Архимед Сиракузский: өмірі мен ғылыми еңбектері

Кіріспе

Грек математигі және физигі (б.з.д. 287–212 ж.ш.)

Сиракузалық Архимед (,/ɑːr//k//ᵻ/'/m//iː//d//iː//z/ ARkimEEdeez; ) – Сицилиядағы Сиракуза қаласының ежелгі грек математигі, физигі, инженері, астрономы және өнертапқышы. Оның өмірінен көп мәлімет белгілі болмаса да, ол ежелгі дәуірдегі ең көрнекті ғалымдардың бірі саналады. Ежелгі тарихтың ең ұлы математигі және барлық уақыттағы ең ұлылардың бірі деп есептелетін Архимед, қазіргі заманғы есептеу және талдауды көре алды, шексіз кішкентай ұғымын және сарқылу әдісін қолданып, геометриялық теоремалардың кең ауқымын туындырып, қатаң түрде дәлелдеді. Оларға шеңбердің ауданы, сфераның бетінің ауданы мен көлемі, эллипс ауданы, парабола астындағы аудан, айналма параболоидінің сегментінің көлемі, айналма гиперболоидінің сегментінің көлемі және спираль ауданы кіреді. Архимедтің басқа да математикалық жетістіктері – пи шамасын табу, Архимед спиралін анықтау және зерттеу, өте үлкен сандарды көрсету үшін экспоненталық қолдану жүйесін жасау. Сондай-ақ ол физикалық құбылыстарға математиканы қолданған алғашқылардың бірі болды, статика және гидростатика салаларында жұмыс істеді. Архимедтің осы саладағы жетістіктері – тетік заңының дәлелі, ауырлық центрінің кеңінен қолданылуы және Архимед принципі деп белгілі суға қарайтын күш заңының тұжырымы. 1906 жылы Архимед палимпсестінен бұрын жоғалған Архимедтің еңбектері табылды, бұл оның математикалық нәтижелерге қалай қол жеткізгені туралы жаңа түсініктер берді.

Өмірбаян

Архимед б.з.д. 287 жылы Сиракузаның теңіз порты Сицилияда дүниеге келді. Туған күні Византиялық грек ғалымы Джон Цетцестің Архимедтің б.з.д. 212 жылы қайтыс болғаннан 75 жыл бұрын өмір сүргені туралы айтуына негізделген. Архимедтің өмірбаянын оның досы Гераклид жазған, бірақ бұл еңбек жоғалып, оның өмірінің егжей-тегжейі белгісіз қалды. Мысалы, оның үйленгені, балалары болғаны, немесе жастық шағында Мысырдағы Александрияға барған-бармағаны белгісіз. Оның сақталған жазбаларынан оның сол жерде тұратын ғалымдармен, оның ішінде досы Самостық Кононмен және Киринеялық бас кітапханашы Эратостенмен қарым-қатынас жасағаны анық көрінеді. Архимедтің өмірінің стандартты нұсқалары грек және рим тарихшылары оның қайтыс болғаннан кейін ұзақ уақыт жазды. Архимед туралы ең алғашқы мәлімет оның өлімінен 70 жыл өткен соң жазылған Полибидің "Тарих" кітабында кездеседі (б.з.д. 200–118 ж.). Ол Архимедтің тұлғасына аз ғана жарық түсіреді және қаланы римдіктерден қорғау үшін жасаған деп айтылатын соғыс машиналарына назар аударады. Полибий Екінші Пуникалық соғыс кезінде Сиракузаның Римнен Карфагенге адалдықты қалай ауыстырғанын айтады, нәтижесінде қаланы б.з.д. 213–212 жылдары Марк Клавдий Марцелл мен Аппий Клавдий Пульхер басқаруымен әскери науқан жүргізілді. Ол римдіктердің Сиракузаның қорғанысын бағаламағанын атап өтті және Архимедтің бірнеше машиналарын, соның ішінде жақсартылған катапульттерді, доғада айналатын кран тәрізді машиналарды және басқа да тас лақтырушыларды атады. Римдіктер қаланы басып алса да, Архимедтің өнертабысына байланысты едәуір шығынға ұшырады. Цицерон (б.з.д. 106–43 ж.) Архимедті кейбір еңбектерінде атаған. Сицилияда квестор болып қызмет еткенде, Цицерон Сиракузадағы Агригентин қақпасының жанында Архимедтің қабірі деп есептелетін, елеусіз күйде және бұталармен өскен қабірді тапты. Цицерон қабірдің іші тазартылып, ондағы ою-өрнекті көріп, жазу ретінде қосылған кейбір тармақтарды оқып алды. Қабірде Архимедтің сүйікті математикалық дәлелін көрсететін мүсін бар, яғни сфераның көлемі мен бетінің ауданы оның негіздерін қоса алғанда, қоршау цилиндрінің үштен екісі. Сондай-ақ, Марцеллдің Архимед салған екі планетарийді Римге әкелгенін айтады. Рим тарихшысы Ливий (б.з.д. 59–17 жж.) Полибийдің Сиракузаны басып алу және Архимедтің рөлі туралы әңгімесін қайталайды. Плутарх (45–119 ж.) өзінің "Параллель өмірлері" деген еңбегінде Архимедтің Сиракузаның билеушісі Иеро II патшамен туыстас екенін жазған. Сонымен қатар ол Архимедтің қала басып алынғаннан кейін қалай қайтыс болғаны туралы кем дегенде екі мәлімет береді. Ең танымал дерек бойынша, Архимед қала басып алынғанда математикалық диаграмманы ойлап жүрген. Римдік сарбаз оған Марцеллмен кездесуге бұйырды, бірақ ол бұл мәселені шешуді аяқтауы керек деп, келіспеді. Бұл жауынгердің ашуын туғызып, Архимедті семсерімен өлтірді. Басқа бір әңгіменің айтуынша, Архимед математикалық құралдарды алып жүргенде, бір сарбаз оларды құнды заттар деп ойлап өлтірді. Марцел Архимедтің өліміне ашуланған, өйткені ол оны құнды ғылыми актив деп санайды (ол Архимедті "геометриялық Бриареус" деп атады) және оған зиян келтірмеуді бұйырды. Архимедтің соңғы сөзі "Менің шеңберлерімді бұзба" (латынша "Noli turbare circulos meos"; грекше "μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε") - бұл римдік сарбаздың бұзғаны кезінде оқып жүрген математикалық суретіне сілтеме. Архимедтің бұл сөздерді айтқандығы туралы сенімді дәлел жоқ және олар Плутархтың жазбасында кездеспейді. Осыған ұқсас цитата Валериус Максимустың еңбегінде (fl. 30 ж.), "sed protecto manibus puluere 'noli' inquit, 'obsecro, istum disturbare'" ("бірақ қолын шаңға тығып, "мен сенен сұраймын, бұған кедергі жасама" деп жазды). Бұл оқиғада Архимед ваннаға кіргенде ваннадағы судың деңгейінің көтерілгенін байқаған және бұл әсерді алтын тәждің көлемін анықтау үшін қолдануға болатынын түсінген. Архимед бұл жаңалықтан қатты қуанғандықтан, киімін киюді ұмытып, көшеге жалаңаш шығып: "Еврика!" деп айқайлады. ("Εὕρηκα, heúrēka!"). Суды қысыстыру мүмкін емес, сондықтан су астында қалған тәж өз көлеміне тең суды ығыстырып тастайды. Тақтың массасын ығыстырылған судың көлеміне бөлу арқылы оның тығыздығын алуға болады; егер арзан және тығыздығы аз металл қосылса, тығыздығы алтыннан төмен болады. Архимед күміс қосылғанын дәлелдеп, осыны анықтады. Архимед, мүмкін, оның орнына, оның "Үрмелі денелер туралы" трактатында кездесетін Архимед принципі деп аталатын гидростатикалық принципті қолданған шешімді іздеген: сұйықтыққа батып кеткен дене оның ауыстыратын сұйықтығының салмағына тең жүзу күшін сезінеді. Осы принципті қолдану арқылы тақтың тығыздығын таза алтынмен салыстыруға болады. Галилео Галилей, 1586 жылы Архимедтің еңбегінен шабыдаланған гидростатикалық таразы ойлап тапқан, бұл әдіс Архимедтің өзі қолданған деп санайды, себебі бұл өте дәл және Архимедтің өзі дәлелдеген принциптерге негізделген.

Archimedes was born c. 287 BC in the seaport city of Syracuse, Sicily, at that time a self governing colony in Magna Graecia. The date of birth is based on a statement by the Byzantine Greek scholar John Tzetzes that Archimedes lived for 75 years before his death in 212 BC. A biography of Archimedes was written by his friend Heracleides, but this work has been lost, leaving the details of his life obscure. It is unknown, for instance, whether he ever married or had children, or if he ever visited Alexandria, Egypt, during his youth. From his surviving written works, it is clear that he maintained collegial relations with scholars based there, including his friend Conon of Samos and the head librarian Eratosthenes of Cyrene. The standard versions of Archimedes' life were written long after his death by Greek and Roman historians. The earliest reference to Archimedes occurs in The Histories by Polybius ( 200–118 BC), written about 70 years after his death. It sheds little light on Archimedes as a person, and focuses on the war machines that he is said to have built in order to defend the city from the Romans. Polybius remarks how, during the Second Punic War, Syracuse switched allegiances from Rome to Carthage, resulting in a military campaign under the command of Marcus Claudius Marcellus and Appius Claudius Pulcher, who besieged the city from 213 to 212 BC. He notes that the Romans underestimated Syracuse's defenses, and mentions several machines Archimedes designed, including improved catapults, crane like machines that could be swung around in an arc, and other stone throwers. Although the Romans ultimately captured the city, they suffered considerable losses due to Archimedes' inventiveness. Cicero (106–43 BC) mentions Archimedes in some of his works. While serving as a quaestor in Sicily, Cicero found what was presumed to be Archimedes' tomb near the Agrigentine gate in Syracuse, in a neglected condition and overgrown with bushes. Cicero had the tomb cleaned up and was able to see the carving and read some of the verses that had been added as an inscription. The tomb carried a sculpture illustrating Archimedes' favorite mathematical proof, that the volume and surface area of the sphere are two thirds that of an enclosing cylinder including its bases. He also mentions that Marcellus brought to Rome two planetariums Archimedes built. The Roman historian Livy (59 BC–17 AD) retells Polybius' story of the capture of Syracuse and Archimedes' role in it.]] Plutarch (45–119 AD) wrote in his Parallel Lives that Archimedes was related to King Hiero II, the ruler of Syracuse. He also provides at least two accounts on how Archimedes died after the city was taken. According to the most popular account, Archimedes was contemplating a mathematical diagram when the city was captured. A Roman soldier commanded him to come and meet Marcellus, but he declined, saying that he had to finish working on the problem. This enraged the soldier, who killed Archimedes with his sword. Another story has Archimedes carrying mathematical instruments before being killed because a soldier thought they were valuable items. Marcellus was reportedly angered by Archimedes' death, as he considered him a valuable scientific asset (he called Archimedes "a geometrical Briareus") and had ordered that he should not be harmed. The last words attributed to Archimedes are "Do not disturb my circles" (Latin, "Noli turbare circulos meos"; Katharevousa Greek, "μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε"), a reference to the mathematical drawing that he was supposedly studying when disturbed by the Roman soldier. There is no reliable evidence that Archimedes uttered these words and they do not appear in Plutarch's account. A similar quotation is found in the work of Valerius Maximus (fl. 30 AD), who wrote in Memorable Doings and Sayings, " sed protecto manibus puluere 'noli' inquit, 'obsecro, istum disturbare'" (" but protecting the dust with his hands, said 'I beg of you, do not disturb this). In this account, Archimedes noticed while taking a bath that the level of the water in the tub rose as he got in, and realized that this effect could be used to determine the golden crown's volume. Archimedes was so excited by this discovery that he took to the streets naked, having forgotten to dress, crying "Eureka!" ("εὕρηκα, heúrēka!, ). For practical purposes water is incompressible, so the submerged crown would displace an amount of water equal to its own volume. By dividing the mass of the crown by the volume of water displaced, its density could be obtained; if cheaper and less dense metals had been added, the density would be lower than that of gold. Archimedes found that this is what had happened, proving that silver had been mixed in. Archimedes may have instead sought a solution that applied the hydrostatics principle known as Archimedes' principle, found in his treatise On Floating Bodies: a body immersed in a fluid experiences a buoyant force equal to the weight of the fluid it displaces. Using this principle, it would have been possible to compare the density of the crown to that of pure gold by balancing it on a scale with a pure gold reference sample of the same weight, then immersing the apparatus in water. The difference in density between the two samples would cause the scale to tip accordingly. Galileo Galilei, who invented a hydrostatic balance in 1586 inspired by Archimedes' work, considered it "probable that this method is the same that Archimedes followed, since, besides being very accurate, it is based on demonstrations found by Archimedes himself."

Жеңге заңдары

Архимед рычақтың авторы болмаса да, ол "Жазықтықтардың тепе-теңдігі" атты еңбегінде осы принципке математикалық дәлел келтірді. Рычақ принципінің алғашқы сипаттамалары Евклидтің еңбегінде және Аристотельдің ізбасарларының перипатетикалық мектебіне жататын «Механикалық мәселелерде» кездеседі, оның авторлығын кейбір ғалымдар Архитасқа жатқызады. Архимедтің рычақты қолданып, өте ауыр заттарды көтеруі туралы көптеген, көбінесе қайшы келетін хабарлар бар. Плутарх Архимедтің блоктар мен шынжырлы дөңгелектер жүйесін қалай жасағанын айтады, бұл теңізшілерге рычаг принципін пайдаланып, әдетте көтеруге тым ауыр заттарды жылжытуға мүмкіндік берді. Александриялық Папптың сөзіне қарағанда, Архимедтің рычагтардағы жұмысы және механикалық күшті түсінуі оны былай деп айтуға итерді: «Маған тұруға орын беріңдер, мен Жерді жылжытамын» (δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω). Кейінірек Олимпиодор осы мақтаныш сөзді Архимедтің барулькос деп аталатын, жел қуатымен жұмыс істейтін құралды ойлап табуымен байланыстырды, емес рычагпен.

Архимед бұрандасы

Архимедтің инженерлік жұмысының көп бөлігі, әдетте, оның туған қаласы Сиракузаның қажеттіліктерін қанағаттандырудан туындаған. Афиней Наукраттың сөзіне сүйенсек, Иеро II патшасы саяхат үшін, жабдықтау тасу үшін және теңіз күшін көрсету үшін "Сиракузия" деп аталатын үлкен кеменің жобасын дайындауды тапсырған. "Сиракузия" классикалық антикалық дәуірде салынған ең үлкен кеме болған және Мошионның баяндамасына сәйкес, оны Архимед сұрыптап шығарған. Баяндамада сондай-ақ кеме корпусынан судың ағып кетуіне жол бермеу үшін Архимед цилиндрдің ішінде айналатын бұранда тәрізді пышақтары бар құрылғы жасағаны айтылады. Архимед бұрандасы қолмен айналдырылатын, сонымен қатар суды төмен жатқан су қоймаларынан суару каналдарына тасымалдау үшін де қолданылуы мүмкін. Бұл бұранда бүгінге дейін сұйықтықтарды және көмір мен астық сияқты ұсақ бөлшекті заттарды сору үшін қолданылады. Витрувий сипаттағандай, Архимедтің құрылғысы Бабылдің аспалы бақтарын суару үшін қолданылған бұрандалы сорғының жетілдірілген нұсқасы болуы мүмкін. Әлемдегі алғашқы теңізге шығатын бу кемесі, бұрандалы пропеллермен жабдықталған "СС Архимед" 1839 жылы теңізге сүңгіп, Архимедтің және оның бұрандаға қатысты жұмысын құрметтеп аталған.

Архимед тырнағы

Архимед Сиракуза қаласын қорғау үшін арналған тырнақ тәрізді қару жасады делінеді. "Кеме шайқағыш" деп те аталатын бұл құрылғы, кран сияқты қолдан және үлкен металл ілгектерден тұрды. Тырнақ шабуылдаушы кемеге түсірілген кезде, қол жоғары көтеріліп, кемені судан көтеріп, мүмкін, батыратын. Тырнақтың тиімділігін тексеру үшін қазіргі заманда тәжірибелер жүргізілді, ал 2005 жылы "Ежелгі әлемнің супер қарулары" атты теледокументалды фильм тырнақтың үлгісін жасап, оның жұмыс істейтін құрылғы екенін көрсетті. Архимед катапультаның қуаты мен дәлдігін арттырғанымен қатар, Бірінші Пуникалық соғыс кезінде жол өлшегішті (одометрді) ойлап тапқаны да мәлім. Одометр – әр шақырым сайын контейнерге шар тастайтын механизмге ие арба болып сипатталды.

Астрономиялық аспаптар

Архимед «Құм есепшісінде» Жер, Күн және Айдың астрономиялық өлшемдерін, сондай-ақ Аристорхтың ғаламның гелиоцентрлік моделін талқылайды. Тригонометрияны немесе хордалар кестесін пайдаланбастан, Архимед алдымен бақылаулар жасау үшін қолданылатын процедура мен құралды (қазықтар немесе ойықтар бар түзу таяқ) сипаттайды, осы өлшемдерге түзету коэффициенттерін қолданады және соңында бақылау қатесін ескере отырып, нәтижені жоғарғы және төменгі шектер түрінде көрсетеді. Бұл шағын планетарийдің сипаттамасы болып табылады. Александриялық Папп Архимедтің осы механизмдердің құрылысы туралы «Сфера жасау туралы» деген жоғалған еңбегінен хабарлайды. Қазіргі заманғы зерттеулер осы салада б.з.д. 100 жыл шамасында салынған, мүмкін соған ұқсас мақсатта жасалған Антикитера механизміне бағытталған. Мұндай механизмдерді құру үшін дифференциалдық берілістер туралы жетілдірілген білім қажет болды. Бұрын бұл технологияның осы кезеңде қолданылуы мүмкін емес деп есептелген, бірақ 1902 жылы Антикитера механизмі табылуымен, мұндай құрылғылар ежелгі гректерге белгілі болғаны расталды.

Математика

Архимед көбінесе механикалық құрылғылардың ойластырушысы ретінде танымал болғанымен, математика саласына да елеулі үлес қосты. Плутарх Архимедтің "барлық құштарлығы мен мақсатын өмірдің күнделікті қажеттіліктеріне еш қатысы жоқ, таза ой-қиялына жұмсады" деп жазған, алайда кейбір ғалымдар мұның дұрыс емес сипаттама болуы мүмкін деп есептейді.

Тоқтату әдісі

Архимед қазіргі интегралды есептеуге ұқсас бөлінбейтіндерді (инфинитезималдардың алғысы) пайдалана алды. Қарсылыққа қарай дәлелдеу (reductio ad absurdum) арқылы, ол жауаптың шектерін көрсете отырып, кез келген дәрежеде нақтылықпен мәселелерге жауап бере алды. Бұл әдіс тозу әдісі деп аталады, және ол оны фигуралардың ауданын және π мәнін жуықтау үшін қолданды. "Шеңберді өлшеу" еңбегінде ол шеңбердің сыртында үлкен дұрыс алтыбұрыш, ал шеңбердің ішінде кіші дұрыс алтыбұрыш салып, әрбір дұрыс көпбұрыштың қабырғаларының санын қадам сайын екі есеге арттырып, әр қадамда әрбір көпбұрыштың қабырғасының ұзындығын есептеді. Қабырғалар саны артқан сайын, ол шеңбердің жақымдау шамасына жақындай түседі. Төрт қадамнан кейін, көпбұрыштардың әрқайсысы 96 қабырғаға ие болғанда, ол π мәні 3 (шамамен 3.1429) және 3 (шамамен 3.1408) аралығында екенін анықтады, бұл оның шамамен 3.1416 нақты мәнімен сәйкес келеді. Сондай-ақ ол шеңбердің ауданы шеңбер радиусының квадратына көбейтілген π-ға тең екенін дәлелдеді.

Архимед қасиеттері

"Сфера мен цилиндр туралы" еңбегінде Архимед кез келген шаманы өзіне жеткілікті рет қосса, кез келген берілген шамадан асып кететінін айтады. Бүгінде бұл нақты сандардың Архимед қасиеті деп белгілі. "Шеңберді өлшеу" еңбегінде Архимед 3-тің квадрат түбірінің мәнін (шамамен 1.7320261) және (шамамен 1.7320512) аралығында екенін көрсетеді. Шын мәніндегі мәні шамамен 1.7320508-ге тең, бұл өте дәл есептеу. Ол бұл нәтижеге қалай келгенін түсіндірмеген. Архимедтің жұмысының осы ерекшелігі Джон Уоллистің: "Ол әдейі зерттеу жолдарын жасырғандай, өзінің әдісінің құпиясын кейінгі ұрпақтан жасырып, нәтижелеріне ғана сене алуын қалаған" деген пікір білдіруіне себеп болды. Ол осы мәндерді есептеу үшін итеративті әдіс қолданған болуы мүмкін.

Шексіз қатарлар

Параболаның квадратурасында Архимед парабола мен түзу сызықпен қоршалған ауданның оң жақтағы суретте көрсетілгендей, сәйкес ішкі жазылған үшбұрыштың ауданының 4/3 есесіне тең екенін дәлелдеді. Ол мәселенің шешімін ортақ қатынасы 1/4 болатын шексіз геометриялық қатар түрінде көрсетті: Егер осы қатардағы бірінші мүше үшбұрыштың ауданы болса, онда екіншісі – негіздері екі кіші кескіш сызықтар болатын екі үшбұрыштың аудандарының қосындысы, ал үшінші төбесі – парабола осіне параллель және негіздің орта нүктесі арқылы өтетін түзу параболамен қиылысатын жерде және т.б. Бұл дәлелдеме 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · қатарының түрін пайдаланады, оның қосындысы 1/3-ке тең.

Мириад мириад

"Жемшік есептеуіш" кітабында Архимед ғаламды толтыруға қажетті құм түйіршіктерінен артық санды есептеуге кірісті. Осылайша ол құмның саны санауға келмейді деген ойға қарсы шықты. Ол былай деп жазды: "Кейбіреулер, Гело патша, құмның саны шексіз деп ойлайды; мен құм деп Сиракуза мен Сицилияның қалған бөлігіндегі құмды ғана емес, сонымен қатар барлық аймақтардағы, мекенделген немесе мекенделмеген жерлердегі құмды да меңзеймін. Бұл мәселені шешу үшін Архимед сансыз сандарға негізделген санау жүйесін құрастырды. Бұл сөз грек тіліндегі μυριάς сөзінен туындаған, ол 10 000 санын білдіреді. Ол сан жүйесін мыңдаған мыңдағанның дәрежелерін пайдаланып (100 миллион, яғни 10 000 x 10 000) жасады және ғаламды толтыру үшін 8 вигинтиллион, яғни 8 құм түйіршігі қажет деген қорытындыға келді.

Жазбалар

Архимедтің еңбектері ежелгі Сиракузаның дорийлік грек тілінде жазылған. Архимедтің көптеген жазба еңбектері сақталмаған немесе ауыр өңдеулерден өткен үзінділер түрінде ғана жеткен; кем дегенде жеті трактаты басқа авторлардың сілтемелері арқасында болғандығы белгілі. Архимед өз еңбектерін Александриядағы математиктермен хат алмасу арқылы таныстырды. Архимедтің жазбаларын алғашқы рет Византиялық грек сәулетшісі Милеттік Исидор (шамамен 530 ж.) жинаған, ал 6-шы ғасырда Евтокий жазған түсіндірмелер Архимедтің еңбектерін кең көлемде таратуға көмектесті. Архимедтің еңбектерін араб тіліне Табит ибн Курра (836–901 ж.) аударған, ал араб тілінен латын тіліне Кремоналық Жерар (1114–1187 ж.) аударған. Грек тілінен латын тіліне тікелей аудармаларды Уильям Моербеке (шамамен 1215–1286 ж.) және Якобус Кремоненсис (шамамен 1400–1453 ж.) кейіннен жасаған. Ренессанс дәуірінде, 1544 жылы Базельде Иоганн Гервагеннің баспасында Архимедтің еңбектері грек және латын тілдерінде алғаш рет жарияланды.

Тірі қалған шығармалары

Келесі тізім Норрдың (1978) және Сатоның (1986) ұсынған жаңа терминологиялық және тарихи критерийлері бойынша хронологиялық ретпен келтірілген.

Дөңгелектің өлшемі

Бұл үш қағидадан тұратын қысқаша еңбек. Ол Пелусийлік Доситейге жазылған хаттар түрінде жазылған, ол Самос атындағы Кононның шәкірті болған. Екінші қағидада Архимед пи санын жуықтап, оның (3,1408) шамасынан артық және (3,1428) шамасынан кем екенін көрсетеді.

Құм санағы

Бұл трактат, сонымен қатар "Псаммиттер" деп аталады, Архимедтің ғаламды толтыруға қажетті құмның барлық түйіршіктерінен де көп санды табуы туралы айтады. Бұл кітапта Самостық Аристарх ұсынған күн жүйесінің гелиоцентрлік теориясы, сондай-ақ Жердің мөлшері және әртүрлі аспан денелері арасындағы қашықтық туралы сол кездегі пікірлер келтірілген. Архимед мириадтың дәрежелеріне негіделген сандар жүйесін қолданып, ғаламды толтыру үшін қажетті құм түйіршіктерінің саны қазіргі нотация бойынша 10<sup>63</sup> екенін көрсетеді. Кіріспе хатта Архимедтің әкесі Фидий есімді астроном болғаны айтылады. "Жем-жаңбырды есептеу" – Архимедтің астрономия саласындағы көзқарастарын талқылаған жалғыз сақталған еңбегі.

Ұшақтардың тепе-теңдігі туралы

Ұшақтардың тепе-теңдігі туралы екі кітап бар: біріншісінде жеті постулат және он бес ұйғарым бар, ал екіншісінде он ұйғарым бар. Бірінші кітапта Архимед рычаг заңын дәлелдейді, ол былай тұжырымдайды:

text=Шамалар өз салмақтарына кері пропорционал арақашықтықта тепе-теңдікте болады. Архимед туынды принциптерді үшбұрыштар, параллелограммалар және параболалар сияқты әр түрлі геометриялық фигуралардың аудандары мен ауырлық орталықтарын есептеу үшін пайдаланады.

Параболаның квадратурасы

Досифейге арналған 24 ұйғарымнан тұратын бұл еңбегінде Архимед парабола мен түзу сызықпен шектелген ауданның, бірдей негізі мен биіктігі бар үшбұрыштың ауданынан 4/3 есе көп екенін екі тәсілмен дәлелдейді. Ол мұны дәлелдерінің бірінде геометриялық прогрессияның қосындысын есептеу арқылы іске асырады, бұл прогрессия 1/4 қатынасымен шексіздікке дейін жиналады.

Сфера мен цилиндрде

Досифейге арналған екі томдық еңбекте Архимед өзі ең мақтан тұтқан нәтижеге жетеді, атап айтқанда, бірдей биіктігі мен диаметрі бар шар мен оны қоршаған цилиндр арасындағы қатынасты анықтайды. Шардың көлемі r³ ал, цилиндрдікі 2r³. Шардың бетінің ауданы 4r², ал цилиндрдікі 6r² (оның екі табаны да ескерілген), мұндағы r – шар мен цилиндрдің радиусы.

Спиральмен

28 ұсыныстан тұратын бұл еңбек Доситейге де арналған. Бұл трактат қазір Архимед спиралі деп аталатын нәрсені анықтайды. Ол – тұрақты бұрыштық жылдамдықпен айналатын түзу бойымен тұрақты жылдамдықпен қозғалатын және белгілі бір нүктеден алыстайтын нүктенің уақыт өте келе атқанатын орнына сәйкес келетін нүктелердің геометриялық орны. Басқаша айтқанда, қазіргі полярлық координаттарда (r, θ) оны a және b нақты сандары арқылы берілетін теңдеумен сипаттауға болады. Бұл – грек математигі қарастырған механикалық қисықтардың (қозғалатын нүктемен салынатын қисықтардың) ерте мысалы.

Коноидтар мен сфероидтар туралы

Бұл Досифейге арналған 32 теоремадан тұратын еңбек. Осы трактатта Архимед конустардың, шарлардың және параболоидтардың қималарының аудандары мен көлемдерін есептейді.

Жүгіретін денелер

"Жүзуші денелер туралы" екі кітап бар. Бірінші кітапта Архимед сұйықтардың тепе-теңдік заңын түсіндіріп, судың ауырлық центрінің маңында шар тәрізді болатынын дәлелдейді. Бұл, мүмкін, Ератосфен сияқты грек астрономдарының Жердің дөңгелек екендігі туралы теориясын түсіндіруге жасалған тытыру болған. Архимед сипаттаған сұйықтар өздігінен гравитацияланбайды, себебі ол шар пішіннің пайда болуы үшін барлық заттарға түсу үшін бір нүкте бар деп есептейді. Архимедтің қалықтау принципі осы еңбекте келтірілген, ол былай формулировкаланған: Кез келген дене толығымен немесе жартылай сұйықтыққа батқанда, оған жоғары бағытталған күш әсер етеді, ол ығыстырылған сұйықтықтың салмағына тең, бірақ бағыты қарама-қарсы. Екінші бөлімінде ол параболоид қималарының тепе-теңдік күйін есептейді. Бұл, әлдебір кеме корпусы пішіндерін идеализациялау болған. Оның кейбір қималары судың астында, ал жоғарғы бөлігі судың үстінде қалады, мұз тауларының қалай жүзгеніне ұқсас.

Остомахион

Архимедтің локулы немесе Архимед қорабы деп те аталады. Айналу және көрініс арқылы эквивалентті шешімдер ескерілмегенде, мүмкін болатын орналастырулардың саны 536-ға жетеді. Бұл жұмбақ комбинаторика саласындағы алғашқы мәселелердің мысалы болып табылады. Жұмбақтың атының шығу тегі нақты белгісіз, бірақ ол ежелгі грек тіліндегі "жұтқыншақ" немесе "қарын" мағынасын білдіретін stomachos (στόμαχος) сөзінен алынған болуы мүмкін деген ұсыныс бар. Аусониус бұл жұмбақты ostomachion деп атаған, ол osteon (ὀστέον) және machē (μάχη) түбірлерінен құралған грек сөзі.

Мал мәселесі

Готтольд Ефрем Лессинг 1773 жылы Германияның Вольфенбюттель қаласындағы Герцог Август кітапханасында грек қолжазбасынан бұл шығарманы тапты. Бұл қолжазба 44 таралған өлеңнен тұрады. Ол Эратостенге және Александрия математиктеріне жолталған. Архимед олардан бірнеше Диофантилік теңдеулерді шешу арқылы Күннің мал тобындағы малдың санын есептеуді сұрайды. Мәселенің тағы бір қиын нұсқасы бар, онда кейбір жауаптар квадрат түрінде болуы тиіс. А. Амтор бұл нұсқаны 1880 жылы бірінші болып шешті, ал жауабы өте үлкен сан, шамамен 7.760271.

Механикалық теоремалар әдісі

Бұл трактат 1906 жылы Архимед палимпсестінің табылуына дейін жоғалған деп есептелді. Бұл еңбекте Архимед үзіліссіз шамаларды қолданады.

Сонымен қатар, үшбұрыштың ауданын оның қабырғаларының ұзындығы арқылы есептеу формуласы Архимедке белгілі болған деген пікір де бар, бірақ оның алғашқы рет пайда болуы біздің заманымыздың 1 ғасырында Герон Александрийскийдің еңбегінде кездеседі. Архимедтің жұмысына жатқызылатын басқа да күмәнді туындылар: латын поэмасы Carmen de ponderibus et mensuris (4-ші немесе 5-ші ғасыр), ол тәж мәселесін шешу үшін гидростатикалық тепе-теңдікті пайдалануды сипаттайды, және 12-ші ғасыр мәтіні Mappae clavicula, онда металдарды олардың меншікті салмағын есептеу арқылы сынау қалай жүргізілетіні туралы нұсқаулар келтірілген.

Мұра

Кейде математика мен математикалық физиканың әкесі деп атайтын Архимед математика мен ғылымға зор ықпал етті.

Құрмет көрсетулер мен еске алулар

Айда Архимед атын алған кратер бар, сондай-ақ Айдағы таулар тізбегі – Монтес Архимед. Математикадағы ең үлкен жетістіктері үшін берілетін Филдс медалі Архимедтің портретімен бірге, оның сфера мен цилиндрге қатысты дәлелін бейнелейтін суретпен әсемделген. Архимедтің басына жазылған жазу – біздің заманымыздың I ғасырындағы Манилий ақынының латын тіліндегі сөзі: Transire suum pectus mundoque potiri ("Өзіңнен асқан биікке көтеріліп, әлемді түсін"). Архимед Шығыс Германия (1973), Грекия (1983), Италия (1983), Никарагуа (1971), Сан-Марино (1982) және Испания (1963) елдері шығарған пошта маркаларында бейнеленген. "Эврика!" деген сөз Архимедке байланыстырылып, Калифорния штатының ресми ұраны болып табылады. Бұл жағдайда бұл сөз 1848 жылы Саттерс-Милл маңынан алтынның табылуымен байланысты, ол Калифорниядағы алтын асыруды (Gold Rush) бастады.