Шексіз өлшемді кеңістіктердегі түрақты нүкте теоремалары
Fixed-point theorems in infinite-dimensional spaces
Математикада, Шaudер және Банах теоремалары сияқты, шексіз өлшемді кеңістіктердегі бекітілген нүкте теоремалары туралы мағлұмат. Математикалық дәлелдемелерде қолданылады.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Математикада шексіз өлшемді кеңістіктердегі бірнеше тұрақты нүкте теоремалары Брауэрдің тұрақты нүкте теоремасын жалпылайды. Олардың қолданылуы бар, мысалы, дербес дифференциалдық теңдеулер үшін теоремалардың болуын дәлелдеуде. Бұл саладағы алғашқы нәтиже 1930 жылы Джулиус Шаудер дәлелдеген Шаудердің тұрақты нүкте теоремасы болды (алдыңғы нәтиже басқа бағытта, толық метрикалық кеңістіктердегі қысқартулы бейнелеулер үшін Банахтың тұрақты нүкте теоремасы 1922 жылы дәлелденді). Одан кейін көптеген нәтижелер туды. Осы сияқты тұрақты нүкте теоремаларының математикаға жалпы алғанда үлкен әсер етуінің бір жолы – алгебралық топология әдістерін, бірінші кезде шекті жай кешендер үшін дәлелденген, шексіз өлшемді кеңістікке көшіруге тырысу. Мысалы, шөп теориясын қалаған Жан Лерейдің зерттеулері Шаудердің жұмысын кеңейтуге жасалған күш-жігердің нәтижесінде пайда болды. Шаудердің тұрақты нүкте теоремасы: C – Банах кеңістігі V-тің бос емес, жабық, дөңгелек кіші жиыны болсын. Егер f: C → C үздіксіз және компактты кескіні болса, онда f тұрақты нүктеге ие. Тихоновтың (Тихонов) тұрақты нүкте теоремасы: V – жергілікті дөңгелек топологиялық векторлық кеңістік болсын. V-дегі X бос емес, компактты, дөңгелек жиыны үшін f: X → X үздіксіз функциясының тұрақты нүктесі болады. Браудердің тұрақты нүкте теоремасы: K – біркелкі дөңгелек Банах кеңістігіндегі бос емес, жабық, шектеулі, дөңгелек жиын болсын. Онда кез келген экспансиялық емес функция f: K → K тұрақты нүктеге ие. (Функция егер әрбір x және y үшін болатын жағдайда экспансиялық емес деп аталады.) Басқа нәтижелерге Марков–Какутанидің тұрақты нүкте теоремасы (1936–1938) және Рилл–Нардзевскийдің тұрақты нүкте теоремасы (1967) – компактты дөңгелек жиындардың үздіксіз аффиндік өзіндік бейнелеулері үшін, сондай-ақ ашық домендердің голоморфты өзіндік бейнелеулері үшін Эрл–Гамильтонның тұрақты нүкте теоремасы (1968) жатады. Какутанидің тұрақты нүкте теоремасы: Жергілікті дөңгелек кеңістіктің компактты дөңгелек кіші жиынын жабық графпен және дөңгелек, бос емес кескіндермен өзіне бейнелейтін кез келген сәйкестікке тұрақты нүкте беріледі.
In mathematics, a number of fixed point theorems in infinite dimensional spaces generalise the Brouwer fixed point theorem. They have applications, for example, to the proof of existence theorems for partial differential equations. The first result in the field was the Schauder fixed point theorem, proved in 1930 by Juliusz Schauder (a previous result in a different vein, the Banach fixed point theorem for contraction mappings in complete metric spaces was proved in 1922). Quite a number of further results followed. One way in which fixed point theorems of this kind have had a larger influence on mathematics as a whole has been that one approach is to try to carry over methods of algebraic topology, first proved for finite simplicial complexes, to spaces of infinite dimension. For example, the research of Jean Leray who founded sheaf theory came out of efforts to extend Schauder's work. Schauder fixed point theorem: Let C be a nonempty closed convex subset of a Banach space V. If f : C → C is continuous with a compact image, then f has a fixed point. Tikhonov (Tychonoff) fixed point theorem: Let V be a locally convex topological vector space. For any nonempty compact convex set X in V, any continuous function f : X → X has a fixed point. Browder fixed point theorem: Let K be a nonempty closed bounded convex set in a uniformly convex Banach space. Then any non expansive function f : K → K has a fixed point. (A function is called non expansive if for each and .) Other results include the Markov–Kakutani fixed point theorem (1936 1938) and the Ryll Nardzewski fixed point theorem (1967) for continuous affine self mappings of compact convex sets, as well as the Earle–Hamilton fixed point theorem (1968) for holomorphic self mappings of open domains. Kakutani fixed point theorem: Every correspondence that maps a compact convex subset of a locally convex space into itself with a closed graph and convex nonempty images has a fixed point.