Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Дифференциалдық геометрияның математикалық саласында Риччи тегістігі – Римандық көптүрліліктің қисықтығына қатысты шарт. Риччи тегіс көптүрліліктер – Эйнштейн көптүрліліктерінің ерекше түрі. Теориялық физикада Риччи тегіс Лоренцтік көптүрліліктер маңызды қызығушылық тудырады, себебі олар космологиялық тұрақтысы нөлге тең болған вакуумдағы Эйнштейннің өрістік теңдеулерінің шешімдері болып табылады. Лоренц геометриясында Карл Шварцшильд, Рой Керр және Ивонн Шоке Брухаттың еңбектерінен белгілі бірқатар Риччи тегіс метрикалар бар. Риман геометриясында Шинг Тунг Яудың Калаби болжамын шешуі Кахлер көптүрліліктерінде Риччидің бірнеше тегіс метрикаларын жасады.
In the mathematical field of differential geometry, Ricci flatness is a condition on the curvature of a Riemannian manifold. Ricci flat manifolds are a special kind of Einstein manifold. In theoretical physics, Ricci flat Lorentzian manifolds are of fundamental interest, as they are the solutions of Einstein's field equations in a vacuum with vanishing cosmological constant. In Lorentzian geometry, a number of Ricci flat metrics are known from works of Karl Schwarzschild, Roy Kerr, and Yvonne Choquet Bruhat. In Riemannian geometry, Shing Tung Yau's resolution of the Calabi conjecture produced a number of Ricci flat metrics on Kähler manifolds.
Анықтама
Псевдоримандық көптік Риччи жазық деп аталады, егер оның Риччи қисықтығы нөлге тең болса. Екінші өлшемнен басқа, метрика Риччи жазық болады, егер және тек қана оның Эйнштейн тензоры нөлге тең болса, мұны тікелей тексеруге болады. Риччи жазық көптіктер – Айнштейн көптіктерінің үш ерекше түрінің бірі, олар скалярлық қисықтықтың нөлге тең болуының ерекше жағдайы ретінде туындайды. Вейль қисықтығы тензорының анықтамасынан, кез келген Риччи жазық метрикасының Вейль қисықтығы Риман қисықтығы тензорына тең екенін көру оңай. Іздерін есептеу арқылы керісінше де дұрыс екенін көру оңай. Бұл Риччи жазықтығы Риччи ыдырауының Вейльге жатпайтын екі бөлігінің жоғалуымен сипатталатынын айтуға болады. Вейль қисықтығы екі немесе үш өлшемде жоғалатындықтан, осы өлшемдердегі кез келген Риччи жазық метрикасы жазық болады. Керісінше, кез келген жазық метрика Риччи жазық екендігі анықтамалар бойынша автоматты түрде туындайды. Жазық метрикаларды зерттеу әдетте жеке тақырып ретінде қарастырылады. Сондықтан, Риччи жазық метрикаларын зерттеу төртінші және одан жоғары өлшемдерде ғана жеке тақырып болып табылады.
A pseudo Riemannian manifold is said to be Ricci flat if its Ricci curvature is zero. It is direct to verify that, except in dimension two, a metric is Ricci flat if and only if its Einstein tensor is zero. Ricci flat manifolds are one of three special types of Einstein manifold, arising as the special case of scalar curvature equaling zero. From the definition of the Weyl curvature tensor, it is direct to see that any Ricci flat metric has Weyl curvature equal to Riemann curvature tensor. By taking traces, it is straightforward to see that the converse also holds. This may also be phrased as saying that Ricci flatness is characterized by the vanishing of the two non Weyl parts of the Ricci decomposition. Since the Weyl curvature vanishes in two or three dimensions, every Ricci flat metric in these dimensions is flat. Conversely, it is automatic from the definitions that any flat metric is Ricci flat. The study of flat metrics is usually considered as a topic unto itself. As such, the study of Ricci flat metrics is only a distinct topic in dimension four and above.
Мысалдар
Жоғарыда айтылғандай, кез келген жалпақ метрика Риччи-жазық болып табылады. Дегенмен, толық қисықтығы нөлден өзгеше Риччи-жазық көптүрліліктерді анықтау тривиальды емес. 1916 жылы Карл Шварцшильд Шварцшильд метрикасын тапты, ол нөлден өзгеше қисықтығы бар Риччи-жазық Лоренцтік көптүрліліктер болып табылады. Кейін Рой Керр Керр метрикасын тапты, ол Шварцшильд метрикасын ерекше жағдай ретінде қамтитын екі параметрлі отбасы. Бұл метрикалар толыққанды түрде нақты және қара тесіктердің математикасы мен физикасы үшін маңызды. Жалпы алғанда, жалпы салыстырмалылық теориясында Риччи-жазық Лоренцтік көптүрліліктер нөлдік космологиялық тұрақтысы бар Эйнштейннің өріс теңдеулерінің вакуумдық шешімдерін көрсетеді. Көптеген псевдо-Риманн көптүрліліктері гомогенді кеңістіктер ретінде құрастырылады. Алайда, бұл құрастырулар Риччи-жазық Риманн метрикалары үшін тікелей көмектеспейді, себебі Риччи-жазық кез келген гомогенді Риманн көптүрлігі жазық болуы керек. Дегенмен, Lie алгебраларының нақты құрылымы мен есептеулерінен туындайтын, Риччи-жазық, бірақ жазық емес гомогенді (тіпті симметриялық) Лоренцтік көптүрліліктер бар. 1970 жылдары Шинг Тунг Яудың Калаби болжамын шешуіне дейін, жабық көптүрліліктегі әрбір Риччи-жазық Риманн метрикасы жазық болатыны белгісіз болды. Оның ішінара дифференциалдық теңдеулер әдістерін қолдана отырып жасаған жұмысы, жабық күрделі көптүрліліктердегі Келер метрикасының ерекше жағдайында Риччи-жазық метрикалардың толыққанды болу теориясын құрды. Оның талдау әдістерінің арқасында, тіпті ең қарапайым жағдайларда да метрикалар нақты емес. Мұндай Риманн көптүрліліктері көбінесе Калаби-Яу көптүрліліктері деп аталады, бірақ әртүрлі авторлар бұл атауды сәл әртүрлі мағынада қолданады.
As noted above, any flat metric is Ricci flat. However it is nontrivial to identify Ricci flat manifolds whose full curvature is nonzero. In 1916, Karl Schwarzschild found the Schwarzschild metrics, which are Ricci flat Lorentzian manifolds of nonzero curvature. Roy Kerr later found the Kerr metrics, a two parameter family containing the Schwarzschild metrics as a special case. These metrics are fully explicit and are of fundamental interest in the mathematics and physics of black holes. More generally, in general relativity, Ricci flat Lorentzian manifolds represent the vacuum solutions of Einstein's field equations with vanishing cosmological constant. Many pseudo Riemannian manifolds are constructed as homogeneous spaces. However, these constructions are not directly helpful for Ricci flat Riemannian metrics, in the sense that any homogeneous Riemannian manifold which is Ricci flat must be flat. However, there are homogeneous (and even symmetric) Lorentzian manifolds which are Ricci flat but not flat, as follows from an explicit construction and computation of Lie algebras. Until Shing Tung Yau's resolution of the Calabi conjecture in the 1970s, it was not known whether every Ricci flat Riemannian metric on a closed manifold is flat. His work, using techniques of partial differential equations, established a comprehensive existence theory for Ricci flat metrics in the special case of Kähler metrics on closed complex manifolds. Due to his analytical techniques, the metrics are non explicit even in the simplest cases. Such Riemannian manifolds are often called Calabi–Yau manifolds, although various authors use this name in slightly different ways.
Талдау сипаты
Гармоникалық координаттарға қатысты, Риман метрикасы үшін Риччи тегістігінің шарты эллипстік дербес дифференциалдық теңдеулер жүйесі ретінде қарастырылуы мүмкін. Тегіс көпқырлыдағы кез келген Риччи тегіс Риман метрикасы стандартты эллипстік реттеліс нәтижелерінің тікелей салдары ретінде аналитикалық болады, яғни гармоникалық координаттар үйлесімді аналитикалық құрылымды анықтайды және метриканың жергілікті бейнесі нақты аналитикалық болады. Бұл Эйнштейн Риман метрикасының кеңірек жағдайында да орын алады. Айналымды түрде, гармоникалық координаттарға қатысты Лоренц метрикасының Риччи тегістігі гиперболалық дербес дифференциалдық теңдеулер жүйесі ретінде қарастырылуы мүмкін. Осы көзқарас негізінде Ивон Шоке Брухат Риччи тегістігі шартының дұрыс қойылуын дамытты. Ол 1960 жылдары Роберт Герохпен бірлесіп, белгілі бір Риманн деректерімен белгілі бір кластағы максималды кеңейтілген Риччи тегіс Лоренц метрикаларының қалай белгіленетінін және құрастырылатынын анықтады. Бұлар максималды жаһандық гиперболалық дамулар деп аталады. Жалпы салыстырмалылық теориясында бұл әдетте гравитация үшін Эйнштейннің өріс теңдеулерінің бастапқы шарттар тұжырымы ретінде қарастырылады. Риман және Лоренц жағдайларындағы Риччи тегістігін зерттеу өте ерекше. Бұл Риман геометриясына тән геодезиялық толық метрикалар мен Шоке Брухат және Герохтың жұмысынан туындайтын максималды жаһандық гиперболалық дамулар арасындағы негізгі айырмашылықтан көрінеді. Сонымен қатар, Риччи тегіс Риман метрикасының аналитикалық қасиеттері мен сәйкес келетін бірегей жалғасуы, Риччи тегіс Лоренц метрикаларынан түбегейлі өзгеше, олардың таралу жылдамдығы шектеулі және толыққанды жергілікті құбылыстарға ие. Бұл Лаплас теңдеуі мен толқын теңдеуі арасындағы айырмашылықтың сызықты емес геометриялық аналогы ретінде қарастырылуы мүмкін.
Relative to harmonic coordinates, the condition of Ricci flatness for a Riemannian metric can be interpreted as a system of elliptic partial differential equations. It is a straightforward consequence of standard elliptic regularity results that any Ricci flat Riemannian metric on a smooth manifold is analytic, in the sense that harmonic coordinates define a compatible analytic structure, and the local representation of the metric is real analytic. This also holds in the broader setting of Einstein Riemannian metrics. Analogously, relative to harmonic coordinates, Ricci flatness of a Lorentzian metric can be interpreted as a system of hyperbolic partial differential equations. Based on this perspective, Yvonne Choquet Bruhat developed the well posedness of the Ricci flatness condition. She reached a definitive result in collaboration with Robert Geroch in the 1960s, establishing how a certain class of maximally extended Ricci flat Lorentzian metrics are prescribed and constructed by certain Riemannian data. These are known as maximal globally hyperbolic developments. In general relativity, this is typically interpreted as an initial value formulation of Einstein's field equations for gravitation. The study of Ricci flatness in the Riemannian and Lorentzian cases are quite distinct. This is already indicated by the fundamental distinction between the geodesically complete metrics which are typical of Riemannian geometry and the maximal globally hyperbolic developments which arise from Choquet Bruhat and Geroch's work. Moreover, the analyticity and corresponding unique continuation of a Ricci flat Riemannian metric has a fundamentally different character than Ricci flat Lorentzian metrics, which have finite speeds of propagation and fully localizable phenomena. This can be viewed as a nonlinear geometric analogue of the difference between the Laplace equation and the wave equation.
Риччи-жапсықтық және голономия
Қарапайым байланысқан Кэхлер көпқырлысында Кэхлер метрикасы Риччи жазық болады, егер және тек қана голономиялық тобы арнайы унитарлық топқа кірсе. Жалпы Кэхлер көпқырлысында, "if" шарты әлі де орындалады, бірақ Риччи жазық Кэхлер метрикасының тек шектелген голономиялық тобы ғана арнайы унитарлық топқа міндетті түрде кіреді. Гиперкэхлер көпқырлысы – бұл симплектикалық топқа кіретін голономиялық тобы бар Риманн көпқырлысы. Бұл жағдай Риманн көпқырлысында (шамамен айтқанда) барлық параллель 2 сфералы кешенді құрылымдардың болуымен де сипатталуы мүмкін. Бұл атап айтқанда, әрбір гиперкэхлер метрикасы Кэхлер болып табылады; сонымен қатар, Амброз-Сингер теоремасы бойынша, мұндай әрбір метрика Риччи жазық болады. Калаби-Яу теоремасы осы контекстке маманданған, голоморфты симплектикалық құрылымдарды қабылдайтын компактты Кэхлер көпқырлыстары үшін гиперкэхлер метрикаларының жалпы барлық және бірегейлік теоремасын береді. Эухенио Калаби бұрыннан-ақ компакт емес кеңістіктерде гиперкэхлер метрикаларының мысалдарының үлгілерін келтірген. Сонымен бірге ашылған Эгучи-Хансон кеңістігі оның құрылысының ерекше жағдайы болып табылады. Квартерниондық Кэхлер көпқырлысы – бұл голономиялық тобы Lie тобы Sp(n)·Sp(1)-ге кіретін Риманн көпқырлысы. Марсель Бергер кез келген мұндай метрика Эйнштейн болуы керек екенін көрсетті. Бұдан әрі, кез келген Риччи жазық квартерниондық Кэхлер көпқырлысы жергілікті гиперкэхлер болуы керек, яғни шектелген голономиялық тобы симплектикалық топқа кіреді. G2 көпқырлысы немесе Spin(7) көпқырлысы – бұл голономиялық тобы Spin(7) немесе G2 Lie топтарына кіретін Риманн көпқырлысы. Амброз-Сингер теоремасы кез келген мұндай көпқырлыстың Риччи жазық екенін білдіреді. Мұндай жабық көпқырлыстардың бар екендігін 1990 жылдары Доминик Джойс анықтады. Марсель Бергер жоғарыда аталған мүмкіндіктерге сәйкес, қарапайым байланысқан жабық көпқырлыстардағы Риччи жазық Риманн метрикаларының барлық белгілі мысалдары арнайы голономиялық топтарға ие екенін айтты. Бұл белгісіз жалпы теореманы білдіре ме, әлде белгілі әдістердің шектелуін білдіре ме, әзірге белгісіз. Осы себепті Бергер Риччи жазық көпқырлыстарды "өте құпия" деп санады.
On a simply connected Kähler manifold, a Kähler metric is Ricci flat if and only if the holonomy group is contained in the special unitary group. On a general Kähler manifold, the if direction still holds, but only the restricted holonomy group of a Ricci flat Kähler metric is necessarily contained in the special unitary group. A hyperkähler manifold is a Riemannian manifold whose holonomy group is contained in the symplectic group. This condition on a Riemannian manifold may also be characterized (roughly speaking) by the existence of a 2 sphere of complex structures which are all parallel. This says in particular that every hyperkähler metric is Kähler; furthermore, via the Ambrose–Singer theorem, every such metric is Ricci flat. The Calabi–Yau theorem specializes to this context, giving a general existence and uniqueness theorem for hyperkähler metrics on compact Kähler manifolds admitting holomorphically symplectic structures. Examples of hyperkähler metrics on noncompact spaces had earlier been obtained by Eugenio Calabi. The Eguchi–Hanson space, discovered at the same time, is a special case of his construction. A quaternion Kähler manifold is a Riemannian manifold whose holonomy group is contained in the Lie group Sp(n)·Sp(1). Marcel Berger showed that any such metric must be Einstein. Furthermore, any Ricci flat quaternion Kähler manifold must be locally hyperkähler, meaning that the restricted holonomy group is contained in the symplectic group. A G2 manifold or Spin(7) manifold is a Riemannian manifold whose holonomy group is contained in the Lie groups Spin(7) or G2. The Ambrose–Singer theorem implies that any such manifold is Ricci flat. The existence of closed manifolds of this type was established by Dominic Joyce in the 1990s. Marcel Berger commented that all known examples of irreducible Ricci flat Riemannian metrics on simply connected closed manifolds have special holonomy groups, according to the above possibilities. It is not known whether this suggests an unknown general theorem or simply a limitation of known techniques. For this reason, Berger considered Ricci flat manifolds to be "extremely mysterious."