Кіріспе

Физикалық кеңістіктің математикалық моделі

Евклид геометриясы – бұл ежегі грек математигі Евклидке жатқызылатын математикалық жүйе, оны ол геометрия бойынша оқулығында, "Элементтер" кітабында сипаттаған. Евклидтің тәсілі интуитивті түрде түсінікті аксиомалардың (постулаттардың) шағын жиынтығын қабылдап, олардан көптеген басқа ұйғарымдарды (теоремаларды) логикалық тұрғыдан шығарудан тұрады. Евклидтің көптеген нәтижелері бұрын айтылған болса да, Евклид осы ұйғарымдарды логикалық жүйеге ұйымдастырған алғашқы адам болды, онда әр нәтиже аксиомалар мен бұрын дәлелденген теоремалар арқылы дәлелденеді. "Элементтер" кітабы әлі күнге дейін орта мектепте (жоғары мектепте) алғашқы аксиоматикалық жүйе және математикалық дәлелдеулердің алғашқы мысалдары ретінде оқытылатын жазықтық геометриядан басталады. Одан кейін үш өлшемді кеңістіктік геометрияға көшеді. "Элементтер" кітабының көп бөлігі қазір алгебра және сандар теориясы деп аталатын білімнің нәтижелерін геометриялық тілде түсіндіреді. Евклид геометриясы синтетикалық геометрияның мысалы болып табылады, себебі ол геометриялық нысандардың негізгі қасиеттерін сипаттайтын аксиомалардан, мысалы, нүктелер мен түзулерден, сол нысандар туралы ұйғарымдарға логикалық түрде өтеді. Бұл шамамен 2000 жылдан кейін Рене Декарт енгізген аналитикалық геометриядан өзгеше, ол алгебралық формулалар арқылы геометриялық қасиеттерді көрсету үшін координаттарды пайдаланады.

Параллельдік постулат

Ежелгі адамдар үшін параллельдік постулат басқаларына қарағанда нашар түсінікті болған сияқты. Олар толыққанды нақты тұжырымдар жүйесін құруға талпынды, және оларға параллель түзу постулаты қарапайым мәлімдемелерден дәлелдеуді қажет ететіндей сезілді. Қазір мұндай дәлелдеудің мүмкін еместігі белгілі, себебі геометрияның дәйекті жүйелерін құруға болады (басқа аксиомаларды сақтай отырып), онда параллельдік постулат рас, ал басқалары жалған. Евклидтің өзі оны басқаларынан сапалық тұрғыдан өзгеше санаған сияқты, мұны «Элементтер» еңбегінің құрылымы дәлелдейді: оның алғашқы 28 тұжырымы осы постулатсыз дәлелденеді. Параллельдік постулатқа логикалық түрде тең (басқа аксиомалардың аясында) көптеген баламалы аксиомаларды формулиреуге болады. Мысалы, Плейфэр аксиомасы былай тұжырымдайды:

Жазықтықта, берілген түзу сызықта жатпайтын нүкте арқылы, берілген түзумен ешқашан қиылыспайтын, ең көп дегенде бір түзу жүргізуге болады. «Ең көп дегенде» деген бөлік қажет, себебі қалған аксиомалардан кем дегенде бір параллель түзудің бар екендігін дәлелдеуге болады.

Дәлелдеу әдістері

Евклид геометриясы конструктивті. 1, 2, 3 және 5-постулаттар белгілі бір геометриялық фигуралардың бар екендігі мен бірегейлігін растайды, және бұл тұжырымдар конструктивті сипатта: яғни, бізге белгілі бір нәрселердің бар екендігі ғана емес, сонымен қатар оларды тек циркуль мен белгісіз түзу сызық арқылы құрудың әдістері де беріледі. Осы тұрғыдан алғанда, Евклид геометриясы көптеген қазіргі заманғы аксиоматикалық жүйелерден, мысалы, теориялар жиынынан, көбінесе объектілердің бар екенін, оларды қалай құру керектігін көрсетпей, тіпті теорияның ішінде құрастырылмаған объектілердің бар екенін растау арқылы гөрі, нақтырақ болып табылады. Қатаң айтқанда, қағаздағы сызықтар – формальды жүйеде анықталған объектілердің үлгілері, ал олардың өзінің көшірмелері емес. Мысалы, Евклидтік түзу сызықтың ені жоқ, бірақ нақты сызылған кез келген сызықтың ені болады. Көптеген қазіргі заманғы математиктер конструктивті емес әдістерді де конструктивті әдістердей ғылыми тұрғыдан дұрыс деп санайды, бірақ Евклидтің конструктивті дәлелдері көбінесе бұрыс конструктивті емес дәлелдерді ығыстырды – мысалы, Пифагордың кейбір дәлелдері, иррационал сандарды қамтитын және әдетте «-тің ең үлкен ортақ бөлгішін табыңыз» сияқты тұжырымды қажет ететін. Евклид көбінесе қайшылыққа келтіру арқылы дәлелдеуді қолданды. Евклид геометриясы сонымен қатар суперпозиция әдісін де қолдануға мүмкіндік береді, онда фигура кеңістіктегі басқа нүктеге жылжытылады. Мысалы, I.4-теорема, үшбұрыштардың қабырға-бұрыш-қабырға теңдігі, екі үшбұрыштың біреуін жылжыту арқылы дәлелденеді, оның бір қабырғасы екінші үшбұрыштың тең қабырғасымен сәйкес келеді, содан кейін қалған қабырғалары да сәйкес келеді екені дәлелденеді. Кейбір қазіргі заманғы оқулықтар суперпозицияға балама ретінде қолданылатын алтыншы постулатты – үшбұрыштың қатаңдығын қосады.

Нүктелер мен цифрлардың атаулары

Нүктелер әдетте әліпбидің бас әріптерімен аталады. Сызықтар, үшбұрыштар немесе шеңберлер сияқты басқа фигуралар тиісті сызбадан оларды нақты анықтау үшін жеткілікті нүктелерді тізімдеу арқылы аталады. Мысалы, ABC үшбұрышы – A, B және C нүктелерінде төбелері бар үшбұрыш.

Қосымша және қосымша бұрыштар

Сомасы тік бұрышқа тең бұрыштар толықтырғыш деп аталады. Толықтырғыш бұрыштар бір сәуленің бір төбеден өтуі және тік бұрыш құрайтын екі бастапқы сәуленің арасындағы бағытта орналасуы арқылы түзіледі. Екі бастапқы сәуленің арасындағы сәулелер саны шексіз. Сомасы түзу бұрышқа тең бұрыштар қосымша бұрыштар деп аталады. Қосымша бұрыштар бір сәуленің бір төбеден өтуі және түзу бұрыш (180 градус бұрыш) құрайтын екі бастапқы сәуленің арасындағы бағытта орналасуы арқылы түзіледі. Екі бастапқы сәуленің арасындағы сәулелер саны шексіз.

Евклидтің жазуының қазіргі нұсқалары

Қазіргі терминологияда бұрыштар әдетте градустармен немесе радиандармен өлшенеді. Қазіргі заманғы оқулықтарда көбінесе сызықтар (шексіз), сәулелер (жартылай шексіз) және сызық кесінділері (шекті ұзындығы бар) деп аталатын жеке фигуралар анықталады. Евклид сәулені бір бағытта шексізке дейін созылатын нысан ретінде талқылағанның орнына, көбінесе "егер сызық жеткілікті ұзындыққа созылса" деген сияқты тіркестерді қолданған, бірақ ол кейде "шексіз сызықтар" деп те айтқан. Евклид үшін "сызық" тура немесе қисық болуы мүмкін, ал қажет болған жағдайда ол "түзу сызық" деген арнайы терминді қолданған.

Pons asinorum (асық құс)

Pons asinorum (асқарлардың көпірі) теңқабырғалы үшбұрыштардың табанындағы бұрыштардың бір-біріне тең екенін, ал егер тең түзу сызықтар созылса, онда табан астындағы бұрыштар да бір-біріне тең болатынын көрсетеді. Оның атына себеп болуы мүмкін – Евклидтің "Елементтер" еңбегінде оқырманның интеллектуалдық қабілетін сынаудың алғашқы және маңызды тесті ретінде жиі кездесуі, сондай-ақ одан кейінгі күрделі теоремаларға көпір болуы. Геометриялық фигураның тік, қиын өтілетін көпірге ұқсас болуы да осы атқа себеп болуы мүмкін, мұндай көпірді тек сенімді аяқтары бар есек ғана басып өте алады.

Үшбұрыштардың үйлесімділігі

Үшбұрыштар үш жағы да тең болса (SSS), екі жағы мен олардың арасындағы бұрышы тең болса (SAS), немесе екі бұрышы мен жағы тең болса (ASA) конгруентті болады (I кітап, 4, 8 және 26-теоремалар). Үш бұрышы да тең үшбұрыштар (AAA) ұқсас, бірақ міндетті түрде конгруентті емес. Сондай-ақ, екі тең жағы мен оған іргелес бұрышы бар үшбұрыштар міндетті түрде тең немесе конгруентті емес.

Үшбұрыштың бұрыштар қосындысы

Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы тура бұрышқа (180 градусқа) тең. Осының салдарынан, теңқабырлы үшбұрыштың үш ішкі бұрышы да 60 градусқа тең болады. Сондай-ақ, кез келген үшбұрышта кем дегенде екі сүйір бұрыш және бір доғал немесе тік бұрыш болады.

Пифагор теоремасы

Пифагордың атақты теоремасы (I кітап, 47-тармақ) кез келген тікбұрышты үшбұрышта, гипотенузасының (тік бұрышқа қарсы жатқан қабырғасының) квадратының ауданы, екі катетінің (тік бұрыш түзілетін екі қабырғасының) квадраттарының аудандарының қосындысына тең екенін көрсетеді.

Талестің теоремасы

Талестің теоремасы, Талес Милеттіктің атымен аталған, егер А, В және С нүктелері бір шеңберде жатса және AC сызығы осы шеңбердің диаметрі болса, онда ABC бұрышы тік бұрыш болады. Кантор Талес өзінің теоремасын Евклидтің I кітабының 32-усынысын пайдаланып, Евклидтің III кітабының 31-усынысының үлгісімен дәлелдеген деп болжады.

Аумақ пен көлемді масштабтау

Қазіргі терминологияда жазық фигураның ауданы оның кез келген сызықтық өлшемдерінің квадратына пропорционалды, ал дененің көлемі – кубына пропорционалды. Евклид осы нәтижелерді шеңбердің ауданы және параллелепипедтің көлемі сияқты нақты жағдайларда дәлелдеген. Евклид пропорционалдылықтың кейбір, бірақ барлық емес, тұрақтыларын анықтады. Мысалы, оның ізбасары Архимед шардың көлемінің оны қоршаған цилиндрдің көлемінен 2/3-ке дейін екенін дәлелдеді.

Өлшеу және арифметика жүйесі

Евклид геометриясында өлшемдердің екі негізгі түрі бар: бұрыш және қашықтық. Бұрыш шкаласы абсолютті, ал Евклид тік бұрышты негізгі бірлік ретінде пайдаланады, сондықтан, мысалы, 45 градус бұрыш тік бұрыштың жартысы деп аталады. Қашықтық шкаласы салыстырмалы; бірлік ретінде белгілі бір нөлдік емес ұзындығы бар сызық сегменті кездейсоқ таңдалады, ал басқа қашықтықтар оған қатысты өрнектеледі. Қашықтықтарды қосу үшін бір сызық сегментінің ұзындығын кеңейту үшін оны басқа сызық сегментінің соңына түсіріп салу арқылы конструкция жасалады, ал азайту да осылай орындалады. Аудан мен көлемнің өлшемдері қашықтықтан туындайды. Мысалы, ені 3 және ұзындығы 4 болатын тіктөртбұрыштың ауданы 12-ні көбейту арқылы алынады. Көбейтудің бұл геометриялық түсіндірмесі үш өлшеммен шектелгендіктен, төрт немесе одан көп санды көбейтуді тікелей түсіндіруге болмады, сондықтан Евклид мұндай көбейтулерден аулақ болды, бірақ олар IX кітаптың 20-шы теоремасының дәлелінде көрініп тұрады. Евклид екі сызық жұбын немесе жазық немесе кеңістіктік фигуралар жұбын, егер олардың ұзындықтары, аудандары немесе көлемдері сәйкесінше тең болса, «тең» (ἴσος) деп атайды, бұрыштар үшін де осылай. «Сәйкес» (congruent) термині бір фигураның басқа фигурамен бірдей мөлшерде және пішінде болу идеясын білдіреді. Басқаша айтқанда, егер бір фигураны екіншісінің үстіне жылжытқанда олар дәл келіп жатса, екі фигура сәйкес болады (оны кері бұруға да болады). Мысалы, 2x6 және 3x4 тіктөртбұрыштары тең, бірақ сәйкес емес, ал R әрпі өзінің көлеңкесімен сәйкес келеді. Мөлшерінен басқа барлық қасиеттері бірдей фигуралар «ұқсас» деп аталады. Ұқсас фигуралардың сәйкес бұрыштары тең, ал сәйкес қабырғалары пропорционалды.

Құрылыс және талдау

Кернеуді талдау: Кернеуді талдау Евклид геометриясы механикалық компоненттердегі кернеу таралуын анықтауда маңызды рөл атқарады, бұл құрылымдық тұтастығы мен беріктікті қамтамасыз ету үшін өте қажет. Тісті дөңгелектерді жобалау: Тісті дөңгелектер Көптеген механикалық жүйелердің маңызды бөлігі болып табылатын тісті дөңгелектерді жобалау, тиімді қуат беру үшін тістердің дұрыс пішіні мен байланысын қамтамасыз ету үшін Евклид геометриясына көп көледі. Жылу алмастырғыштарды жобалау: Жылу алмастырғыш Жылу алмастырғыштарды жобалауда Евклид геометриясы қолданылады, онда геометриялық конфигурация жылу тиімділігіне зор әсер етеді. Толығырақ ақпарат алу үшін "қабықшалы-түтікшелі жылу алмастырғыштар" және "плиталы жылу алмастырғыштар" бөлімдерін қараңыз. Линзаларды жобалау: Линзалар Оптикалық инженерияда линзаларды жобалау үшін Евклид геометриясы маңызды, себебі дәл геометриялық пішіндер олардың фокустау қасиеттерін анықтайды. Геометриялық оптика линзалар мен айналар арқылы жарықтың фокусталуын зерттейді.

Динамикасы

Діріл талдауы: Діріл Евклид геометриясы механикалық жүйелердегі дірілдерді талдау және түсіну үшін маңызды, бұл осы дірілдерге төзуге немесе тиімді пайдалана алатын жүйелерді жобалауға көмектеседі. Қанат дизайны: Ұшақ қанатының дизайны Эвклид геометриясының аэродинамикада қолданылуы ұшақ қанатының дизайнында, қанаттық және су астындағы қанаттардың пішінінде көрінеді, онда геометриялық форма тікелей көтерілу және кедергі сипаттамаларына әсер етеді. Спутник орбиталары: Спутник орбиталары Евклид геометриясы спутниктердің орбиталарын есептеу және болжауға көмектеседі, бұл ғарыш миссиялары мен спутниктерді пайдаланудың сәтті болуы үшін өте маңызды. Сондай-ақ астродинамика, аспан механикасы және эллипстік орбита қараңыз.

CAD жүйелері

3D модельдеу: CAD (компьютерлік көмекпен жобалау) жүйелерінде Евклид геометриясы механикалық бөлшектердің нақты 3D модельдерін жасау үшін негізгі болып табылады. Бұл модельдер өндіріске кіріспес бұрын жобаларды визуализациялау және сынау үшін маңызды. Жобалау және өндіріс: CAM (компьютерлік көмекпен өндіріс) жүйесінің көп бөлігі Евклид геометриясына сүйенеді. CAD/CAM-дағы жобалау геометриясы әдетте жазықтықтармен, цилиндрлермен, конустармен, торлармен және басқа да ұқсас Евклидтік пішіндермен шектелген нысандардан тұрады. Бүгінде CAD/CAM автомобильдер, ұшақтар, кемелер және смартфондар сияқты өнімдердің дизайнында маңызды рөл атқарады. Сызу практикасының эволюциясы: Тарихи тұрғыдан алғанда, Евклид геометриясының кеңейтілген түрі, соның ішінде Паскаль теоремасы және Брианшон теоремасы сияқты теоремалар, сызу практикасының маңызды бөлігі болды. Дегенмен, қазіргі заманғы CAD жүйелерінің пайда болуымен, бұл теоремаларды осы деңгейде білу қазіргі заманғы жобалау және өндіріс процестерінде бұрынғыдай қажет емес.

Сұлбаның құрылысы

PCB орналасуы: Баспалы схемалық тақта (PCB) дизайны компоненттерді тиімді орналастыру және жалғау үшін Евклид геометриясын қолданады, бұл функционалдықты сақтай отырып, кеңістікті оңтайландыруға мүмкіндік береді. Электрондық компоненттердің баспалы схемалық тақтадағы тиімді орналасуы сигналдардың араласуын азайту және тізбектің жұмысын жақсарту үшін маңызды.

Электромагниттік және сұйықтық ағыны өрістері

Антенна дизайны: Антенна дизайны Антенналардың евклидтік геометриясы антенналарды жобалауға көмектеседі, онда кеңістіктік орналасуы мен өлшемдері электромагниттік толқындарды тарату және қабылдаудағы антенна мен антенналық тізбектің жұмысына тікелей әсер етеді. Өріс теориясы: Күрделі потенциалдық ағын Көрінбейтін ағын өрістерін және электромагниттік өрістерді зерттеуде евклидтік геометрия потенциалдық ағын мәселелерін визуализациялауға және шешуге көмектеседі. Бұл үш өлшемді кеңістікте сұйықтық жылдамдығы өрісі мен электромагниттік өрістің өзара әрекеттесуін түсіну үшін маңызды. Олардың байланысы ирротациялық соленоидтық өріс немесе консервативті векторлық өріс арқылы сипатталады.

Бақылау

Басқару жүйесін талдау: Басқару жүйелері. Басқару теориясында Евклид геометриясын қолдану басқару жүйелерін талдау және жобалауға көмектеседі, әсіресе жүйенің тұрақтылығы мен реакциясын түсіну және оңтайландыру үшін. Есептеу құралдары: Якобиан. Евклид геометриясы механикалық және электр инженерлігі салаларында трансформациялар мен басқару жүйелері үшін Якобиандық матрицаларды қолдануда маңызды рөл атқарады, жүйелердің мінез-құлқы мен қасиеттері туралы түсінік береді. Якобиан статистикалық регрессияда және қисық сызуда сызықтықталған жобалау матрицасы ретінде қолданылады; сызықтық емес ең кіші квадраттарға қараңыз. Якобиан кездейсоқ матрицалар, моменттер, статистика және диагностика салаларында да қолданылады.

Басқа жалпы қолданулар

Евклид геометриясының математикадағы маңызды орнына байланысты, оның қолданылуының толық көрінісін беру мүмкін емес. Сөздің этимологиясы көрсеткендей, геометрияға қызығудың ең алғашқы себептерінің бірі және оның бүгінгі танымал қолданыстарының бірі – жер өлшеу. Одан бөлек, ол заттарды көру қабілетіне қатысты танымдық және есептеу әдістерінде де қолданылған. Евклид геометриясының белгілі бір практикалық нәтижелері (мысалы, 3-4-5 үшбұрышының тік бұрышты қасиеті) олар ресми түрде дәлелденбеген заманнан бері пайдаланылып келген. Евклид геометриясындағы негізгі өлшемдер – қашықтық және бұрыш, оларды жер өлшеуші тікелей өлшеуге болады. Тарихи тұрғыдан, қашықтықтарды көбінесе тізбектермен, мысалы Гунтер тізбегімен, ал бұрыштарды градуировкаланған шеңберлермен және кейін теодолитпен өлшеген. Евклидтік кеңістіктік геометрияның бір қолданысы – жинақтаудың орналасуын анықтау, мысалы, n өлшемдегі шарларды ең тиімді жинақтау мәселесі. Бұл мәселе қателерді табу және түзетуде қолданылады. Геометрия архитектурада кеңінен қолданылады. Геометрия оригами жасау үшін пайдаланылуы мүмкін. Геометрияның кейбір классикалық құрылыс мәселелері компас пен сызғыш көмегімен шешілмейді, бірақ оригами арқылы шешіледі.

Архимед пен Аполлоний

Архимед (б.з.д. 287 ж. шамамен – б.з.д. 212 ж. шамамен), көптеген тарихи әңгімелерде қалған есімді, жарқын тұлға, Евклидпен бірге ежелгі математиктердің ең ұлыларының бірі ретінде есте сақталады. Оның еңбектерінің негізін Евклид қалағанмен, оның жұмысы, Евклидтікінен өзгеше, толығымен жаңа еңбек деп есептеледі. Ол екі және үш өлшемдегі түрлі фигуралардың көлемдері мен аудандарына қатысты теңдеулерді дәлелдеді және шекті сандардың Архимед қасиетін айқындады. Пергалық Аполлоний (б.з.д. 240 ж. шамамен – б.з.д. 190 ж. шамамен) көбінесе коникалық қималарды зерттеуімен белгілі.

18 ғасыр

18 ғасыр геометрлері Евклид жүйесінің шекараларын анықтауға күш салды. Көптеген ғалымдар бесінші постулатты алғашқы төрт постулаттан дәлелдеуге тырысты, бірақ нәтижеге қол жеткізе алмады. 1763 жылға дейін кем дегенде 28 түрлі дәлел жарияланды, алайда олардың барлығы қате екені анықталды. Осы кезеңге дейін геометрлер Евклид геометриясында қандай құрылымдарды жасауға болатынын анықтауға ұмтылды. Мысалы, компас пен сызғыш көмегімен бұрышты үш бөлікке бөлу мәселесі теорияда туындайды, себебі аксиомалар осы құралдармен жүзеге асырылатын құрылымдық операцияларды көрсетеді. Дегенмен, Пьер Вантцель 1837 жылы мұндай құрылымның мүмкін еместігін дәлелдегенге дейін, ғасырлар бойы жасалған тырысқандар нәтижесіз болды. Кубты екі еселеу және шеңберді шаршылау да мүмкін емес болып табылған құрылымдардың қатарында. Кубты екі еселеу мәселінде құрылымның мүмкін еместігінің себебі – компас пен сызғыш әдісі екінің бүтін дәрежесіндегі теңдеулерді қолдануында, ал кубты екі еселеу үшін үшінші дәрежелі теңдеуді шешу қажет. Эйлер Евклид геометриясының аффиндік геометрия деп аталатын жалпылама түрін талқылады, ол бесінші постулатты өзгеріссіз қалдырады, бірақ үшінші және төртінші постулаттарды әлсіретеді, бұрыш (соның салдарынан тікбұрышты үшбұрыштар мағынасыз болады) және жалпы сызық сегменттерінің ұзындығының теңдігі (соның салдарынан шеңберлер мағынасыз болады) ұғымдарын жояды, бірақ сызықтар арасындағы эквиваленттілік қатынасы ретінде параллелизм және параллель сызық сегменттерінің ұзындығының теңдігі ұғымдарын сақтайды (осылайша сызық сегменттерінің ортасы анықталады).

19 ғасыр

19 ғасырдың басында Карно мен Мебиус таңбаланған бұрыштар мен сызық кесінділерін пайдалануды нәтижелерді жеңілдету және біріктіру жолы ретінде жүйелі түрде дамытты.

Жоғары өлшемдер

1840 жылдары Уильям Роуэн Гамильтон кватерниондарды, ал Джон Т. Грейвс пен Артур Кейли октониондарды жасады. Бұл күрделі сандарды кеңейтетін нормаланған алгебралар. Кейін кватерниондардың төрт нақты картезиандық координаттары бар Евклидтік геометриялық жүйе екені анықталды. Кейли төрт өлшемді Евклид кеңістігіндегі айналымдарды зерттеу үшін кватерниондарды пайдаланды. 19 ғасырдың ортасында Людвиг Шлефли Евклид кеңістігінің жалпы ұғымын дамытып, Евклид геометриясын жоғары өлшемдерге кеңейтті. Ол полисхемаларды, кейін политоптар деп аталғандарды анықтады, олар көпбұрыштар мен көпжақтардың жоғары өлшемді аналогтары болып табылады. Ол олардың теориясын жетілдірді және барлық тұрақты политоптарды – тұрақты көпбұрыштар мен Платон денелерінің өлшемдік аналогтарын тапты. Ол төртінші өлшемде алты тұрақты дөңес политоп, ал жоғары өлшемдерде үш политоп бар екенін көрсетті. Шлефли бұл жұмысты жасырын түрде жасады және ол толығымен 1901 жылы, оның өлімінен кейін ғана жарияланды. Ол 1948 жылы Х.С.М. Коксетер қайта ашып, толыққанды құжаттағанға дейін аз ғана әсер етті. 1878 жылы Уильям Кингдон Клиффорд қазір геометриялық алгебра деп аталатын нәрсені енгізді, Гамильтонның кватерниондарын Герман Грассманның алгебрасымен біріктірді және осы жүйелердің, әсіресе төрт өлшемдегі геометриялық табиғатын ашты. Геометриялық алгебраның амалдары геометриялық нысандарды айналдыру, бұру, жылжыту және модельдеуге арналған жаңа орындарға бейнелеу эффектін береді. 3-сфераның бетіндегі Клиффорд торы – екі шеңбердің картезиандық көбейтіндісінің ең қарапайым және симметриялық жазыққа енгізілуі (цилиндр бетінің "жазық" болуы сияқты).

Евклидтік емес геометрия

Геометриядағы ғасырдың ең маңызды жетістігі 1830 жылдар шамасында Янош Болай және Николай Иванович Лобачевский Евклид емес геометрия бойынша жеке-жеке жұмыстар жариялаған кезде болды, онда параллельдік постулаты қолданылмайды. Евклид емес геометриясы Евклид геометриясымен салыстырмалы тұрғыдан дәйекті екендігі дәлелденгендіктен, параллельдік постулатын басқа постулаттардан дәлелдеу мүмкін емес. 19 ғасырда Евклидтің он аксиомасы мен ортақ түсініктері "Элементтерде" келтірілген барлық теоремаларды дәлелдеу үшін жеткіліксіз екендігі де анықталды. Мысалы, Евклид әрбір түзудің кем дегенде екі нүктеден тұратынын жасырап айтқан, бірақ бұл жорамал басқа аксиомалардан дәлелденбейді, демек, ол өзі аксиома болуы керек. "Элементтердегі" ең алғашқы геометриялық дәлел, жоғарыда көрсетілгеніндей, кез келген сызық сегменті үшбұрыштың бір бөлігі болып табылады; Евклид оны әдеттегідей, екі нүктесінен шеңберлер салып, олардың қиылысқан жерін үшінші төбелік ретінде алады. Алайда, оның аксиомалары шеңберлердің шын мәнінде қиылысатынына кепілдік бермейді, өйткені олар үздіксіздіктің геометриялық қасиетін растамайды, ал бұл картезиандық тұрғыдан қарағанда нақты сандардың толықтығына тең. 1882 жылы Мориц Паш бастағаннан бері геометрия үшін көптеген жетілдірілген аксиоматикалық жүйелер ұсынылды, олардың ең танымалдары – Гилберт, Джордж Бирхофф және Тарскиге тиесілі.

XX ғасыр және салыстырмалылық теориясы

Эйнштейннің арнайы салыстырмалылық теориясы төрт өлшемді кеңістік-уақытты, Миньковский кеңістігін қамтиды, ол Евклидтік емес. Бұл, бірнеше жыл бұрын параллельдік постулатын дәлелдеу мүмкін емес екенін көрсету үшін енгізілген Евклидтік емес геометрияның физикалық әлемді сипаттауда да пайдалы екенін көрсетеді. Дегенмен, Миньковский кеңістігінің үш өлшемді "кеңістік бөлігі" Евклид геометриясының кеңістігі болып қала береді. Бұл жалпы салыстырмалылық теориясындағы орын-уақыттың кеңістіктік бөлігінің геометриясына қатысты емес, ол Евклидтік геометрия емес. Мысалы, егер үш сәуледен тұратын үшбұрыш құрылса, онда ауырлық күшінің әсерінен ішкі бұрыштардың қосындысы көбінесе 180 градусқа тең болмайды. Жердің немесе Күннің гравитациялық өрісі сияқты салыстырмалы түрде әлсіз гравитациялық өріс, шамамен, бірақ дәл емес Евклидтік метрикамен сипатталады. 20-ғасырға дейін жарық сәулелерінің Евклидтік геометриядан ауытқуларын анықтайтын технология болған жоқ, бірақ Эйнштейн мұндай ауытқулар болатынын болжаған. Кейіннен бұл болжам 1919 жылғы күн тұтылуы кезінде жұлдыздардың жарығының Күннің әсерінен сәл бұрылуы сияқты байқаулар арқылы расталды, және қазір мұндай ескертулер GPS жүйесінің бағдарламалық қамтамасының ажырамас бөлігі болып табылады.

Ғарыш құрылымының сипаттамасы ретінде

Евклид өзінің аксиомалары физикалық шындық туралы өзінен-өзі түсінікті мәлімдемелер деп сенді. Евклидтің дәлелдемелері Евклидтің негізгі аксиомаларында ашық айтылмаған болжамдарға байланысты, атап айтқанда, фигуралардың белгілі бір қозғалыстары олардың геометриялық қасиеттерін, мысалы, қабырғаларының ұзындығы мен ішкі бұрыштарын өзгертетін жоқ. Бұл қозғалыстар – евклидтік қозғалыстар деп аталады, оларға аудармалар, көрістірулер және фигуралардың бұрулары кіреді. Егер ғарышты физикалық сипаттама ретінде қарастырсақ, 2-постулат (сызықты кеңейту) ғарышта тесіктер мен шекаралар жоқ екенін көрсетеді; 4-постулат (тік бұрыштардың теңдігі) ғарыш изотропты екенін және фигуралар конгруэнттілікті сақтай отырып кез келген орынға жылжытылуы мүмкін екенін айтады; ал 5-постулат (параллельдік постулат) ғарыш тегіс екенін (ішкі қисықтығы жоқ) көрсетеді. Жоғарыда айтылғандай, Альберт Эйнштейннің салыстырмалылық теориясы бұл көзқарасты маңызды түрде өзгертеді. Евклидтің бастапқыда тұжырымдаған аксиомаларының көп мағыналылығы әртүрлі түсіндірушілерге ғарыштың құрылымына қатысты олардың басқа да салдары туралы келіспеушілікке мүмкіндік береді, мысалы, ол шексіз бе, әлде шекті ме (төменде қараңыз) және оның топологиясы қандай. Қазіргі заманғы, әлдеқайда қатаң қайта құрулар әдетте осы мәселелерді нақтырақ бөлуге ұмтылады. Евклидтің аксиомаларын осы заманауи көзқарас рухында түсіндірсек, 1–4 аксиомалары шексіз немесе шекті ғарышқа (эллиптикалық геометриядағыдай) сәйкес келеді, ал барлық бес аксиома әртүрлі топологияларға (мысалы, екі өлшемді Евклид геометриясы үшін жазықтық, цилиндр немесе тор) сәйкес келеді.

Шексіз нысандар

Евклид кейде "шекті сызықтарды" (мысалы, 2-постулат) және "шексіз сызықтарды" (I кітап, 12-ұсыныс) нақтырақ ажыратты. Дегенмен, қажет болмаса, ол мұндай ажыратулар жасаған жоқ. Постулаттар шексіз сызықтарға тікелей сілтеме жасамайды, бірақ мысалы, кейбір түсіндірушілер 3-постулатты – кез келген радиусы бар шеңбердің болуын – кеңістіктің шексіз екенін көрсетеді деп түсіндіреді. Кейінгі ежелгі түсіндірушілер, мысалы Прокл (410–485 ж.), шексіздік туралы көптеген сұрақтарды дәлелдеуді қажет ететін мәселелер деп қарастырды және, мысалы, Прокл сызықтың шексіз бөлінуін дәлелдеуге тырысты, бұл қарама-қайшылыққа негізделген дәлелдеме болды, онда ол құрамындағы нүктелердің жұп және тақ санын қарастырды. 20 ғасырдың басында Отто Стольц, Пол дю Буа Реймонд, Джузеппе Веронезе және басқалар Евклид геометриясының Архимед принципіне бағынбаған модельдері бойынша даулы жұмыстар жасады, онда екі нүкте арасындағы қашықтық Ньютон-Лейбниц мағынасында шексіз немесе инфинитезимальді болуы мүмкін. Елу жыл өткен соң Абрахам Робинсон Веронезе жұмысының қатаң логикалық негізін ұсынды.

Шексіз процестер

Ежелгі геометриялықтар параллельдік постулатты – екі параллель түзу ешқашан қиылыспайды – басқаларына қарағанда кем сенімді деп санаған болуы мүмкін, себебі ол кеңістіктің шексіз алыс аймақтары туралы айтады, сондықтан оны физикалық тұрғыдан тексеру мүмкін емес. Индукция арқылы дәлелдеудің қазіргі заманғы формулировкасы 17 ғасырға дейін жасалмаған, бірақ кейбір кейінгі зерттеушілер оның Евклидтің кейбір дәлелдемелерінде, мысалы, жай сандардың шексіздігін дәлелдеуде жасырынан бар деп санайды. Шеңберлі қатарларға қатысты, мысалы Зенон парадоксы сияқты, нақты парадокстар Евклидтен бұрын пайда болған. Евклид мұндай талқылаулардан қашып, IX.35-те геометриялық қатардың ішінара қосындысының формуласын берген, бірақ мүшелер санын шексіз етіп алу мүмкіндігі туралы ешқандай түсіндірме бермеді.

Классикалық логика

Евклид жиі қарама-қайшылық арқылы дәлелдеу әдісін қолданды, сондықтан Евклид геометриясының дәстүрлі түсіндірілуі классикалық логикаға негізделген, онда әрбір мәлімдеме дұрыс немесе жалған болады, яғни кез келген P мәлімдемесі үшін "P немесе P емес" мәлімдемесі автоматты түрде дұрыс.

Қазіргі заманғы қатаңдық стандарттары

Евклид геометриясын берік аксиоматикалық негізге қою ғасырлар бойы математиктердің басты ойларының бірі болды. Бастапқы ұғымдардың немесе анықталмаған түсініктердің рөлін 1900 жылы Париж конференциясында Пеано делегациясының Алессандро Падоа анық көрсетті: text= Теорияны құруды бастағанда, анықталмаған символдардың мүлдем мағынасыз екенін және дәлелденбеген ұсыныстардың анықталмаған символдарға қойылатын жай ғана шарттар екенін көзге елестете аламыз. Содан кейін, біз бастапқыда таңдаған идеялар жүйесі – бұл анықталмаған символдардың бір ғана түсіндірмесі; бірақ оқырман осы түсіндірмені елемеуге болады, өйткені ол оны өз ойында шарттарды қанағаттандыратын басқа түсіндірмемен ауыстыруға құқылы. Осылайша, логикалық сұрақтар эмпирикалық немесе психологиялық сұрақтардан толығымен тәуелсіз болады. Анықталмаған символдар жүйесін кейіннен, анықталмаған символдар жүйесі әрбір түсіндірмемен алмастырылған кезде пайда болатын мамандандырылған теориялардан алынған абстракция ретінде қарастыруға болады. Бертран Рассел айтқандай: text= Егер біздің гипотезамыз кез келген нәрсе туралы болса, нақты бір немесе бірнеше заттар туралы емес, онда біздің қорытындыларымыз математиканы құрайды. Осылайша, математиканы біз не туралы сөйлеп жатқанымызды және айтқанымыздың рас екенін ешқашан білмейтін пән деп анықтауға болады. |source =Математика және метафизиктер |sign=Бертран Рассел. Мұндай іргелі көзқарастар фундаментализм мен формализм арасында орналасады.

Аксиоматикалық формулалар

Геометрия – дұрыс емес пішіндер бойынша дұрыс ойлау ғылымы. Бұл, тәжірибеден тәуелсіз нақты білім мен тәжірибелік деректерді қажет ететін эмпиризм арасындағы қақтығыс болды. Бұл мәселе, параллельдік постулат міндетті түрде дұрыс емес екені анықталғанда, оның қолданылуы эмпирикалық мәселе екені белгілі болды, яғни қолданылатын геометрия Евклидтік пе, әлде Евклидтік емес пе деген шешім қабылдау қажеттігі туды. Гильберттің аксиомалары: Гильберттің аксиомаларының мақсаты – ең маңызды геометриялық теоремаларды шығаруға болатын қарапайым және толық тәуелсіз аксиомалар жиынтығын анықтау болды. Басты міндеттер Евклид геометриясын қатаңдау (жасырын болжамдардан сақтану) және параллельдік постулаттың салдарына түсініктеме беру болды. Бирхофф аксиомалары: Бирхофф Евклид геометриясы үшін масштаб пен транспортирмен экспериментальды түрде расталатын төрт постулат ұсынды. Бұл жүйе нақты сандардың қасиеттеріне көп сүйенеді. Бұрыш және қашықтық ұғымдары бастапқы ұғымдарға айналады. Тарски аксиомалары: Альфред Тарски (1902–1983) және оның шәкірттері элементарлық Евклид геометриясын бірінші реттік логикада берілетін және логикалық негізі жинақтар теориясына тәуелді емес геометрия ретінде анықтады, Гильберттің аксиомаларынан айырмашылығы, олар нүктелер жиынтығын қамтиды. Тарски өзінің элементарлық Евклид геометриясының аксиомалық тұжырымдамасы белгілі бір мағынада дұрыс және толық екенін дәлелдеді: әрбір мәлімдеме үшін оның дұрыс немесе бұрыс екенін көрсететін алгоритм бар.) Бұл нақты жабық өрістердің шешімділігіне тең, оның үстіне элементарлық Евклид геометриясы осы өрістердің моделі болып табылады.