Треугольная бипирамида: геометрия, свойства и характеристики. Объединение двух тетраэдров, дельтаэдр, тело Джонсона и двойной полиэдр – треугольная призма.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Два тетраэдра, соединенные одной гранью.
Two tetrahedra joined by one face
В геометрии треугольная бипирамида — это шестигранник с шестью треугольными гранями, построенный путем соединения двух тетраэдров по одной общей грани. Эта же форма также называется треугольной дипирамидой или тригональной бипирамидой. Если эти тетраэдры правильные, то все грани треугольной бипирамиды являются равносторонними. Это пример дельтаэдра и многогранника Джонсона. Многие многогранники связаны с треугольной бипирамидой, например, новые подобные формы, полученные различными способами, и треугольная призма, являющаяся ее двойственным многогранником. Многочисленные применения треугольной бипирамиды включают тригональную бипирамидальную молекулярную геометрию, описывающую ее атомное скопление, решение проблемы Томсона и представление систем цветового порядка, разработанных в восемнадцатом веке. Треугольная бипирамида имеет граф, конструкция которого включает в себя граф-колесо.
In geometry, the triangular bipyramid is the hexahedron with six triangular faces, constructed by attaching two tetrahedrons face to face. The same shape is also called the triangular dipyramid or trigonal bipyramid. If these tetrahedrons are regular, all faces of triangular bipyramid are equilateral. It is an example of a deltahedron and of a Johnson solid. Many polyhedrons are related to the triangular bipyramid, such as new similar shapes derived in different approaches, and the triangular prism as its dual polyhedron. The many applications of triangular bipyramid include the trigonal bipyramid molecular geometry that describes its atom cluster, the solution of Thomson problem, and the representation of color order systems by the eighteenth century. The triangular bipyramid has a graph with its construction involving the wheel graph.
Строительство
Как и другие бипирамиды, треугольная бипирамида может быть построена путем соединения двух тетраэдров по общей грани. Эти тетраэдры накрывают своими треугольными основаниями, в результате чего получается полиэдр с шестью треугольниками, пятью вершинами и девятью ребрами. Треугольная бипирамида называется правильной, если тетраэдры являются симметричными и правильными, и обе их вершины лежат на прямой, проходящей через центр основания; в противном случае она является наклонной. Если тетраэдры правильные, то все ребра треугольной бипирамиды равны по длине, и ее грани представляют собой равносторонние треугольники. Многогранник, все грани которого являются равносторонними треугольниками, называется дельтаэдром. Существует всего восемь различных выпуклых дельтаэдров, одним из которых является треугольная бипирамида с правильными гранями. В более общем смысле, выпуклый многогранник, у которого все грани правильные, называется телом Джонсона, и любой выпуклый дельтаэдр является телом Джонсона. Треугольная бипирамида с правильными гранями входит в список тел Джонсона под номером J12, как двенадцатое тело Джонсона.
Like other bipyramids, the triangular bipyramid can be constructed by attaching two tetrahedrons face to face. These tetrahedrons cover their triangular base, such that the resulting polyhedron has six triangles, five vertices, and nine edges. The triangular bipyramid is said to be right if the tetrahedrons are symmetrically regular and both of their apices are on the line passing through the center of base; otherwise, it is oblique. If the tetrahedrons are regular, then all edges of the triangular bipyramid are equal in length, making up the faces are equilateral triangles. A polyhedron with only equilateral triangles as faces is called a deltahedron. There are only eight different convex deltahedra, one of which is the triangular bipyramid with regular faces. More generally, the convex polyhedron in which all of the faces are regular is the Johnson solid, and every convex deltahedron is a Johnson solid. The triangular bipyramid with the regular faces is among numbered the Johnson solids as , the twelfth Johnson solid.
Свойства
Площадь поверхности треугольной бипирамиды в шесть раз превышает площадь всех её треугольных граней. В случае длины ребра *a*, её площадь поверхности равна:
A triangular bipyramid's surface area is six times that of all triangles. In the case of edge length , its surface area is:
Её объём можно вычислить, разделив бипирамиду на два тетраэдра и сложив их объёмы. В случае длины ребра *a*, это:
Its volume can be calculated by slicing it into two tetrahedra and adding their volume. In the case of edge length , this is:
Треугольная бипирамида обладает трёхмерной симметрией точечной группы, диэдрической группой порядка двенадцать: её внешний вид не изменяется при вращении на одну треть, две трети и полный угол вокруг оси симметрии (линии, проходящей через две вершины и центр основания вертикально), а также имеет зеркальную симметрию относительно любого биссектора основания; она также симметрична при отражении относительно горизонтальной плоскости. Диэдрический угол треугольной бипирамиды с правильными гранями можно вычислить, сложив углы двух правильных тетраэдров: угол тетраэдра между смежными треугольными гранями сам по себе равен , а диэдрический угол смежных треугольников, на ребре, где прикреплены два тетраэдра, вдвое больше:
The triangular bipyramid has three dimensional point group symmetry, the dihedral group of order twelve: the appearance of the triangular bipyramid is unchanged as it rotated by one , two thirds, and full angle around the axis of symmetry (a line passing through two vertices and base's center vertically), and it has mirror symmetry relative to any bisector of the base; it is also symmetrical by reflecting it across a horizontal plane. The dihedral angle of a triangular bipyramid with regular faces can be calculated by adding the angle of two regular tetrahedra: the angle of tetrahedron between adjacent triangular faces itself is , and the dihedral angle of adjacent triangles, on the edge where two tetrahedra attaching is twice that:
График
Согласно теореме Штайница, граф может быть представлен как скелет многогранника, если он планарный и 3-связный. Иными словами, рёбра этого графа не пересекаются, а лишь пересекаются в точках, и удаление любой вершины оставляет связанный подграф. Треугольная бипирамида представлена графом с девятью рёбрами, построенным путём добавления одной вершины, соединяющейся с тремя другими вершинами колесного графа, где обозначает граф пирамиды с n-угольным основанием. Была построена цепочка треугольных бипирамидных графов, расположенных линейно, как показано на иллюстрации ниже. Расстояние сопротивления (мера расстояния между двумя вершинами графа, вычисляемая с использованием модели электрической сети) для такой конструкции может быть вычислено с применением принципов последовательного и параллельного соединения, преобразования «звезда-сетка» и преобразования Y-Δ. Его структура является примером исследования металлоорганических каркасов.
According to Steinitz's theorem, a graph can be represented as the skeleton of a polyhedron if it is planar and 3 connected graph. In other words, the edges of that graph do not cross but only intersect at the point, and one of any two vertices leaves a connected subgraph when removed. The triangular bipyramid is represented by a graph with nine edges, constructed by adding one vertex connecting to three other vertices of wheel graph , where represents the graph of pyramid with 1= sided polygonal base. constructed a chain of triangular bipyramid graphs by arranging them linearly, as in the illustration below. The resistance distance (measurement of two vertices of a graph using the electrical network) of such construction can be computed by applying the series and parallel principles, star mesh transformation, and Y Δ transformation. Its structure is an example of the metal organic frameworks study.
Связанные многогранники
Некоторые типы треугольных бипирамид могут быть получены различными способами. Например, клетопа полиэдра – это конструкция, включающая присоединение пирамид; в случае треугольной бипирамиды, её клетопа может быть построена из треугольной бипирамиды путём прикрепления тетраэдров к каждой её грани, покрывая и заменяя их тремя другими треугольниками; скелет полученного полиэдра представляет собой граф Голднера — Харри. Другой способ получения треугольной бипирамиды – отсечение всех её вершин; этот процесс известен как усечение. Бипирамиды являются двойственными полиэдрами призм, при этом вершины бипирамид соответствуют граням призмы, а рёбра, соединяющие пары вершин одной, соответствуют рёбрам, соединяющим пары граней другой. Следовательно, двойственное преобразование двойственного полиэдра даёт исходный полиэдр. Таким образом, треугольная бипирамида является двойственным полиэдром треугольной призмы, и наоборот. Треугольная призма имеет пять граней, девять рёбер и шесть вершин, и обладает той же симметрией, что и треугольная бипирамида.
Some types of triangular bipyramids may be derived in different ways. For example, the Kleetope of polyhedra is a construction involving the attachment of pyramids; in the case of the triangular bipyramid, its Kleetope can be constructed from triangular bipyramid by attaching tetrahedrons onto each of its faces, covering and replacing them with other three triangles; the skeleton of resulting polyhedron represents the Goldner–Harary graph. Another type of triangular bipyramid is by cutting off all of its vertices; this process is known as truncation. The bipyramids are the dual polyhedron of prisms, for which the bipyramids' vertices correspond to the faces of the prism, and the edges between pairs of vertices of one correspond to the edges between pairs of faces of the other. Consequently, the dualization of a dual polyhedron is the original polyhedron itself. Hence, the triangular bipyramid is the dual polyhedron of the triangular prism, and vice versa. The triangular prism has five faces, nine edges, and six vertices, and it has the same symmetry as the triangular bipyramid.
Приложения
Проблема Томсона связана с конфигурацией минимальной энергии заряженных частиц на сфере. Одним из решений является треугольная бипирамида, известное решение для случая пяти электронов, достигаемое размещением вершин треугольной бипирамиды, вписанной в сферу. Получение этого решения облегчается использованием математически точных компьютерных расчетов. В геометрии химических соединений тригональная бипирамидальная молекулярная геометрия может быть описана как атомный кластер в форме треугольной бипирамиды. Эта молекула содержит атом главной группы без неподеленной электронной пары, что объясняется моделью, предсказывающей геометрию молекул, известной как теория VSEPR. Примерами структур такого типа являются пентафторид фосфора и пентахлорид фосфора в газообразном состоянии. В теории цвета треугольная бипирамида использовалась для представления трехмерной системы организации цветов в основных цветах. Немецкий астроном Тобиас Майер в 1758 году предложил, что каждая вершина этой фигуры соответствует определенному цвету: белый и черный – верхней и нижней вершинам соответственно, а остальные вершины – красному, синему и желтому.
The Thomson problem concerns the minimum energy configuration of charged particles on a sphere. One of them is a triangular bipyramid, which is a known solution for the case of five electrons, by placing vertices of a triangular bipyramid inscribed in a sphere. This solution is aided by the mathematically rigorous computer. In the geometry of chemical compound, the trigonal bipyramidal molecular geometry may be described as the atom cluster of the triangular bipyramid. This molecule has a main group element without an active lone pair, as described by a model that predicts the geometry of molecules known as VSEPR theory. Some examples of this structure are the phosphorus pentafluoride and phosphorus pentachloride in the gas phase. In the study of color theory, the triangular bipyramid was used to represent the three dimensional color order system in primary color. The German astronomer Tobias Mayer presented in 1758 that each of its vertices represents the colors: white and black are, respectively, the top and bottom vertices, whereas the rest of the vertices are red, blue, and yellow.