Кіріспе

Бір бетімен жалғасқан екі тетраэдр. Геометрияда үшбұрышты бипирамида – алты үшбұрышты жағы бар және екі тетраэдрді бір-бір бетінен жалғау арқылы құрастырылған гексаэдр. Бұл пішін үшбұрышты дипирамида немесе тригональді бипирамида деп те аталады. Егер бұл тетраэдрлер дұрыс болса, үшбұрышты бипирамиданың барлық жақтары теңқабырлы болады. Бұл дельтаэдр мен Джонсон қатты денесінің мысалы. Көптеген көпжақтар үшбұрышты бипирамидамен байланысты, мысалы, әртүрлі тәсілдермен туындаған жаңа ұқсас пішіндер және оның қосарлы көпжағы – үшбұрышты призма. Үшбұрышты бипирамиданың көптеген қолданыстары бар, оның ішінде оның атомдық кластерін сипаттайтын тригональді бипирамидалық молекулалық геометрия, Томсон мәселесінің шешімі және он сегізінші ғасырдағы түс ретін көрсету жүйелері де бар. Үшбұрышты бипирамиданың құрамында дөңгелек графигі бар графқа ие.

Құрылыс

Басқа бипирамидалар сияқты, үшбұрышты бипирамида да екі тетраэдрді бетпе-бет қосу арқылы құрастырылады. Бұл тетраэдрлер үшбұрышты табанын жауып, нәтижесінде алты үшбұрыштан, бес төбеден және тоғыз қабырғадан тұратын көпжақ пайда болады. Тетраэдрлер симметриялы түрде дұрыс болса және олардың екі төбесі де табанының ортасынан өтетін түзуде жатса, үшбұрышты бипирамида дұрыс деп аталады; әйтпесе, ол көлбеу болады. Тетраэдрлер дұрыс болса, үшбұрышты бипирамиданың барлық қабырғалары тең ұзындықта болады, ал жақтары теңқабырғалы үшбұрыштардан тұрады. Жақтарының барлығы теңқабырғалы үшбұрыштардан тұратын көпжақ дельтаэдр деп аталады. Барлық дерлік дөңес дельтаэдрлердің саны сегіз, олардың бірі – дұрыс жақтары бар үшбұрышты бипирамида. Әдетте, барлық жақтары дұрыс болатын дөңес көпжақ Джонсон денесі деп аталады, ал әрбір дөңес дельтаэдр – Джонсон денесінің түрі. Дұрыс жақтары бар үшбұрышты бипирамида Джонсон денелерінің тізімінде он екінші ретпен белгіленеді.

Қасиеттері

Үшбұрышты бипирамиданың бетінің ауданы барлық үшбұрыштардың ауданынан алты есе артық. Қабырғасы ұзындығы белгілі болған жағдайда, оның бетінің ауданы:

Оның көлемін екі тетраэдрге бөліп, олардың көлемдерін қосу арқылы есептеуге болады. Қабырғасы ұзындығы белгілі болған жағдайда, көлемі:

Үшбұрышты бипирамида үш өлшемді нүктелік топ симметриясына ие, ол он екілік диэдрлік топ болып табылады: үшбұрышты бипирамиданың түрі симметрия осінің айналасында (екі төбесі мен негіздің ортасынан тік өтетін сызық) бір, екі үшін бір және толық бұрышқа бұрылғанда өзгермейді, сондай-ақ ол негіздің кез келген биссектрисіне қатысты көздеріңкі симметрияға ие; бұған қоса, ол көлденең жазықтыққа қарағанда да симметриялы. Тәртіпті беттері бар үшбұрышты бипирамиданың диэдр бұрышын екі тұрақты тетраэдрдің бұрыштарын қосу арқылы есептеуге болады: тетраэдрдің ішкі үшбұрышты беттері арасындағы бұрышы және екі тетраэдрдің жалғасқан қабырғасындағы жақын үшбұрыштардың диэдр бұрышы осы бұрыштың екі есесіне тең:

График

Штайниц теоремасы бойынша, егер граф жазық және 3-байланысқан граф болса, оны көпжақтың қаңқасы ретінде бейнелеуге болады. Яғни, осы графтың қабырғалары қиылыспай, тек бір нүктеде ғана түйіседі, ал кез келген екі төбесінің біреуін жойғанда, байланысты төменграф қалады. Үшбұрышты бипирамида тоғыз қабырғалы граф арқылы бейнеленеді, ол дөңгелек графтың үш басқа қабырғасына жалғанатын бір төбесімен құрастырылады, мұндағы – 1 қабырғалы көпбұрышты негізді пирамиданың графы. Төмендегі суретте көрсетілгендей, оларды сызықтық түрде орналастыра отырып, үшбұрышты бипирамида графтарының тізбегі құрастырылды. Мұндай құрылымның кедергілік қашықтығын (электр желісін пайдаланып графтың екі төбесін өлшеу) қатар және параллель қосылу принциптерін, жұлдызды тор өзгертуін және Y-Δ өзгертуін қолдану арқылы есептеуге болады. Оның құрылымы металл-органикалық құрылымдарды зерттеудегі мысал болып табылады.

Қарым-қатынастағы көпбұрыштар

Үшбұрышты бипирамидалардың кейбір түрлері әртүрлі тәсілдермен шығарылуы мүмкін. Мысалы, полиэдрлердің клейтопы – пирамидаларды қосу арқылы салынатын құрылым; үшбұрышты бипирамида жағдайында, оның клейтопы үшбұрышты бипирамидаға тетраэдрлерді әр бетіне қосу арқылы, оларды басқа үш үшбұрышпен жауып, алмастыру арқылы жасалуы мүмкін; нәтижедегі полиэдрдің қаңқасы Голднер-Хари графына сәйкес келеді. Үшбұрышты бипирамиданың тағы бір түрі – оның барлық төбелерін кесіп тастау арқылы жасалады; бұл процесс уақытша кесу деп аталады. Бипирамидалар призмалардың дуалды полиэдрлері болып табылады, онда бипирамидалардың төбелері призманың жақтарымен сәйкес келеді, ал бір төбелер арасындағы қабырғалар екіншісінің жақтарының жұптары арасындағы қабырғалармен сәйкес келеді. Осылайша, дуалды полиэдрді дуалдау – бастапқы полиэдрдің өзі. Сондықтан, үшбұрышты бипирамида үшбұрышты призманың дуалды полиэдрі болып табылады, және керісінше. Үшбұрышты призма бес жақ, тоғыз қабырға және алты төбеге ие, және ол үшбұрышты бипирамидамен бірдей симметрияға ие.

Қолданбалар

Томсонның проблемасы шар бетіндегі зарядталған бөлшектердің ең төменгі энергиялық конфигурациясын қарастырады. Олардың бірі – үшбұрышты бипирамида, ол бес электрон үшін белгілі шешім болып табылады, шарға ішкі жазылған үшбұрышты бипирамиданың төбелерін орналастыру арқылы. Бұл шешім математикалық тұрғыдан дәл компьютермен қолдалады. Химиялық қосылыстардың геометриясында тригональды бипирамидалық молекулалық геометрия үшбұрышты бипирамиданың атомдық кластері ретінде сипатталуы мүмкін. Бұл молекула белсенді жұп электроны жоқ негізгі топ элементіне ие, және молекулалардың геометриясын болжауға арналған VSEPR теориясымен сипатталған. Бұл құрылымның мысалдары – газ фазасындағы фосфор пентафториді және фосфор пентахлориді. Түс теориясын зерттеуде үшбұрышты бипирамида негізгі түстердегі үш өлшемді түс реті жүйесін көрсету үшін қолданылды. Неміс астрономы Тобиас Майер 1758 жылы оның әрбір төбесі түстерді көрсетеді деп ұсынды: ақ және қара түстер сәйкесінше жоғарғы және төменгі төбелерде орналасқан, ал қалған төбелер қызыл, көк және сары түстерді білдіреді.