Арифметикалық амал: Бөлу

Кіріспе

Арифметикалық амал

Бөлу – арифметиканың төрт негізгі амалының бірі. Басқа амалдар – қосу, алу және көбейту. Бөлінетін сан дивиденд деп аталады, ол бөлгішке бөлінеді, ал нәтижесі – үлестік деп аталады. Бастапқы деңгейде екі натурал санды бөлу, басқа да мүмкін түсіндірмелердің арасында, бір санның екінші санның ішінде неше рет сыйып батырғанын есептеу процесі болып табылады. Мысалы, егер 20 алманы 4 адамға тең бөліп берсе, әрқайсысына 5 алма тиеді (суретті қараңыз). Дегенмен, бұл рет саны немесе бөлгіш (бөлгіш) – бүтін сан болуы міндетті емес. Екі натурал санды қалдықпен немесе Евклидтік бөлу арқылы бөлу, екінші санның бірінші санға толық сыйып батырған санын, яғни бүтін үлестікті және бірінші санның қалған бөлігін анықтайды. Бұл қалдық, егер үлестікті есептеу барысында екінші санның толық бөлігін бөлу мүмкін болмаса, қалдырылады. Мысалы, егер 21 алманы 4 адамға бөліп берсе, әрқайсысына 5 алмадан және 1 алма қалдық болады. Бөлудің әрқашан бір санға, бүтін үлестік пен қалдыққа емес, нәтиже беруі үшін, натурал сандар рационал немесе нақты сандарға дейін кеңейтілуі керек. Бұл кеңейтілген сан жүйелерінде бөлу – көбейтудің кері амалы болып табылады, яғни , егер болса, . Егер болса, бұл нөлге бөлу болып табылады, ол анықталмаған. 21 алма мысалында, әрқайсысына 5 алмадан және ширек алмадан берілсе, қалдық болмайды. Бөлудің екі түрі де әртүрлі алгебралық құрылымдарда, математикалық құрылымды анықтаудың әртүрлі тәсілдерінде кездеседі. Евклидтік бөлініс (қалдықпен) анықталған құрылымдар Евклидтік домендер деп аталады және бір белгісізі бар полиномдық сақиналарды қамтиды (олар бір айнымалы формулалар бойынша көбейту мен қосуды анықтайды). Барлық нөлден өзге элементтермен бөліну (бір нәтижемен) анықталған құрылымдар өрістер және бөлу сақиналары деп аталады. Сақинада, әрқашан бөлінуге болатын элементтер бірліктер деп аталады (мысалы, бүтін сандар сақинасында 1 және -1). Алгебралық құрылымдарға бөлудің тағы бір жалпылауы – үлестік топ, онда "бөлудің" нәтижесі санның орнына топ болып табылады.

Division is one of the four basic operations of arithmetic. The other operations are addition, subtraction, and multiplication. What is being divided is called the dividend, which is divided by the divisor, and the result is called the quotient. At an elementary level the division of two natural numbers is, among other possible interpretations, the process of calculating the number of times one number is contained within another. For example, if 20 apples are divided evenly between 4 people, everyone receives 5 apples (see picture). However, this number of times or the number contained (divisor) need not be integers. The division with remainder or Euclidean division of two natural numbers provides an integer quotient, which is the number of times the second number is completely contained in the first number, and a remainder, which is the part of the first number that remains, when in the course of computing the quotient, no further full chunk of the size of the second number can be allocated. For example, if 21 apples are divided between 4 people, everyone receives 5 apples again, and 1 apple remains. For division to always yield one number rather than an integer quotient plus a remainder, the natural numbers must be extended to rational numbers or real numbers. In these enlarged number systems, division is the inverse operation to multiplication, that is means , as long as b is not zero. If 1=b = 0, then this is a division by zero, which is not defined. In the 21 apples example, everyone would receive 5 apple and a quarter of an apple, thus avoiding any leftover. Both forms of division appear in various algebraic structures, different ways of defining mathematical structure. Those in which a Euclidean division (with remainder) is defined are called Euclidean domains and include polynomial rings in one indeterminate (which define multiplication and addition over single variabled formulas). Those in which a division (with a single result) by all nonzero elements is defined are called fields and division rings. In a ring the elements by which division is always possible are called the units (for example, 1 and −1 in the ring of integers). Another generalization of division to algebraic structures is the quotient group, in which the result of "division" is a group rather than a number.

Кіріспе

Бөлінуді қарастырудың ең қарапайым жолы – баға беру және бөлу: баға беру тұрғысынан, 20 / 5 дегеніміз – 20 санына жету үшін қанша 5-ті қосу керек. Бөлу тұрғысынан, 20 / 5 дегеніміз – 20 өлшемді жиынтықты 5 бөлікке бөлгенде әр бөліктің қандай өлшемде болатынын білдіреді. Мысалы, 20 алманы бес топқа бөліп, әр тобында төрттен алмадан болса, онда "жиырманы беске бөлгенде төртке тең" деген сөз. Бұл 1 = 20 / 5 = 4 деп белгіленеді, немесе мысалда 20 – бөлшектің саны (дивиденд), 5 – бөлгіш, ал 4 – бөлінді (квотиент). Басқа негізгі амалдардан айырмашылығы, натурал сандарды бөлгенде кейде бөлшектің санына толық бөлінбейтін қалдық шығады; мысалы, 10 / 3 бөлігенде 1 қалдық қалдырады, себебі 10 саны 3-ке еселі емес. Кейде бұл қалдық бөліндіге бөлшек түрінде қосылады, сондықтан 10 / 3 саны 3,33-ке тең болады, бірақ бүтін сандармен бөлуде, сандарда бөлшек бөлігі болмаған жағдайда, қалдық жеке сақталады (немесе ерекше жағдайларда, жойылады немесе дөңгелектенеді). Егер қалдық бөлшек түрінде сақталса, онда ол рационал санға айналады. Барлық рационал сандар жиыны – бүтін сандарды бүтін сандарды бөлудің барлық мүмкін нәтижелерімен кеңейту арқылы құрылады. Көбейту мен қосудан айырмашылығы, бөлу коммутативті емес, яғни a / b әрқашан b / a-ға тең болмайды. Сондай-ақ, бөлу әдетте ассоциативті емес, яғни бірнеше рет бөлгенде бөлудің реті нәтижені өзгерте алады. Мысалы, , бірақ (қолданылған жақшалар жақша ішіндегі амалдар жақша сыртындағы амалдардан бұрын орындалатынын көрсетеді). Бөлу дәстүрлі түрде солдан оңға қарай ассоциативті болып саналады. Яғни, егер бірнеше бөлу амалы қатарынан келсе, есептеу реті солдан оңға қарай жүреді: Бөлу қосу мен алуға қатысты оңнан таратылады, бұл көбейту үшін де осылай, бірақ бөлу солдан таратылмайды, мысалы, көбейтуде солдан да, оңнан да таратылатындықтан тарату қасиетіне ие.

The simplest way of viewing division is in terms of quotition and partition: from the quotition perspective, 20 / 5 means the number of 5s that must be added to get 20. In terms of partition, 20 / 5 means the size of each of 5 parts into which a set of size 20 is divided. For example, 20 apples divide into five groups of four apples, meaning that "twenty divided by five is equal to four". This is denoted as 1=20 / 5 = 4, or In the example, 20 is the dividend, 5 is the divisor, and 4 is the quotient. Unlike the other basic operations, when dividing natural numbers there is sometimes a remainder that will not go evenly into the dividend; for example, 10 / 3 leaves a remainder of 1, as 10 is not a multiple of 3. Sometimes this remainder is added to the quotient as a fractional part, so 10 / 3 is equal to or 3.33 , but in the context of integer division, where numbers have no fractional part, the remainder is kept separately (or exceptionally, discarded or rounded). When the remainder is kept as a fraction, it leads to a rational number. The set of all rational numbers is created by extending the integers with all possible results of divisions of integers. Unlike multiplication and addition, division is not commutative, meaning that a / b is not always equal to b / a. Division is also not, in general, associative, meaning that when dividing multiple times, the order of division can change the result. For example, , but (where the use of parentheses indicates that the operations inside parentheses are performed before the operations outside parentheses). Division is traditionally considered as left associative. That is, if there are multiple divisions in a row, the order of calculation goes from left to right:

Division is right distributive over addition and subtraction, in the sense that

This is the same for multiplication, as However, division is not left distributive, as
For example but
This is unlike the case in multiplication, which is both left distributive and right distributive, and thus distributive.

Қолмен жүргізілетін әдістер

Бөлу көбінесе бір жиын объектілерді, мысалы, қанттарды, бірнеше тең бөлікке "үлестіру" түсінігі арқылы енгізіледі. Әр бөлікке үлестірудің әр кезеңінде бірнеше объектіні бірдей бөлу, бөлудің бір түрін – ‘кесектеп бөлуді’ тудырады, онда бөлгіштің еселіктері дивидендтен қайта-қайта алынып тасталады. Егер берілген кезеңдегі толық қалдықтан артық еселіктерді алуға рұқсат етілсе, одан да икемді әдістер, мысалы, кесектеп бөлудің екі бағытты нұсқасы қолданылуы мүмкін. Екі бүтін санды жүйелі және тиімді түрде қалам мен қағаз арқылы, егер бөлгіш кіші болса, қысқа бөлу әдісімен, ал егер бөлгіш үлкен болса, ұзын бөлу әдісімен бөлуге болады. Егер дивидендтің бөлшек бөлігі болса (ондық бөлшек түрінде берілген), онда процедураны бірлік разрядынан кейін қажетті дәлдікке дейін жалғастыруға болады. Егер бөлгіште бөлшек бөлігі болса, мәселені қайта формулирлеуге болады, екі санның да ондық нүктесін оңға қарай жылжыту арқылы бөлгіште бөлшек болмайтынша, бұл мәселені шешуді жеңілдетеді (мысалы, 10/2.5 = 100/25 = 4). Бөлуді есептеу үшін абақты пайдалануға болады. Логарифм кестелерін екі санның логарифмдерін алып тастау арқылы екі санды бөлуге және содан кейін нәтижеге антилогарифмді анықтауға болады. Бөлуді слайд-циркуль арқылы С шкаласындағы бөлгішті D шкаласындағы дивидендпен сәйкестендіру арқылы есептеуге болады. Қосымшаны D шкаласындағы сол жақ индекспен сәйкес келетін жерде табуға болады. Дегенмен, ондық нүктені ескеру жауапкершілігі пайдаланушыда болады.

Компьютер арқылы

Қазіргі заманғы калькуляторлар мен компьютерлер бөліністі ұзақ бөлініске ұқсас әдістермен немесе одан да жылдам әдістермен есептейді; қараңыз: Бөлу алгоритмі. Модульдік арифметикада (жақсы санға модульдік) және нақты сандар үшін нөлден өзге сандардың көбейтуге кері саны болады. Мұндай жағдайларда x-ке бөлу, x-тің көбейтуге кері санымен көбейту арқылы есептелуі мүмкін. Бұл тәсіл көбінесе компьютерлік арифметикадағы жылдам әдістермен байланысты.

Евклидтік бөліну

Евклидтік бөліну – екі бүтін сан, a (бөлінетін сан) және b (бөлгіш), мұнда b ≠ 0 болғанда, a = bq + r және 0 ≤ r < |b| теңдігі орындалатындай, бірегей q (бөлінді) және r (қалдық) бүтін сандарының болуын математикалық тұрғыда бейнелейді, мұнда |b| – b санының абсолюттік шамасы.

Толық саннан жасалған

Бүкіл сандар бөліну кезінде жабық емес. 0-ге бөлу анықталмағандықтан, бөлшектің бөлімі бөлінетіннің бүтін сан еселі болмаса, бөлінді бүтін сан болмайды. Мысалы, 26 санын 11-ге бөлгенде бүтін сан шықпайды. Мұндай жағдайда бес тәсілдің бірі қолданылады: 26 саны 11-ге бөлінбейді делік; бөліну ішінара функцияға айналады. Шамамен жауапты қалқыма нүкте саны түрінде беруге болады. Бұл тәсіл әдетте сандық есептеулерде қолданылады. Жауабын рационал санды білдіретін бөлшек түрінде беруге болады, мысалы, 26-ны 11-ге бөлгендегі нәтижесі (немесе аралас сан түрінде ). Әдетте, алынған бөлшек қысқартылуы керек: 52-ні 22-ге бөлгендегі нәтиже де осы. Мұндай қысқартуды ең үлкен ортақ бөлгішті шығару арқылы жасауға болады. Жауапты бүтін бөлінді және қалдық түрінде беруге болады, яғни . Алдыңғы жағдайдан ерекшелену үшін, екі бүтін санды бөлуді кейде Евклидтік бөлу деп атайды, себебі ол Евклид алгоритмінің негізі болып табылады. Бұл 2 немесе 3 жағдайларға қолданылатын ең кішкентай мәнді табу функциясы. Оны кейде бүтін санды бөлу деп атайды және "//" символымен белгілейді. Компьютер бағдарламасында бүтін сандарды бөлуге ерекше назар қажет. Кейбір бағдарламалау тілдері бүтін санды бөлуді жоғарыдағы 5-ші жағдай бойынша қарастырады, сондықтан жауап бүтін сан болады. Ал MATLAB және басқа компьютерлік алгебра жүйелері сияқты тілдер 3-ші жағдай бойынша рационал санды жауап ретінде қайтарады. Бұл тілдер басқа жағдайлардың нәтижелерін тікелей немесе 3-ші жағдайдың нәтижесінен алуға мүмкіндік беретін функцияларды да ұсынады. Бүтін санды бөлу үшін қолданылатын атаулар мен символдарға div, /, \ және % жатады. Бөліндінің немесе бөлгіштің теріс болу жағдайында бүтін санды бөлудің анықтамалары әртүрлі болуы мүмкін: дөңгелектеу нөлге қарай (Т-бөлу деп аталады) немесе −∞ қарай (F-бөлу) болуы мүмкін; сирек жағдайлар да болуы мүмкін – толық мәліметтер үшін модульдік операцияны қараңыз. Бөліну ережелерін кейде бір бүтін санның екіншісіне қалдықсыз бөлінетінін анықтау үшін пайдалануға болады.

Integers are not closed under division. Apart from division by zero being undefined, the quotient is not an integer unless the dividend is an integer multiple of the divisor. For example, 26 cannot be divided by 11 to give an integer. Such a case uses one of five approaches:
Say that 26 cannot be divided by 11; division becomes a partial function. Give an approximate answer as a floating point number. This is the approach usually taken in numerical computation. Give the answer as a fraction representing a rational number, so the result of the division of 26 by 11 is (or as a mixed number, so ) Usually the resulting fraction should be simplified: the result of the division of 52 by 22 is also This simplification may be done by factoring out the greatest common divisor. Give the answer as an integer quotient and a remainder, so To make the distinction with the previous case, this division, with two integers as result, is sometimes called Euclidean division, because it is the basis of the Euclidean algorithm. Give the integer quotient as the answer, so This is the floor function applied to case 2 or 3. It is sometimes called integer division, and denoted by "//". Dividing integers in a computer program requires special care. Some programming languages treat integer division as in case 5 above, so the answer is an integer. Other languages, such as MATLAB and every computer algebra system return a rational number as the answer, as in case 3 above. These languages also provide functions to get the results of the other cases, either directly or from the result of case 3. Names and symbols used for integer division include div, /, \, and %. Definitions vary regarding integer division when the dividend or the divisor is negative: rounding may be toward zero (so called T division) or toward −∞ (F division); rarer styles can occur – see modulo operation for the details. Divisibility rules can sometimes be used to quickly determine whether one integer divides exactly into another.

Рационалдық сандар

Екі рационалды санды бөлу нәтижесі, егер бөлгіш 0 болмаса, тағы бір рационалды сан болады. Екі рационалды санның p/q және r/s бөліндісін былай есептеуге болады:

Барлық төрт шама да бүтін сандар, және тек p қана 0 болуы мүмкін. Бұл анықтама бөлу амалының көбейту амалына кері екенін қамтамасыз етеді.

Нақты сандар

Екі нақты санды бөлудің нәтижесінде тағы бір нақты сан шығады (бөлгіш нөлге тең болмаған жағдайда). Бұл қатынас a/b = c ретінде анықталады, егер және тек қана a = cb және b ≠ 0 болса.

Көптамалы

Бір өрісте бір айнымалыдағы көпмүшеліктерді бөлу операциясын анықтауға болады. Одан кейін, бүтін сандардағы сияқты, қалдық табылады. Көпмүшеліктердің Евклидтік бөлінуіне, ал қолмен есептеу үшін көпмүшелік ұзын бөлінуіне немесе синтетикалық бөлінуіне қараңыз.

Матрицадан жасалған

Матрицалар үшін бөлу операциясын анықтауға болады. Көбінесе бұл 1=A / B = AB−1 деп анықталады, мұнда B−1 – B матрицасының кері матрицасын білдіреді, бірақ шатасуды болдырмау үшін AB−1 түрін толық жазу жиі кездеседі. Элемент бойынша бөлуді Хадамард көбейтіндісі арқылы да анықтауға болады.

Сол және оң жақ бөлінісі

Матрица көбейту коммутативті емес болғандықтан, сол жақ бөлу немесе кері қисық сызықпен бөлуді 1=A \ B = A−1B деп анықтауға болады. Бұл дұрыс анықталған болуы үшін B−1 міндетті түрде болуы керек емес, бірақ A−1 болуы керек. Сан-сауалды болдырмау үшін, 1=A / B = AB−1 ретінде анықталған бөлуді кейде осы контексте оң жақ бөлу немесе тура сызықпен бөлу деп атайды. Сол және оң жақ бөлу осылай анықталғанда, A / (BC) жалпы жағдайда (A / B) / C-мен тең болмайды, сондай-ақ (AB) \ C, A \ (B \ C)-мен де тең болмайды. Дегенмен, 1=A / (BC) = (A / C) / B және 1=(AB) \ C = B \ (A \ C) теңдіктері орындалады.

Псевдоинверсия

A−1 және/немесе B−1 болмаған жағдайда туындайтын қиындықтарды болдырмау үшін, бөлуді псевдоинверске көбейту арқылы да анықтауға болады. Яғни, 1=A / B = AB⁺ және 1=A \ B = A⁺B, мұнда A⁺ және B⁺ A және B матрицаларының псевдоинверстерін білдіреді.

Абстрактілік алгебра

Абстракт алгебрада, екілік операциясы бар магма берілген (оны шартты түрде көбейту деп атауға болады), b-ді a-ға бөлу (a \ b деп жазылады) әдетте 1 = a ∗ x = b теңдеуінің x шешімі ретінде анықталады, егер мұндай шешім болса және бірегей болса. Сол сияқты, b-ді a-ға оңнан бөлу (b / a деп жазылады) y теңдеуінің шешімі болып табылады 1 = y ∗ a = b. Бұл мағынадағы бөлу операциясының коммутативтілік, ассоциативтілік немесе бірлік элемент сияқты ерекше қасиеттері болуын талап етпейді. Егер a \ b және b / a барлық a және b үшін бар және бірегей болса (латын квадраты қасиеті), онда магма квазитоп болып табылады. Квазитопта, осы мағынадағы бөлу әрқашан мүмкін, тіпті бірлік элемент болмаса да, демек, кері элементтер де болмайды. "Қысқарту" мағынасындағы "бөлу" кез келген магмада қысқару қасиетіне ие элемент арқылы жүзеге асырылуы мүмкін. Мысалдарға матрицалық алгебралар, кватерниондық алгебралар және квазитоптар жатады. Бүтін доменде, онда әрбір элементтің керісі болуы міндетті емес, а-ның қысқару қасиеті бар болған жағдайда, ab немесе ca түріндегі элементтерді солдан немесе оңнан қысқару арқылы бөлуге болады. Егер сақина шекті болса және нөлден өзге барлық элементтер қысқару қасиетіне ие болса, онда көгершін ұясы принципіне сәйкес, сақинаның нөлден өзге барлық элементтері инверттендіріледі және нөлден өзге кез келген элементке бөлу мүмкін болады. Алгебралардың (техникалық мағынада) бөлу операциясына ие болу шарттары туралы білу үшін бөлу алгебралары бетіне жүгініңіз. Атап айтқанда, Ботт периоды кез келген нақты нормаланған бөлу алгебрасы нақты сандар R, кешенді сандар C, кватерниондар H немесе октониондар O-ға изоморфты болуы керек екенін көрсету үшін қолданылуы мүмкін.

Нөлге бөлу

Кез келген санды нөлге бөлу математикалық жүйелердің көпшілігінде анықталмаған, себебі нөлді кез келген шекті санға көбейту нәтижесінде әрқашан нөл шығады. Мұндай өрнекті көптеген калькуляторларға енгізгенде қате туралы хабарлама пайда болады. Дегенмен, жоғары деңгейдегі математиканың кейбір салаларында нөлге бөлу нөлдік сақина және дөңгелектер сияқты алгебралар арқылы мүмкін. Бұл алгебраларда бөлудің мағынасы дәстүрлі анықтамалардан ерекшеленеді.