Теоремы о неподвижной точке в бесконечномерных пространствах
Fixed-point theorems in infinite-dimensional spaces
Теоремы о неподвижной точке в бесконечномерных пространствах: обобщение теоремы Брауэра, применение к уравнению в частных производных. Теоремы Банаха и Шаудера.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В математике ряд теорем о фиксированной точке в бесконечномерных пространствах обобщают теорему о фиксированной точке Брауэра. Они находят применение, например, в доказательстве теорем существования для частных дифференциальных уравнений. Первым результатом в этой области стала теорема о фиксированной точке Шаудера, доказанная в 1930 году Юлиушем Шаудером (ранее, в 1922 году, была доказана теорема о фиксированной точке Банаха для сжимающих отображений в полных метрических пространствах). За этим последовало множество других результатов. Одним из способов, которым теоремы о фиксированной точке подобного рода оказали значительное влияние на математику в целом, является попытка перенести методы алгебраической топологии, первоначально доказанные для конечных симплициальных комплексов, на пространства бесконечной размерности. Например, исследования Жана Лере, основателя теории пучков, возникли в результате попыток расширить работу Шаудера. Теорема о фиксированной точке Шаудера: Пусть C – непустое замкнутое выпуклое подмножество банахова пространства V. Если f : C → C непрерывна и имеет компактное изображение, то f имеет фиксированную точку. Теорема о фиксированной точке Тихонова (Тихонова): Пусть V – локально выпуклое топологическое векторное пространство. Для любого непустого компактного выпуклого множества X в V любая непрерывная функция f : X → X имеет фиксированную точку. Теорема Браудера о фиксированной точке: Пусть K – непустое замкнутое ограниченное выпуклое множество в равномерно выпуклом банаховом пространстве. Тогда любая нерасширяющаяся функция f : K → K имеет фиксированную точку. (Функция называется нерасширяющейся, если для любых x и y выполняется условие ). Другие результаты включают теорему о фиксированной точке Маркова — Какутани (1936–1938) и теорему о фиксированной точке Рилла — Нардзевского (1967) для непрерывных аффинных самоотображений компактных выпуклых множеств, а также теорему о фиксированной точке Эрла — Гамильтона (1968) для голоморфных самоотображений открытых областей. Теорема о фиксированной точке Какутани: Любое соответствие, отображающее компактное выпуклое подмножество локально выпуклого пространства в себя с замкнутым графом и выпуклыми непустыми образами, имеет фиксированную точку.
In mathematics, a number of fixed point theorems in infinite dimensional spaces generalise the Brouwer fixed point theorem. They have applications, for example, to the proof of existence theorems for partial differential equations. The first result in the field was the Schauder fixed point theorem, proved in 1930 by Juliusz Schauder (a previous result in a different vein, the Banach fixed point theorem for contraction mappings in complete metric spaces was proved in 1922). Quite a number of further results followed. One way in which fixed point theorems of this kind have had a larger influence on mathematics as a whole has been that one approach is to try to carry over methods of algebraic topology, first proved for finite simplicial complexes, to spaces of infinite dimension. For example, the research of Jean Leray who founded sheaf theory came out of efforts to extend Schauder's work. Schauder fixed point theorem: Let C be a nonempty closed convex subset of a Banach space V. If f : C → C is continuous with a compact image, then f has a fixed point. Tikhonov (Tychonoff) fixed point theorem: Let V be a locally convex topological vector space. For any nonempty compact convex set X in V, any continuous function f : X → X has a fixed point. Browder fixed point theorem: Let K be a nonempty closed bounded convex set in a uniformly convex Banach space. Then any non expansive function f : K → K has a fixed point. (A function is called non expansive if for each and .) Other results include the Markov–Kakutani fixed point theorem (1936 1938) and the Ryll Nardzewski fixed point theorem (1967) for continuous affine self mappings of compact convex sets, as well as the Earle–Hamilton fixed point theorem (1968) for holomorphic self mappings of open domains. Kakutani fixed point theorem: Every correspondence that maps a compact convex subset of a locally convex space into itself with a closed graph and convex nonempty images has a fixed point.