Введение

Арифметическая операция "Деление" — одна из четырех основных арифметических операций. Другие операции — сложение, вычитание и умножение. Число, которое делят, называется делимым, оно делится на делитель, а результат называется частным. На элементарном уровне деление двух натуральных чисел — это, среди прочих возможных интерпретаций, процесс вычисления количества раз, которое одно число содержится в другом. Например, если 20 яблок разделить поровну между 4 людьми, каждый получит 5 яблок (см. рисунок). Однако это количество раз или число, которое содержит (делитель), не обязательно должны быть целыми числами. Деление с остатком, или евклидово деление, двух натуральных чисел дает целое частное, которое показывает, сколько раз второе число полностью содержится в первом, и остаток — часть первого числа, которая остается, когда в процессе вычисления частного невозможно выделить еще одну полную часть размером со второе число. Например, если 21 яблоко разделить между 4 людьми, каждый снова получит 5 яблок, и останется 1 яблоко. Чтобы деление всегда давало одно число, а не целое частное плюс остаток, натуральные числа необходимо расширить до рациональных или действительных чисел. В этих расширенных системах чисел деление является обратной операцией умножению, то есть , при условии, что b не равно нулю. Если b = 0, то это деление на ноль, которое не определено. В примере с 21 яблоком каждый получит 5 яблок и четверть яблока, таким образом, избегая остатка. Обе формы деления встречаются в различных алгебраических структурах, представляющих собой различные способы определения математической структуры. Те, в которых определено евклидово деление (с остатком), называются евклидовыми областями и включают кольца многочленов от одной переменной (которые определяют умножение и сложение с помощью формул с одной переменной). Те, в которых определено деление (с единственным результатом) на все ненулевые элементы, называются полями и кольцами деления. В кольце элементы, на которые всегда возможно делить, называются единицами (например, 1 и −1 в кольце целых чисел). Другим обобщением деления в алгебраических структурах является факторгруппа, в которой результатом "деления" является группа, а не число.

Введение

Самый простой способ понимания деления – рассматривать его с точки зрения включения и разбиения: с точки зрения включения, 20 / 5 означает, сколько раз нужно взять 5, чтобы получить 20. С точки зрения разбиения, 20 / 5 означает размер каждой из 5 частей, на которые разбивается множество размером 20. Например, 20 яблок можно разделить на пять групп по четыре яблока, что означает, что "двадцать, деленное на пять, равно четырем". Это записывается как 1 = 20 / 5 = 4, или. В этом примере 20 – делимое, 5 – делитель, а 4 – частное. В отличие от других основных арифметических действий, при делении натуральных чисел иногда остаётся остаток, который не делится на делимое без остатка; например, 10 / 3 даёт остаток 1, так как 10 не кратно 3. Иногда этот остаток добавляется к частному в виде дробной части, так что 10 / 3 равно или 3,33, но в контексте целочисленного деления, где числа не имеют дробной части, остаток сохраняется отдельно (или, в исключительных случаях, отбрасывается или округляется). Если остаток представляется в виде дроби, получается рациональное число. Множество всех рациональных чисел образуется путём расширения множества целых чисел всеми возможными результатами деления целых чисел. В отличие от умножения и сложения, деление не обладает переместительным свойством, то есть a / b не всегда равно b / a. Деление также, как правило, не обладает сочетательным свойством, то есть при многократном делении порядок операций может влиять на результат. Например, , но (где использование скобок указывает на то, что операции внутри скобок выполняются перед операциями вне скобок). Деление традиционно считается левоассоциативным. То есть, если в выражении несколько операций деления подряд, порядок вычислений идёт слева направо:

Деление обладает правораспределительным свойством относительно сложения и вычитания, то есть

Это справедливо и для умножения, например, , но деление не обладает левораспределительным свойством, например,

, но

В отличие от умножения, которое обладает как левораспределительным, так и правораспределительным свойствами и, следовательно, является распределительным.

Ручные методы

Деление часто вводится через понятие "распределения" набора объектов, например, кучи конфет, на несколько равных частей. Распределение объектов по несколько штук в каждом раунде распределения по каждой части приводит к идее "вычитания частями" – форме деления, при которой из делимого неоднократно вычитают кратные делителя. Разрешая вычитать больше кратных, чем позволяет текущий остаток на данном этапе, можно разработать более гибкие методы, такие как двунаправленный вариант вычитания частями. Более систематически и эффективно два целых числа можно разделить вручную с помощью метода короткого деления, если делитель мал, или длинного деления, если делитель больше. Если делимое имеет дробную часть (выраженную в виде десятичной дроби), можно продолжить процедуру за единицы, насколько это необходимо. Если делитель имеет дробную часть, можно преобразовать задачу, переместив десятичную запятую вправо в обоих числах, пока у делителя не останется дроби, что может упростить решение (например, 10/2.5 = 100/25 = 4). Деление можно выполнять с помощью абака. Логарифмические таблицы можно использовать для деления двух чисел, вычитая логарифмы этих чисел, а затем находя антилогарифм результата. Деление можно выполнить с помощью логарифмической линейки, совмещая делитель на шкале C с делимым на шкале D. Частное можно найти на шкале D в точке, совпадающей с левым индексом на шкале C. Однако пользователь должен самостоятельно следить за положением десятичной запятой.

На компьютере

Современные калькуляторы и компьютеры выполняют деление либо методами, аналогичными делению в столбик, либо более быстрыми способами; см. Алгоритм деления. В модульной арифметике (по модулю простого числа) и для действительных чисел, ненулевые числа имеют мультипликативную обратную. В этих случаях деление на x можно вычислить как умножение на мультипликативную обратную x. Этот подход часто связан с более быстрыми методами в компьютерной арифметике.

Евклидово деление

Евклидово деление — это математическая формулировка результата обычного деления целых чисел. Оно утверждает, что для любых двух целых чисел a (делимого) и b (делителя), таких что b ≠ 0, существуют единственные целые числа q (частного) и r (остатка), удовлетворяющие условию a = bq + r и 0 ≤ r < |b|, где |b| обозначает абсолютную величину b.

Из целых чисел

Целые числа не образуют замкнутое множество относительно деления. Помимо того, что деление на ноль не определено, частное не является целым числом, если делимое не является целым кратным делителю. Например, 26 нельзя разделить на 11, чтобы получить целое число. В таком случае применяются один из пяти подходов: можно сказать, что 26 нельзя разделить на 11; тогда деление становится частной функцией. Можно привести приблизительный ответ в виде числа с плавающей точкой. Это подход, обычно используемый в численных вычислениях. Можно представить ответ в виде дроби, представляющей рациональное число, так что результат деления 26 на 11 равен (или в виде смешанной дроби, так что ). Обычно полученную дробь следует упростить: результат деления 52 на 22 также равен . Это упрощение можно выполнить, выделив наибольший общий делитель. Можно представить ответ в виде целого частного и остатка, так что . Чтобы отличить это от предыдущего случая, такое деление, дающее два целых числа в качестве результата, иногда называют делением по модулю, поскольку оно является основой алгоритма Евклида. В качестве ответа можно указать только целое частное, так что это функция взятия целой части, применяемая к случаю 2 или 3. Иногда это называют целочисленным делением и обозначают "//". Деление целых чисел в компьютерной программе требует особой осторожности. Некоторые языки программирования трактуют целочисленное деление, как в случае 5 выше, поэтому ответ является целым числом. Другие языки, такие как MATLAB и все системы компьютерной алгебры, возвращают рациональное число в качестве ответа, как в случае 3 выше. Эти языки также предоставляют функции для получения результатов других случаев, либо напрямую, либо на основе результата случая 3. Наименования и символы, используемые для целочисленного деления, включают div, /, \ и %. Определения различаются в отношении целочисленного деления, когда делимое или делитель отрицательны: округление может выполняться к нулю (так называемое T-деление) или к −∞ (F-деление); возможны и более редкие варианты – подробности см. в описании операции взятия остатка от деления. Правила делимости иногда можно использовать для быстрой проверки, делится ли одно целое число на другое без остатка.

Рациональных чисел

Результат деления двух рациональных чисел является другим рациональным числом, если делитель не равен нулю. Деление двух рациональных чисел p/q и r/s вычисляется как

Все четыре величины – целые числа, и только p может быть равно нулю. Это определение обеспечивает, чтобы деление было обратной операцией умножению.

Реальных чисел

Деление двух действительных чисел даёт в результате другое действительное число (при условии, что делитель не равен нулю). Оно определяется так: a/b = c тогда и только тогда, когда a = cb и b ≠ 0.

Из многочленов

Можно определить операцию деления многочленов от одной переменной над полем. Тогда, как и в случае целых чисел, существует остаток. См. алгоритм Евклида для многочленов, а для вычислений вручную – метод деления столбиком или схему Горнера.

из матриц

Можно определить операцию деления для матриц. Обычно это делается как 1 = A / B = AB⁻¹, где B⁻¹ обозначает обратную матрицу B, но гораздо чаще записывают AB⁻¹ явно, чтобы избежать недоразумений. Поэлементное деление также можно определить с использованием произведения Хадамара.

Левое и правое деление

Поскольку умножение матриц не является коммутативным, можно также определить левое деление или так называемое обратное деление как 1 = A \ B = A⁻¹B. Для того чтобы это было корректно определено, B⁻¹ не обязано существовать, однако A⁻¹ должно существовать. Чтобы избежать путаницы, деление, определенное как 1 = A / B = AB⁻¹, иногда называют правым делением или прямым делением в этом контексте. При таком определении левого и правого деления, A / (BC) в общем случае не равно (A / B) / C, и (AB) \ C не равно A \ (B \ C). Однако справедливо, что 1 = A / (BC) = (A / C) / B и 1 = (AB) \ C = B \ (A \ C).

Псевдоинверс

Чтобы избежать проблем, когда A⁻¹ и/или B⁻¹ не существуют, деление также можно определить как умножение на псевдообратную матрицу. То есть, 1 = A / B = AB⁺ и 1 = A \ B = A⁺B, где A⁺ и B⁺ обозначают псевдообратные матрицы A и B.

Абстрактная алгебра

В абстрактной алгебре, при наличии магмы с двоичной операцией ∗ (которую номинально можно назвать умножением), левое деление *b* на *a* (обозначается *a \ b*) обычно определяется как решение *x* уравнения 1 = *a* ∗ *x* = *b*, если оно существует и единственно. Аналогично, правое деление *b* на *a* (обозначается *b / a*) является решением *y* уравнения 1 = *y* ∗ *a* = *b*. Деление в этом смысле не требует от ∗ каких-либо особых свойств (таких как коммутативность, ассоциативность или наличие нейтрального элемента). Магма, для которой и *a \ b*, и *b / a* существуют и единственны для всех *a* и всех *b* (свойство латинского квадрата), называется квазигруппой. В квазигруппе деление в этом смысле всегда возможно, даже без нейтрального элемента и, следовательно, без обратных элементов. "Деление" в смысле "сокращения" можно выполнять в любой магме элементом, обладающим свойством сокращения. Примеры включают матричные алгебры, алгебры кватернионов и квазигруппы. В целостном домене, где не каждый элемент обязательно имеет обратный элемент, деление на сокращающий элемент *a* все еще можно выполнять для элементов вида *ab* или *ca* посредством левого или правого сокращения соответственно. Если кольцо конечно и каждый ненулевой элемент является сокращающим, то, применяя принцип Дирихле, можно показать, что каждый ненулевой элемент кольца обратим, и деление на любой ненулевой элемент возможно. Чтобы узнать, когда алгебры (в техническом смысле) имеют операцию деления, обратитесь к статье об алгебрах с делением. В частности, периодичность Ботта может быть использована для доказательства того, что любая вещественная нормированная алгебра с делением должна быть изоморфна либо вещественным числам R, комплексным числам C, кватернионам H, либо октонионам O.

Деление на ноль

Деление любого числа на ноль в большинстве математических систем не определено, поскольку ноль, умноженный на любое конечное число, всегда дает в результате ноль. Ввод такого выражения в большинство калькуляторов вызывает сообщение об ошибке. Однако в некоторых областях высшей математики деление на ноль возможно в рамках теории нулевого кольца и алгебр, таких как колеса. В этих алгебрах смысл деления отличается от общепринятого определения.