Введение
В математической области дифференциальной геометрии, плоскость Риччи — это условие на кривизну риманова многообразия. Римановы многообразия с плоскостью Риччи являются особым видом многообразий Эйнштейна. В теоретической физике лоренцевы многообразия с плоскостью Риччи представляют фундаментальный интерес, поскольку они являются решениями уравнений Эйнштейна в вакууме при нулевой космологической постоянной. В лоренцевой геометрии ряд метрик с плоскостью Риччи известен из работ Карла Шварцшильда, Роя Керра и Ивонн Шоке-Брюха. В римановой геометрии решение Шинга Тунга Яу гипотезы Калаби привело к появлению ряда метрик с плоскостью Риччи на кэлеровых многообразиях.
Определение
Псевдориманово многообразие называется риччиевым плоским, если его кривизна Риччи равна нулю. Непосредственно проверяется, что, за исключением двумерного случая, метрика является риччиевой плоской тогда и только тогда, когда её тензор Эйнштейна равен нулю. Риччиевы плоские многообразия являются одним из трех специальных типов многообразий Эйнштейна, возникающих как частный случай, когда скалярная кривизна равна нулю. Из определения тензора кривизны Вейля непосредственно следует, что любая риччиевая плоская метрика имеет кривизну Вейля, равную тензору кривизны Римана. Взяв след, легко увидеть, что обратное также верно. Это также можно сформулировать как утверждение о том, что риччиевая плоскость характеризуется исчезновением двух не-вейлевских частей разложения Риччи. Поскольку кривизна Вейля обращается в нуль в двух или трех измерениях, любая риччиевая плоская метрика в этих измерениях является плоской. И наоборот, непосредственно из определений следует, что любая плоская метрика является риччиевой плоской. Изучение плоских метрик обычно рассматривается как самостоятельная тема. Следовательно, изучение риччиевых плоских метрик является отдельной темой только в четырех и более измерениях.
Примеры
Как отмечалось выше, любая плоская метрика является риччиевой плоской. Однако непросто идентифицировать риччиевы плоские многообразия, полная кривизна которых не равна нулю. В 1916 году Карл Шварцшильд обнаружил метрики Шварцшильда, которые являются риччиевыми плоскими лоренцевыми многообразиями с ненулевой кривизной. Позже Рой Керр обнаружил метрики Керра — двухпараметрическое семейство, содержащее метрики Шварцшильда как частный случай. Эти метрики полностью определены и представляют фундаментальный интерес в математике и физике чёрных дыр. В более общем плане, в общей теории относительности, риччиевы плоские лоренцевы многообразия представляют собой вакуумные решения уравнений Эйнштейна с нулевой космологической постоянной. Многие псевдоримановы многообразия строятся как однородные пространства. Однако эти построения не являются напрямую полезными для риччиевых плоских римановых метрик в том смысле, что любое однородное риманово многообразие, являющееся риччиевым плоским, должно быть плоским. Тем не менее, существуют однородные (и даже симметричные) лоренцевы многообразия, которые являются риччиевыми плоскими, но не плоскими, что следует из явной конструкции и вычисления алгебр Ли. До решения Син-Тун Яу гипотезы Калаби в 1970-х годах было неизвестно, является ли любая риччиева плоская риманова метрика на замкнутом многообразии плоской. Его работа, основанная на методах уравнений в частных производных, установила всеобъемлющую теорию существования риччиевых плоских метрик в частном случае метрик Кэлера на замкнутых комплексных многообразиях. В силу его аналитических методов, метрики не являются явно заданными даже в простейших случаях. Такие римановы многообразия часто называют многообразиями Калаби — Яу, хотя различные авторы используют это название несколько в разных значениях.
Аналитический характер
Относительно гармонических координат, условие плоскости Риччи для римановой метрики может быть интерпретировано как система эллиптических частных дифференциальных уравнений. Это прямое следствие стандартных результатов об эллиптической регулярности, заключающееся в том, что любая метрика Риччи, плоская на гладком многообразии, является аналитической, в том смысле, что гармонические координаты определяют совместимую аналитическую структуру, а локальное представление метрики является вещественно-аналитическим. Это также справедливо для более широкого класса метрик Эйнштейна-Римана. Аналогично, относительно гармонических координат, плоскость Риччи лоренцевой метрики может быть интерпретирована как система гиперболических частных дифференциальных уравнений. Исходя из этой точки зрения, Ивонн Шоке-Брухат разработала теорию корректной постановки задачи о плоскости Риччи. Она достигла окончательного результата в сотрудничестве с Робертом Герохом в 1960-х годах, установив, как определенный класс максимально расширенных метрик Риччи, плоских в лоренцевом пространстве, задается и конструируется на основе определенных римановых данных. Эти метрики известны как максимальные глобально гиперболические развития. В общей теории относительности это обычно интерпретируется как начальная формулировка уравнений поля Эйнштейна для гравитации. Изучение плоскости Риччи в римановом и лоренцевом случаях существенно различается. Это уже проявляется в фундаментальном различии между геодезически полными метриками, типичными для римановой геометрии, и максимальными глобально гиперболическими развитиями, возникающими в работах Шоке-Бруха и Героха. Более того, аналитичность и соответствующее свойство единственного продолжения римановой метрики Риччи, плоской по определению, имеет принципиально иной характер, чем у лоренцевой метрики Риччи, плоской по определению, которая характеризуется конечной скоростью распространения и полностью локализуемыми явлениями. Это можно рассматривать как нелинейный геометрический аналог различия между уравнением Лапласа и волновым уравнением.
Риччи-плоскость и голономия
На просто соединенном келеровом многообразии келерова метрика является плоской Риччи тогда и только тогда, когда голономическая группа содержится в специальной унитарной группе. На общем келеровом многообразии направление "если" все еще верно, но только ограниченная голономическая группа плоской келеровой метрики Риччи обязательно содержится в специальной унитарной группе. Гиперкелерово многообразие — это риманово многообразие, голономическая группа которого содержится в симплектической группе. Это условие на римановом многообразии также может быть охарактеризовано (грубо говоря) существованием 2-сферы комплексных структур, все из которых параллельны. Это в частности означает, что любая гиперкелерова метрика является келеровой; более того, в силу теоремы Амброза — Сингера, любая такая метрика является плоской Риччи. Теорема Калаби — Яу специализируется на этом контексте, давая общую теорему существования и единственности для гиперкелеровых метрик на компактных келеровых многообразиях, допускающих голоморфно-симплектические структуры. Примеры гиперкелеровых метрик на некомпактных пространствах ранее были получены Эудженио Калаби. Пространство Эгучи — Хансона, открытое одновременно, является частным случаем его построения. Кватернионное келерово многообразие — это риманово многообразие, голономическая группа которого содержится в группе Ли Sp(n) × Sp(1). Марсель Бергер показал, что любая такая метрика должна быть эйнштейновской. Кроме того, любое плоское кватернионное келерово многообразие должно быть локально гиперкелеровым, то есть ограниченная голономическая группа содержится в симплектической группе. Многообразие G2 или Spin(7) — это риманово многообразие, голономическая группа которого содержится в группах Ли Spin(7) или G2. Теорема Амброза — Сингера подразумевает, что любое такое многообразие является плоским Риччи. Существование замкнутых многообразий этого типа было установлено Домиником Джойсом в 1990-х годах. Марсель Бергер отметил, что все известные примеры неприводимых плоских римановых метрик Риччи на просто соединенных замкнутых многообразиях имеют специальные голономические группы, согласно вышеуказанным возможностям. Неизвестно, указывает ли это на неизвестную общую теорему или просто на ограничение известных методов. По этой причине Бергер считал плоские многообразия Риччи «чрезвычайно загадочными».