже если гладкая структура существует, она не обязана быть единственной (то есть существуют гладкие 4-многообразия, которые гомеоморфны, но не диффеоморфны). 4-многообразия важны для физики, поскольку в общей теории относительности пространство-время моделируется как псевдориманово 4-многообразие.

Экзотический R4

Экзотический R4 — это дифференцируемый многообраз, гомеоморфный, но не диффеоморфный евклидову пространству R4. Первые примеры были найдены в начале 1980-х годов Майклом Фридманом, благодаря сопоставлению теорем Фридмана о топологических 4-многообразиях и теорем Саймона Дональдсона о гладких 4-многообразиях. Существует континуум недиффеоморфных дифференцируемых структур R4, что впервые было показано Клиффордом Таубесом. До этой конструкции уже было известно о существовании недиффеоморфных гладких структур на сферах — экзотических сферах, хотя вопрос о существовании таких структур для конкретного случая 4-сферы оставался открытым (и остаётся открытым по сей день). Для любого положительного целого числа n, отличного от 4, экзотических гладких структур на Rn не существует; иными словами, если n ≠ 4, то любой гладкий многообраз, гомеоморфный Rn, является диффеоморфным Rn.

Другие особые явления в четырех измерениях

Существует несколько фундаментальных теорем о многообразиях, которые могут быть доказаны низкоразмерными методами в размерностях не более 3 и совершенно иными высокоразмерными методами в размерностях не менее 5, но которые неверны в четырех измерениях. Вот некоторые примеры:

В размерностях, отличных от 4, инвариант Кирби — Сибенманна является препятствием для существования PL-структуры; другими словами, компактное топологическое многообразие имеет PL-структуру тогда и только тогда, когда его инвариант Кирби — Сибенманна в H4(M, Z/2Z) равен нулю. В размерности 3 и ниже каждое топологическое многообразие допускает по существу единственную PL-структуру. В размерности 4 существует множество примеров с нулевым инвариантом Кирби — Сибенманна, но без PL-структуры. В любой размерности, отличной от 4, компактное топологическое многообразие имеет лишь конечное число по существу различных PL- или гладких структур. В размерности 4 компактные многообразия могут иметь счетно бесконечное число недиффеоморфных гладких структур. Четыре — единственная размерность n, для которой Rn может иметь экзотическую гладкую структуру. R4 имеет несчетно много экзотических гладких структур; см. экзотический R4. Решение гладкой гипотезы Пуанкаре известно во всех размерностях, кроме 4 (обычно оно неверно в размерностях не менее 7; см. экзотическая сфера). Гипотеза Пуанкаре для PL-многообразий доказана для всех размерностей, кроме 4, но неизвестно, верна ли она в 4 измерениях (она эквивалентна гладкой гипотезе Пуанкаре в 4 измерениях). Теорема о гладком h-кобордизме справедлива для кобордизмов, при условии, что ни сам кобордизм, ни его граница не имеют размерность 4. Она может быть невыполнена, если граница кобордизма имеет размерность 4 (как показано Дональдсоном). Если кобордизм имеет размерность 4, то неизвестно, выполняется ли теорема о гладком h-кобордизме. Топологическое многообразие размерности, отличной от 4, имеет разложение на ручки. Многообразия размерности 4 имеют разложение на ручки тогда и только тогда, когда они допускают гладкую структуру. Существуют компактные 4-мерные топологические многообразия, которые не гомеоморфны никакому симплициальному комплексу. В размерности не менее 5 существование топологических многообразий, не гомеоморфных симплициальному комплексу, было открытой проблемой. В 2013 году Чиприан Манолеску опубликовал препринт на ArXiv, показывающий, что в каждой размерности, большей или равной 5, существуют многообразия, не гомеоморфные симплициальному комплексу.