Циркуль мен сызғышпен салынатын сандар

Кіріспе

Компас пен сызғыш арқылы салынатын сан

Сандарды жиын теориясы тұрғысынан "салынатын" сандар

Геометрия мен алгебрада нақты сан, егер және тек қана берілген бірлік ұзындығы бар түзу кесіндісі болса, онда компас пен сызғыш көмегімен шекті санда қадамдармен ұзындығы бар түзу кесіндісін салуға болады. Басқаша айтқанда, егер және тек қана бүтін сандарды және қосу, алу, көбейту, бөлу, түбір табу амалдарын пайдалана отырып, үшін жабық түрдегі өрнегі болса ғана салындырылады. Салынатын сандардың геометриялық анықтамасы, оларды геометриялық немесе алгебралық түрде сипаттауға болатын, сәйкес салынатын нүктелердің анықтамасын тудырады. Нүкте, егер берілген бірлік ұзындығы бар кесіндіден бастап, компас пен сызғыш құрылысының нүктесі (түзу кесіндісінің соңы немесе екі түзудің немесе шеңбердің қиылысуы) ретінде жасалса, салындырылады. Басқаша айтқанда, берілген кесіндінің екі ұшын Картезиандық координаталар жүйесінде (0, 0) және (1, 0) нүктелері деп есептесек, нүкте егер және тек қана оның Картезиандық координаталары екі салындырылатын сан болса ғана салындырылады. Салындырылатын сандар мен нүктелерді басқа процестер арқылы салындырылатын сандар мен нүктелерден ажырату үшін, оларды сызғыш пен компас сандары және сызғыш пен компас нүктелері деп те атайды. Салындырылатын сандар жиыны өріс құрайды: осы жиынның элементтеріне төрт негізгі арифметикалық амалдардың кез келгенін қолдану нәтижесінде басқа салындырылатын сан шығады. Бұл өріс рационалдық сандар өрісінің кеңейтілуі болып табылады және өз кезегінде алгебралық сандар өрісіне кіреді. Ол рационалдық сандардың Евклидтік жабылуы, оның барлық оң сандарының квадрат түбірлерін қамтитын рационалдық сандардың ең кіші кеңейтілуі. Салындырылатын сандардың алгебралық және геометриялық анықтамаларының теңдігін дәлелдеу, компас пен сызғыш құрылыстарына қатысты геометриялық сұрақтарды алгебраға, соның ішінде ежелгі грек математикасының бірнеше белгілі мәселелерін түрлендіруге әкеледі. Бұл сұрақтардың алгебралық тұжырымдамасы олардың шешімдерінің салындырылмауын дәлелдеуге алып келді, ал бұрынғы геометриялық тұжырымдама сол мәселелерге ғасырлар бойы қарсы тұрды.

In geometry and algebra, a real number is constructible if and only if, given a line segment of unit length, a line segment of length can be constructed with compass and straightedge in a finite number of steps. Equivalently, is constructible if and only if there is a closed form expression for using only integers and the operations for addition, subtraction, multiplication, division, and square roots. The geometric definition of constructible numbers motivates a corresponding definition of constructible points, which can again be described either geometrically or algebraically. A point is constructible if it can be produced as one of the points of a compass and straight edge construction (an endpoint of a line segment or crossing point of two lines or circles), starting from a given unit length segment. Alternatively and equivalently, taking the two endpoints of the given segment to be the points (0, 0) and (1, 0) of a Cartesian coordinate system, a point is constructible if and only if its Cartesian coordinates are both constructible numbers. Constructible numbers and points have also been called ruler and compass numbers and ruler and compass points, to distinguish them from numbers and points that may be constructed using other processes. The set of constructible numbers forms a field: applying any of the four basic arithmetic operations to members of this set produces another constructible number. This field is a field extension of the rational numbers and in turn is contained in the field of algebraic numbers. It is the Euclidean closure of the rational numbers, the smallest field extension of the rationals that includes the square roots of all of its positive numbers. The proof of the equivalence between the algebraic and geometric definitions of constructible numbers has the effect of transforming geometric questions about compass and straightedge constructions into algebra, including several famous problems from ancient Greek mathematics. The algebraic formulation of these questions led to proofs that their solutions are not constructible, after the geometric formulation of the same problems previously defied centuries of attack.

Геометриялық тұрғыдан құрастырылатын сандар

Геометриялық формуланың бастапқы ақпараты, координаталары бар бастапқы нүктемен және координаталары бар нүктемен байланыстырылған Картезиандық координаттар жүйесін анықтау үшін қолданылуы мүмкін. Балама анықтамалар бойынша, құрастырылатын сан – құрастырылатын нүктенің координатасы немесе құрастырылатын сызық сегментінің ұзындығы болып табылады. Осы баламалықтың бір бағыты бойынша, егер құрастырылатын нүктенің координаттары болса, онда нүкте оның оське перпендикуляр проекциясы ретінде құрастырылуы мүмкін, ал бастапқы нүктеден осы нүктеге дейінгі сегменттің ұзындығы болады. Керісінше, егер құрастырылатын сызық сегментінің ұзындығы болса, онда радиусы және центрі болатын шеңберді осьпен қиыстыру нүктенің координаталарын береді. Осы баламалықтан, геометриялық тұрғыдан құрастырылатын сандар болып табылатын кез келген нүкте өзі геометриялық тұрғыдан құрастырылатын нүкте болып табылады. Өйткені, егер және геометриялық тұрғыдан құрастырылатын сандар болса, нүкте координаталық осьтерге перпендикуляр және нүктелер арқылы өтетін түзулердің қиылысы ретінде құрастырылуы мүмкін.

Алгебралық тұрғыдан құрастырылатын сандар

Алгебралық тұрғыдан құрастырылатын нақты сандар – қосу, алу, көбейту, көбейтуге кері операциялар және оң сандардың квадрат түбірлерін пайдалана отырып, бүтін сандарды біріктіретін формулалармен сипатталатын нақты сандардың кіші жиынтығы. Бұл формулаларды ұзартуға дайын болса, осы формулалардағы бүтін сандарды тек 0 және 1 деп шектеуге болады. Мысалы, 2-нің квадрат түбірі құрастырылатын сан, өйткені оны немесе формулалары арқылы сипаттауға болады. Сол сияқты, алгебралық тұрғыдан құрастырылатын кешенді сандар – оң сандармен ғана шектелмейтін, кез келген кешенді санды аргумент ретінде қабылдай алатын, квадрат түбірдің жалпыланған түрін пайдаланатын формулаларға ие кешенді сандардың кіші жиынтығы. Басқаша айтқанда, осы кешенді сандар жүйесін нақты және жорамал бөліктері құрастырылатын нақты сандар ретінде анықтауға болады. Мысалы, кешенді санның формуласы немесе болады, ал оның нақты және жорамал бөліктері тиісінше 0 және 1 құрастырылатын сандары болып табылады. Кешенді құрастырылатын сандардың бұл екі анықтамасы эквивалентті. Бір жағынан, егер – кешенді сан болса, оның нақты бөлігі және жорамал бөлігі құрастырылатын нақты сандар болса, онда және-ні олардың формулаларымен үлкен формулаға алмастыру кешенді сан ретінде формула береді. Екінші жағынан, алгебралық тұрғыдан құрастырылатын кешенді санның кез келген формуласын оның нақты және жорамал бөліктеріне арналған формулаларға түрлендіруге болады, формуладағы әрбір операцияны оның аргументтерінің нақты және жорамал бөліктеріндегі операцияларға рекурсивті түрде кеңейту арқылы, мұндағы және .

Алгебралық тұрғыдан құрастырылатын нүктелер

Алгебралық тұрғыдан құрастырылатын нүктелерді екі нақты картезиандық координатасы да алгебралық тұрғыдан құрастырылатын нақты сандар болатын нүктелер ретінде анықтауға болады. Балама ретінде, оларды алгебралық тұрғыдан құрастырылатын кешенді сандармен берілген кешенді жазықтықтағы нүктелер ретінде анықтауға болады. Алгебралық тұрғыдан құрастырылатын кешенді сандар үшін берілген екі анықтаманың эквиваленттілігіне сәйкес, алгебралық тұрғыдан құрастырылатын нүктелердің осы екі анықтамасы да эквивалентті. Керісінше, геометриялық нысандар жиынтығы алгебралық тұрғыдан құрастырылатын нақты сандармен сипатталуы мүмкін: нүктелердің координаттары, түзулердің еңісі және қиылысу нүктесі, шеңберлердің центрі және радиусы. Компас пен сызғышпен бір қадамда қосылатын кез келген қосымша нысан үшін осы мәндерді пайдаланып, тек арифметика мен квадрат түбірлерін қолдана отырып, формулаларды жасау мүмкін (бірақ бұл қиынға соғуы мүмкін). Осы формулалардан геометриялық тұрғыдан құрастырылатын кез келген санның алгебралық тұрғыдан құрастырылатын сан екендігі шығады.

Алгебралық қасиеттер

Алгебралық тұрғыдан құрастырылатын сандардың анықтамасы, осы сандардың кез келгенінің қосындысын, айырмасын, көбейтіндісін және көбейтуге кері санын қамтиды, бұл абстрактілі алгебрада өрісті анықтайтын дәл сол операциялар. Осылайша, құрастырылатын сандар (жоғарыда аталған тәсілдердің кез келгенімен анықталған) өріс құрайды. Нақтырақ айтқанда, құрастырылатын нақты сандар Евклид өрісін құрайды, яғни реттелген өріс, оның әрбір оң санының квадрат түбірі болады. Бұл өрістің және оның ішкі өрістерінің қасиеттерін зерттеу, санның құрастырылуы үшін қажетті шарттарға алып келеді, оларды классикалық геометриялық құрылыс мәселелерінде туындайтын нақты сандардың құрастырылмауын көрсету үшін пайдалануға болады. Құрастырылатын сандардың толық өрісін қарастырудың орнына, кез келген берілген құрастырылатын санмен туындайтын ішкі өрісті қарастыру және осы өрісті бөлшектеу үшін алгебралық құрылымды пайдалану ыңғайлы. Егер құрастырылатын нақты сан болса, онда оны құрастыратын формула ішіндегі шамаларды нақты сандардың шекті тізбегін жасау үшін пайдалануға болады, мұнда әрбір алдыңғы санның 2-дәрежелі кеңейтуі болып табылады. Сәл басқа терминологияны қолдансақ, нақты сан құрастырылатын болады, егер және тек қана егер ол нақты квадраттық кеңейтулердің шекті мұнарасының ең жоғарғы өрісінде жатса, бастапқысы рационал өріс болса. Бұл өрістің кеңейту дәрежесі , мұнда квадраттық кеңейту қадамдарының саны. Нақты жағдайға ұқсас, кешенді сан құрастырылатын болады, егер және тек қана егер ол кешенді квадраттық кеңейтулердің шекті мұнарасының ең жоғарғы өрісінде жатса. Нақтырақ айтқанда, құрастырылатын болады, егер және тек қана егер өрістердің мұнарасы болса, мұнда рационал өрісте жатыр және барлық үшін . Бұл сипаттама мен нақты құрастырылатын сандардың арасындағы айырмашылық тек осы мұнарадағы өрістердің нақты болуымен шектелмейді. Сондықтан, егер кешенді сан құрастырылатын болса, онда оның дәрежесі екінің қуаты болады. Алайда, бұл қажетті шарт жеткіліксіз: екінің қуаты дәрежесіндегі өрістер бар, оларды квадраттық кеңейтулер тізбегіне жіктеу мүмкін емес. Осылайша, квадраттық кеңейтулер мұнараларынан құралатын өрістер қайталанған квадраттық кеңейтулер деп аталады. Нақты және кешенді құрастырылатын сандардың өрістері – барлық нақты немесе кешенді қайталанған квадраттық кеңейтулердің біріктірілген жиыны.

The definition of algebraically constructible numbers includes the sum, difference, product, and multiplicative inverse of any of these numbers, the same operations that define a field in abstract algebra. Thus, the constructible numbers (defined in any of the above ways) form a field. More specifically, the constructible real numbers form a Euclidean field, an ordered field containing a square root of each of its positive elements. Examining the properties of this field and its subfields leads to necessary conditions on a number to be constructible, that can be used to show that specific numbers arising in classical geometric construction problems are not constructible. It is convenient to consider, in place of the whole field of constructible numbers, the subfield generated by any given constructible number , and to use the algebraic construction of to decompose this field. If is a constructible real number, then the values occurring within a formula constructing it can be used to produce a finite sequence of real numbers such that, for each , is an extension of of degree 2. Using slightly different terminology, a real number is constructible if and only if it lies in a field at the top of a finite tower of real quadratic extensions,

starting with the rational field where is in and for all , It follows from this decomposition that the degree of the field extension is , where counts the number of quadratic extension steps. Analogously to the real case, a complex number is constructible if and only if it lies in a field at the top of a finite tower of complex quadratic extensions. More precisely, is constructible if and only if there exists a tower of fields

where is in , and for all , The difference between this characterization and that of the real constructible numbers is only that the fields in this tower are not restricted to being real. Consequently, if a complex number is constructible, then is a power of two. However, this necessary condition is not sufficient: there exist field extensions whose degree is a power of two that cannot be factored into a sequence of quadratic extensions. The fields that can be generated in this way from towers of quadratic extensions of are called iterated quadratic extensions of The fields of real and complex constructible numbers are the unions of all real or complex iterated quadratic extensions of .