Длина линии и евклидово расстояние: от основ до применения в статистике и оптимизации.
Euclidean distance
Длина отрезка: формула, вычисление по теореме Пифагора, связь с декартовыми координатами. История понятия от Евклида и Пифагора. Геометрия и расстояния.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Длина отрезка
Length of a line segment
В математике, евклидово расстояние между двумя точками в евклидовом пространстве — это длина отрезка, соединяющего эти точки. Его можно вычислить по декартовым координатам точек, используя теорему Пифагора, и поэтому его иногда называют пифагорейским расстоянием. Эти названия происходят от древнегреческих математиков Евклида и Пифагора. В греческой дедуктивной геометрии, как это представлено в «Началах» Евклида, расстояния не представлялись числами, а как отрезки одинаковой длины, которые считались «равными». Понятие расстояния заложено в инструменте – циркуле, используемом для рисования окружности, все точки которого находятся на одинаковом расстоянии от общей центральной точки. Связь между теоремой Пифагора и вычислением расстояний была установлена лишь в XVIII веке. Расстояние между двумя объектами, которые не являются точками, обычно определяется как наименьшее расстояние между парами точек, принадлежащих этим объектам. Существуют формулы для вычисления расстояний между различными типами объектов, например, расстояние от точки до прямой. В более продвинутой математике понятие расстояния было обобщено до абстрактных метрических пространств, и изучались другие типы расстояний, отличные от евклидова. В некоторых приложениях в статистике и оптимизации вместо самого расстояния используется его квадрат.
In mathematics, the Euclidean distance between two points in Euclidean space is the length of the line segment between them. It can be calculated from the Cartesian coordinates of the points using the Pythagorean theorem, and therefore is occasionally called the Pythagorean distance. These names come from the ancient Greek mathematicians Euclid and Pythagoras. In the Greek deductive geometry exemplified by Euclid's Elements, distances were not represented as numbers but line segments of the same length, which were considered "equal". The notion of distance is inherent in the compass tool used to draw a circle, whose points all have the same distance from a common center point. The connection from the Pythagorean theorem to distance calculation was not made until the 18th century. The distance between two objects that are not points is usually defined to be the smallest distance among pairs of points from the two objects. Formulas are known for computing distances between different types of objects, such as the distance from a point to a line. In advanced mathematics, the concept of distance has been generalized to abstract metric spaces, and other distances than Euclidean have been studied. In some applications in statistics and optimization, the square of the Euclidean distance is used instead of the distance itself.
Евклидова расстояние в квадрате
Во многих приложениях, и в частности при сравнении расстояний, может быть удобнее опустить конечный квадратный корень при вычислении евклидовых расстояний, поскольку квадратный корень не меняет порядок (если и только если это выполняется). Значение, полученное в результате этого опущения, является квадратом евклидова расстояния и называется квадратом евклидова расстояния. В виде уравнения расстояние в квадрате можно выразить как сумму квадратов:
In many applications, and in particular when comparing distances, it may be more convenient to omit the final square root in the calculation of Euclidean distances, as the square root does not change the order ( if and only if ). The value resulting from this omission is the square of the Euclidean distance, and is called the squared Euclidean distance. As an equation, the squared distance can be expressed as a sum of squares:
Помимо применения для сравнения расстояний, квадрат евклидова расстояния имеет важное значение в статистике, где оно используется в методе наименьших квадратов – стандартном методе подгонки статистических оценок к данным путем минимизации среднего квадратов расстояний между наблюдаемыми и оцененными значениями, а также как простейшая форма расхождения для сравнения распределений вероятностей. Сложение квадратов расстояний друг к другу, как это делается при подгонке методом наименьших квадратов, соответствует операции над (невозведенными в квадрат) расстояниями, называемой пифагоровым сложением. В кластерном анализе квадраты расстояний могут использоваться для усиления влияния больших расстояний. Квадрат евклидова расстояния не образует метрическое пространство, поскольку не удовлетворяет неравенству треугольника. Однако это гладкая, строго выпуклая функция двух точек, в отличие от расстояния, которое не является гладким (вблизи пар равных точек) и выпуклое, но не строго выпуклое. Таким образом, в теории оптимизации предпочтительнее использовать квадрат расстояния, поскольку это позволяет применять выпуклый анализ. Поскольку возведение в квадрат является монотонной функцией неотрицательных значений, минимизация квадратного расстояния эквивалентна минимизации евклидова расстояния, поэтому задача оптимизации эквивалентна с точки зрения любой из них, но проще решается с использованием квадратного расстояния. Совокупность всех квадратов расстояний между парами точек из конечного множества может быть сохранена в евклидовой матрице расстояний и используется в этой форме в геометрии расстояний.
Beyond its application to distance comparison, squared Euclidean distance is of central importance in statistics, where it is used in the method of least squares, a standard method of fitting statistical estimates to data by minimizing the average of the squared distances between observed and estimated values, and as the simplest form of divergence to compare probability distributions. The addition of squared distances to each other, as is done in least squares fitting, corresponds to an operation on (unsquared) distances called Pythagorean addition. In cluster analysis, squared distances can be used to strengthen the effect of longer distances. Squared Euclidean distance does not form a metric space, as it does not satisfy the triangle inequality. However it is a smooth, strictly convex function of the two points, unlike the distance, which is non smooth (near pairs of equal points) and convex but not strictly convex. The squared distance is thus preferred in optimization theory, since it allows convex analysis to be used. Since squaring is a monotonic function of non negative values, minimizing squared distance is equivalent to minimizing the Euclidean distance, so the optimization problem is equivalent in terms of either, but easier to solve using squared distance. The collection of all squared distances between pairs of points from a finite set may be stored in a Euclidean distance matrix, and is used in this form in distance geometry.
История
Евклидово расстояние — это расстояние в евклидовом пространстве. Оба понятия названы в честь древнегреческого математика Евклида, чьи «Начала» стали стандартным учебником по геометрии на протяжении многих веков. Понятия длины и расстояния широко распространены в различных культурах, их можно проследить до самых ранних сохранившихся «протописьменных» бюрократических документов из Шумера в четвертом тысячелетии до нашей эры (задолго до Евклида), и предполагается, что они развиваются у детей раньше, чем связанные с ними понятия скорости и времени. Однако понятие расстояния как числа, определяемого двумя точками, фактически не встречается в «Началах» Евклида. Вместо этого Евклид подходит к этой концепции неявно, через конгруэнтность отрезков прямых, через сравнение длин отрезков прямых и через понятие пропорциональности. Теорема Пифагора также древняя, но она смогла занять центральную роль в измерении расстояний только после изобретения декартовых координат Рене Декартом в 1637 году. Сама формула расстояния была впервые опубликована в 1731 году Алексисом Клеро. Благодаря этой формуле евклидово расстояние также иногда называют пифагорейским расстоянием. Хотя точные измерения больших расстояний на поверхности Земли, которые не являются евклидовыми, изучались во многих культурах с древних времен (см. историю геодезии), идея о том, что евклидово расстояние может быть не единственным способом измерения расстояний между точками в математических пространствах, возникла еще позже, с формулированием неевклидовой геометрии в XIX веке. Определение евклидовой нормы и евклидова расстояния для геометрий более чем трех измерений также впервые появилось в XIX веке в работах Огюстена Луи Коши.
Euclidean distance is the distance in Euclidean space. Both concepts are named after ancient Greek mathematician Euclid, whose Elements became a standard textbook in geometry for many centuries. Concepts of length and distance are widespread across cultures, can be dated to the earliest surviving "protoliterate" bureaucratic documents from Sumer in the fourth millennium BC (far before Euclid), and have been hypothesized to develop in children earlier than the related concepts of speed and time. But the notion of a distance, as a number defined from two points, does not actually appear in Euclid's Elements. Instead, Euclid approaches this concept implicitly, through the congruence of line segments, through the comparison of lengths of line segments, and through the concept of proportionality. The Pythagorean theorem is also ancient, but it could only take its central role in the measurement of distances after the invention of Cartesian coordinates by René Descartes in 1637. The distance formula itself was first published in 1731 by Alexis Clairaut. Because of this formula, Euclidean distance is also sometimes called Pythagorean distance. Although accurate measurements of long distances on the Earth's surface, which are not Euclidean, had again been studied in many cultures since ancient times (see history of geodesy), the idea that Euclidean distance might not be the only way of measuring distances between points in mathematical spaces came even later, with the 19th century formulation of non Euclidean geometry. The definition of the Euclidean norm and Euclidean distance for geometries of more than three dimensions also first appeared in the 19th century, in the work of Augustin Louis Cauchy.