Кіріспе
Математикада Евклид кеңістігіндегі екі нүкте арасындағы Евклидтік қашықтық – олардың арасындағы сызық сегментінің ұзындығы болып табылады. Оны нүктелердің декарттық координаттары арқылы Пифагор теоремасын қолданып есептеуге болады, сондықтан оны кейде Пифагор қашықтығы деп те атайды. Бұл атаулар ежелгі грек математиктері Евклид пен Пифагордың есімдерімен байланысты. Евклидтің "Элементтерінде" көрсетілген грек дедуктивті геометриясында қашықтықтар сандар түрінде емес, бірдей ұзындықтағы сызық сегменттері ретінде бейнеленген және олар "тең" деп есептелген. Қашықтық тұжырымы шеңбер салуға арналған циркуль құралында көрінеді, оның барлық нүктелері ортақ орталық нүктеден бірдей қашықтықта орналасқан. Пифагор теоремасы мен қашықтық есебу арасындағы байланыс 18 ғасырға дейін анықталмаған. Екі нүкте емес объектілер арасындағы қашықтық әдетте екі объектіден алынған нүктелер жұптары арасындағы ең кіші қашықтық ретінде анықталады. Әртүрлі нысандар арасындағы қашықтықты есептеу үшін формулалар белгілі, мысалы, нүктеден түзуге дейінгі қашықтық. Жоғары математикада қашықтық түсінігі абстрактілі метрикалық кеңістіктерге дейін жалпыланды, сондай-ақ Евклидтік емес басқа қашықтықтар да зерттелді. Статистика мен оптимизациядағы кейбір қолданбаларда қашықтықтың өзінің орнына Евклидтік қашықтықтың квадраты қолданылады.
In mathematics, the Euclidean distance between two points in Euclidean space is the length of the line segment between them. It can be calculated from the Cartesian coordinates of the points using the Pythagorean theorem, and therefore is occasionally called the Pythagorean distance. These names come from the ancient Greek mathematicians Euclid and Pythagoras. In the Greek deductive geometry exemplified by Euclid's Elements, distances were not represented as numbers but line segments of the same length, which were considered "equal". The notion of distance is inherent in the compass tool used to draw a circle, whose points all have the same distance from a common center point. The connection from the Pythagorean theorem to distance calculation was not made until the 18th century. The distance between two objects that are not points is usually defined to be the smallest distance among pairs of points from the two objects. Formulas are known for computing distances between different types of objects, such as the distance from a point to a line. In advanced mathematics, the concept of distance has been generalized to abstract metric spaces, and other distances than Euclidean have been studied. In some applications in statistics and optimization, the square of the Euclidean distance is used instead of the distance itself.
Евклидтік қашықтықтың квадраты
Көптеген қолданбаларда, әсіресе қашықтықтарды салыстырғанда, Евклид қашықтығын есептеудегі соңғы квадрат түбірді жіберу ыңғайлы болуы мүмкін, себебі квадрат түбір ретті өзгертпейді (тек және ғана егер). Осы жіберуден алынған мән – Евклид қашықтығының квадраты, және оны Евклид қашықтығының квадраты деп атайды. Теңдеу түрінде квадрат қашықтықты квадраттардың қосындысы ретінде жазуға болады:
Қашықтықты салыстырудан басқа, Евклид қашықтығының квадраты статистикада маңызды рөл атқарады, онда ол ең кіші квадраттар әдісінде қолданылады – бұл статистикалық есептеулерді деректерге сәйкестендірудің стандартты әдісі, байқалған және есептелген мәндер арасындағы квадрат қашықтықтардың орташасын азайту арқылы, сондай-ақ ықтималдық таралымдарын салыстырудың ең қарапайым түрі ретінде. Ең кіші квадраттар әдісінде қолданылатындай, квадрат қашықтықтарды бір-біріне қосу, квадрат түбірі тартылмаған қашықтықтарға қатысты Пифагор қосылысы деп аталатын операцияға сәйкес келеді. Кластерлік талдауда, ұзын қашықтықтың әсерін күшейту үшін квадрат қашықтықты қолдануға болады. Евклид қашықтығының квадраты метрикалық кеңістік құрамайды, өйткені ол үшбұрыш теңсіздігін қанағаттандырмайды. Дегенмен, ол екі нүктенің тегіс және қатаң дөңес функциясы болып табылады, ал қашықтық тегіс емес (тең нүктелер жұптарына жақын) және дөңес, бірақ қатаң дөңес емес. Осы себепті, оптимизация теориясында квадрат қашықтыққа көбірек басымдық беріледі, себебі ол дөңес талдауды қолдануға мүмкіндік береді. Квадраттау теріс емес мәндердің монотонды функциясы болғандықтан, квадрат қашықтықты азайту Евклид қашықтығын азайтумен тең, сондықтан оптимизация мәселесі екеуінің де мағынасы бірдей, бірақ квадрат қашықтықты қолдану арқылы шешу оңайырақ. Шекті жиынтықтағы нүктелер жұптары арасындағы барлық квадрат қашықтықтар жиынтығы Евклид қашықтық матрицасында сақталуы мүмкін және осы түрде қашықтық геометриясында қолданылады.
Тарих
Евклидтік қашықтық — Евклидтік кеңістіктегі қашықтық. Екі түсінік те ежелгі грек математигі Евклидтің есімімен аталады, оның "Элементтері" көп ғасырлар бойы геометрияның стандартты оқулығы болды. Ұзындық және қашықтық туралы ұғымдар мәдениеттерде кеңінен таралған, б.з.д. төртінші мыңжылдыққа дейін (Евклидтен әлдеқайда бұрын) Шумерден сақталған ең ерте "протограмоталық" бюрократиялық құжаттармен куәландырылған және балаларда жылдамдық және уақытқа қатысты ұғымдардан бұрын дамиды деп болжанады. Алайда, қашықтық ұғымы, екі нүктеден анықталатын сан ретінде, Евклидтің "Элементтерінде" тікелей кездеспейді. Керісінше, Евклид осы ұғымға сызық сегменттерінің сәйкестігі, сызық сегменттерінің ұзындықтарын салыстыру және пропорционалдық ұғымы арқылы жанама түрде келеді. Пифагор теоремасы да ежелгі, бірақ ол қашықтықты өлшеудегі орталық рөлін тек 1637 жылы Рене Декарттың декарттік координаттарды ойлап тапқаннан кейін ғана иелене алды. Алғашқы қашықтық формуласын 1731 жылы Алексис Клеро жариялады. Осы формулаға байланысты Евклидтік қашықтық кейде Пифагор қашықтығы деп те аталады. Жер бетіндегі ұзақ қашықтықтарды дәл өлшеу, Евклидтік емес, ежелгі заманнан бері көптеген мәдениеттерде зерттелгенімен (геодезия тарихын қараңыз), математикалық кеңістіктегі нүктелер арасындағы қашықтықты өлшеудің жалғыз жолы Евклидтік қашықтық емес деген идея тек 19 ғасырда Эвклидтік емес геометрияның қалыптасуымен келді. Үштен артық өлшемдері бар геометриялар үшін Евклид нормасы мен Евклидтік қашықтықтың анықтамасы алғаш рет 19 ғасырда Августин Луи Кошидің еңбектерінде пайда болды.