Кіріспе
Екі өлшемді беттің өлшемі геометриялық шама. Ауданы – беттегі аймақтың мөлшері. Жазық аймақтың немесе жазық пішіннің ауданы пішіннің немесе жазық ламинаттың ауданына, ал бет ауданы ашық беттің ауданына немесе үш өлшемді нысанның шекарасына қатысты. Ауданы белгілі бір қалыңдықтағы нысанның үлгісін жасауға қажетті материал мөлшері немесе бетті бір қабатпен жабуға қажетті бояу мөлшері ретінде түсіндіріледі. Бұл қисықтың ұзындығының (бір өлшемді ұғым) немесе дене көлемінің (үш өлшемді ұғым) екі өлшемді аналогы. Екі түрлі аймақтың ауданы бірдей болуы мүмкін (мысалы, шеңберді шаршылау); синекдоха бойынша, "аудан" кейде аймаққа қатысты қолданылады, мысалы, "көпбұрышты аудан". Пішіннің ауданы оны белгілі бір өлшемдегі шаршылармен салыстыру арқылы өлшенеді. Үш шаршы метр ауданы бар пішіннің ауданы осындай үш шаршымен тең болады. Математикада бірлік шаршының ауданы 1 деп анықталады, ал кез келген басқа пішіннің немесе беттің ауданы өлшемсіз нақты сан болып табылады. Үшбұрыштар, тіктөртбұрыштар және шеңберлер сияқты қарапайым пішіндердің аудандарына арналған бірнеше белгілі формулалар бар. Осы формулаларды пайдаланып, кез келген көпбұрыштың ауданы оны үшбұрыштарға бөлу арқылы табылады. Иісқы шекарасы бар пішіндер үшін ауданын есептеу үшін көбінесе интегралдық есептеу қажет. Шындығында, жазық пішіндердің ауданын анықтау мәселесі интегралдық есептеудің тарихи дамуына ықпал еткен маңызды фактор болды. Сфера, конус немесе цилиндр сияқты қатты нысан үшін оның шекаралық бетінің ауданы бет ауданы деп аталады. Қарапайым пішіндердің бет ауданына арналған формулалар ежелгі гректермен есептелген, бірақ күрделі пішіннің бет ауданын есептеу көбінесе көп айнымалы интегралдық есептеуді қажет етеді. Ауданы қазіргі заманғы математикада маңызды рөл атқарады. Геометрия мен интегралдық есептеудегі айқын маңыздылығынан басқа, аудан сызықтық алгебрадағы детерминанттардың анықтамасымен байланысты және дифференциалдық геометриядағы беттердің негізгі қасиеті болып табылады. Анализде жазықтықтың ішкі жиынының ауданы Лебег өлшемі арқылы анықталады, бірақ таңдау аксиомасын қабылдаған жағдайда, әрбір жиын өлшенетін емес. Жалпы алғанда, жоғары математикада аудан екі өлшемді аймақтар үшін көлемнің ерекше жағдайы ретінде қарастырылады. Барлық S ∈ M үшін a(S) ≥ 0. Егер S және T ∈ M болса, онда S ∪ T және S ∩ T де M-ге жатады, сондай-ақ 1 = a(S ∪ T) = a(S) + a(T) − a(S ∩ T). Егер S және T ∈ M және S ⊆ T болса, онда T − S ∈ M және 1 = a(T − S) = a(T) − a(S). Егер S жиыны M-ге жатса және S жиыны T жиынына конгруэнтті болса, онда T де M-ге жатады және 1 = a(S) = a(T). Кез келген тіктөртбұрыш R ∈ M. Егер тіктөртбұрыштың ұзындығы h және ені k болса, онда 1 = a(R) = hk. Q екі қадамдық аймақ S және T арасында орналасқан жиын болсын. Қадамдық аймақ ортақ негізге негізделген жанындағы тіктөртбұрыштардың шекті біріктіруінен құралады, яғни S ⊆ Q ⊆ T. Егер барлық осындай қадамдық аймақтар S және T үшін бірегей c саны болса, онда a(S) ≤ c ≤ a(T), онда 1 = a(Q) = c. Мұндай аудан функциясының шындығында бар екендігі дәлелденуі мүмкін.
the geometric quantity
Area is the measure of a region's size on a surface. The area of a plane region or plane area refers to the area of a shape or planar lamina, while surface area refers to the area of an open surface or the boundary of a three dimensional object. Area can be understood as the amount of material with a given thickness that would be necessary to fashion a model of the shape, or the amount of paint necessary to cover the surface with a single coat. It is the two dimensional analogue of the length of a curve (a one dimensional concept) or the volume of a solid (a three dimensional concept). Two different regions may have the same area (as in squaring the circle); by synecdoche, "area" sometimes is used to refer to the region, as in a "polygonal area". The area of a shape can be measured by comparing the shape to squares of a fixed size. A shape with an area of three square metres would have the same area as three such squares. In mathematics, the unit square is defined to have area one, and the area of any other shape or surface is a dimensionless real number. There are several well known formulas for the areas of simple shapes such as triangles, rectangles, and circles. Using these formulas, the area of any polygon can be found by dividing the polygon into triangles. For shapes with curved boundary, calculus is usually required to compute the area. Indeed, the problem of determining the area of plane figures was a major motivation for the historical development of calculus. For a solid shape such as a sphere, cone, or cylinder, the area of its boundary surface is called the surface area. Formulas for the surface areas of simple shapes were computed by the ancient Greeks, but computing the surface area of a more complicated shape usually requires multivariable calculus. Area plays an important role in modern mathematics. In addition to its obvious importance in geometry and calculus, area is related to the definition of determinants in linear algebra, and is a basic property of surfaces in differential geometry. In analysis, the area of a subset of the plane is defined using Lebesgue measure, though not every subset is measurable if one supposes the axiom of choice. In general, area in higher mathematics is seen as a special case of volume for two dimensional regions. For all S in M, a(S) ≥ 0. If S and T are in M then so are S ∪ T and S ∩ T, and also 1=a(S∪T) = a(S) + a(T) − a(S ∩ T). If S and T are in M with S ⊆ T then T − S is in M and 1=a(T−S) = a(T) − a(S). If a set S is in M and S is congruent to T then T is also in M and 1=a(S) = a(T). Every rectangle R is in M. If the rectangle has length h and breadth k then 1=a(R) = hk. Let Q be a set enclosed between two step regions S and T. A step region is formed from a finite union of adjacent rectangles resting on a common base, i. e. S ⊆ Q ⊆ T. If there is a unique number c such that a(S) ≤ c ≤ a(T) for all such step regions S and T, then 1=a(Q) = c.
It can be proved that such an area function actually exists.
Дөңгелектің ауданы
Б.з.д. V ғасырда Хиос Гиппократы бірінші болып дискінің ауданы (шеңбермен қоршалған аймақ) оның диаметрінің квадратына пропорционалды екенін көрсетті, бірақ пропорционалдылық коэффициентін анықтамады. Евдокс Книдский, сондай-ақ б.з.д. V ғасырында, дискінің ауданы оның радиусының квадратына пропорционалды екенін тапты. Кейін Евклидтің "Элементтер" кітабының I кітабы екі өлшемді фигуралар арасындағы аудандардың теңдігін қарастырды. Математик Архимед Евклид геометриясының құралдарын пайдаланып, шеңбердің ішіндегі ауданның, негізі шеңбердің ұзындығына тең және биіктігі шеңбердің радиусына тең тікбұрышты үшбұрыштың ауданына тең екенін көрсетті. (Шеңбердің ұзындығы 2r, ал үшбұрыштың ауданы – негізінің жартысы мен биіктігінің көбейтіндісі, нәтижесінде дискінің ауданы r² болады.) Архимед π-нің шамасын (сонымен қатар радиусы бірлікке тең шеңбердің ауданын) өзінің екі еселеу әдісімен анықтады, онда ол шеңберге іштей дұрыс үшбұрышты сызып, оның ауданын ескерді, содан кейін қабырғалар санын екі есе көбейтіп дұрыс алтыбұрыш жасады, және көпбұрыштың ауданы шеңберге жақындаған сайын қабырғалар санын бірнеше рет екі еселеді (және сырттай сызылған көпбұрыштармен де осылай істеді).
Төртбұрышты ауданы
7-шы ғасырда Брахмагупта циклдік төртбұрыштың (шеңберге ішкі жазылған төртбұрыштың) ауданын оның қабырғалары арқылы есептеуге арналған, қазір Брахмагупта формуласы деп белгілі бір формуланы жасады. 1842 жылы неміс математиктері Карл Антон Брецшнайдер және Карл Георг Кристиан фон Штаудт тәуелсіз түрде кез келген төртбұрыштың ауданы үшін, Бретшнайдер формуласы деп аталатын формула тапты.
Жалпы көпбұрышты аудан
Рене Декарттың 17 ғасырда картезиандық координаттарды жасауы, 19 ғасырда Гауссқа белгілі төбелері бар кез келген көпбұрыштың ауданы үшін геодезисттік формуланы дамытуға мүмкіндік берді.
Калькульді есептеу арқылы анықталған аудандар
17-ші ғасырдың соңында интегралды есептеудің дамуы, эллипстің ауданы және әртүрлі қисық үш өлшемді денелердің беттері сияқты күрделірек аудандарды есептеуге кейіннен қолданылатын құралдарды ұсынды.
Көпбұрышты формулалар
Өзін-өзі қиыспайтын (жа simple) көпбұрыш үшін, Картезиандық координаттары (i=0, 1, …, n-1) белгілі болған n төбесінің ауданы геодезиялық формуламен есептеледі:
мұнда, i=n-1 болғанда, i+1 n модулі бойынша өрнектеледі, яғни 0-ге тең болады.
Төртбұрыштар
Тіктөртбұрыштың ұзындығы l және ені w болған жағдайда, оның ауданы үшін формула: (тіктөртбұрыш). Яғни, тіктөртбұрыштың ауданы – ұзындығының еніне көбейтілген шамасы. Ерекше жағдайда, мысалы, квадратта, қабырғасы s болатын квадраттың ауданы формуламен беріледі: сондай-ақ, күрделі көпбұрыштар үшін де қолданылады.
(rectangle). That is, the area of the rectangle is the length multiplied by the width. As a special case, as in the case of a square, the area of a square with side length s is given by the formula: as well as more complicated polygons.
Дөңгелектер
Дөңгелектің ауданы формуласы (дәлірек айтқанда, дөңгелекпен қоршалған аудан немесе диск ауданы) ұқсас әдіс негізінде құрылған. Радиусы r болатын шеңберді оң жақтағы суретте көрсетілгендей секторларға бөлуге болады. Әрбір сектор шамамен үшбұрыш тәрізді, ал секторларды жуықтап параллелограмм жасау үшін қайта орналастыруға болады. Бұл параллелограмның биіктігі r, ал ені шеңбердің ұзындығының жартысы, яғни πr. Осылайша, шеңбердің жалпы ауданы πr² құрайды.
Үш өлшемді фигуралардың бетінің ауданы
Конус: , мұндағы r – дөңгелек негіздің радиусы, ал h – биіктігі. Бұл сондай-ақ келесідей жазылуы мүмкін.
Фракталдар
Көпбұрыштың қабырғаларының ұзындығын екі еселеу оның ауданын төрт есе арттырады, бұл жаңа және ескі қабырға ұзындығының қатынасының (екіге) квадратымен (көпбұрыш орналасқан кеңістіктің өлшемі) тең. Бірақ егер екі өлшемде салынған фракталдың бір өлшемді ұзындықтары екі еселенсе, фракталдың кеңістіктегі көлемі екінің бүтін сан емес дәрежесімен өседі. Осы дәреже фракталдың фракталдық өлшемі деп аталады.
Аумақты екіге бөлуші
Үшбұрыштың ауданын екіге бөлетін шексіз көп түзулер бар. Олардың үшеуі – үшбұрыштың медианалары (олар қарама-қарсы төбелерін қабырғаларының орта нүктелерімен қосады) және олар үшбұрыштың центройдында қиылысады; іс жүзінде, олар центройдан өтетін жалғыз ауданды екіге бөлетін түзулер. Кез келген үшбұрыштың ауданы мен периметрін тең бөлетін түзу үшбұрыштың ішкі центрінен (оның іштей сызылған шеңберінің ортасы) өтеді. Кез келген үшбұрышта мұндай түзулердің бірі, екеуі немесе үшеуі болуы мүмкін. Параллелограмның ортасынан өтетін кез келген түзу ауданын екіге бөледі. Шеңбердің немесе басқа эллипстің ауданын екіге бөлетін барлық түзулер ортасынан өтеді, ал ортасынан өтетін кез келген хорда ауданын екіге бөледі. Шеңбер үшін олар шеңбердің диаметрлері болып табылады.
Оңтайландыру
Сым контуры берілгенде, оны ("жабу") ең аз ауданы бар бет - минималды бет болып табылады. Көпіршіктер осыған мысал. Риманн шеңберінің жабу аймағы мәселесі әлі де ашық күйде. Шеңбер бірдей периметрге ие кез келген екі өлшемді нысанның ең үлкен ауданына ие. Шеңберге ішкі жазылған көпбұрыш (циклдік көпбұрыш) бірдей ұзындықтағы қабырғалары бар кез келген көпбұрыштан үлкен ауданға ие. Үшбұрыштар үшін изопериметриялық теңсіздіктің бір түрі, берілген периметрдегі ең үлкен ауданға ие үшбұрыш теңқабырғалы екенін көрсетеді. Шеңберге ішкі жазылған шеңбердің ауданы мен теңқабырғалы үшбұрыштың ауданының арақатынасы , теңқабырғалы емес үшбұрышқа қарағанда үлкен. Теңқабырғалы үшбұрыштың ауданы мен периметрінің квадратының арақатынасы кез келген басқа үшбұрышқа қарағанда үлкен.