Кіріспе

133 өлшемді ерекше қарапайым Лай тобы ДИСПЛЕЙТАЙТЛ: E7 (математика)

Математикада E7 – бірнеше тығыз байланысты Лай топтарының, сызықтық алгебралық топтардың немесе олардың Лай алгебраларының e7 атауы. Олардың бәрі 133 өлшемді; E7 белгісі сәйкес түбір торы үшін де қолданылады, оның рангі 7-ге тең. E7 белгісі күрделі қарапайым Лай алгебраларының Картан-Килинг жіктелуінен шыққан, олар An, Bn, Cn, Dn деп белгіленген төрт шексіз қатарға және E6, E7, E8, F4 және G2 деп белгіленген бес ерекше жағдайға бөлінеді. Сондықтан E7 алгебрасы осы бес ерекше жағдайдың бірі болып табылады. (Түзетулі) күрделі форманың, компактты нақты форманың немесе E7-нің кез келген алгебралық түрінің негізгі тобы Z/2Z циклдік тобы болып табылады, ал оның сыртқы автоморфизм тобы – тривиальды топ. Оның негізгі өкілдігінің өлшемі 56-ға тең.

E7 алгебралық топ ретінде

Шевалли негізін пайдаланып, жат алгебра үшін E7 бүтін сандар бойынша сызықтық алгебралық топ ретінде анықталуы мүмкін, соның салдарынан, кез келген коммутативтік сақинада және әсіресе кез келген өрісте: бұл E7-нің бөлінген (кейде «бұралмаған» деп те аталады) серіктес түрін анықтайды. Алгебралық жабық өріс үстінде бұл және оның екі еселі жабыны ғана түрі болып табылады; алайда, басқа өрістерде көбінесе E7-нің көптеген басқа түрлері немесе «бұрылыстары» бар, олар Галуа когомологиясының жалпы аясында (әдемі өріс k үстінде) H¹(k, Aut(E7)) жиынтығымен жіктеледі, бірақ E7-нің Динкин диаграммасында (төменде қараңыз) автоморфизмдер болмағандықтан, ол H¹(k, E7, ad) жиынтығымен сәйкес келеді. Нақты сандар өрісінде, осы алгебралық түрде бұралған E7-нің серіктес формаларының нақты компоненті жоғарыда аталған үш нақты жат топтарымен сәйкес келеді, бірақ түбірлік топқа қатысты бір нюанс бар: E7-нің барлық серіктес формалары алгебралық геометрия мағынасында Z/2Z түбірлік тобына ие, яғни олар дәл бір екі еселі жабынды қабылдайды; сондықтан E7-нің шексіз емес нақты жат топтарының формалары алгебралық емес және шекті өлшемді адал бейнелеулерді қабылдамайды. Шекті өрістерде Ланг-Штейнберг теоремасы H¹(k, E7) = 0 екенін білдіреді, яғни E7-нің бұралған формалары жоқ: төмендегіге қараңыз.

Динкин диаграммасы

E7 үшін Динкин диаграммасы келесідей берілген: .

Вейл тобы

E7 Вейл тобы 2903040 реттік: ол 2 реттік циклдік топ пен 1451520 реттік жалғыз қарапайым топтың тікелей көбейтіндісі (осы топты PSp6(2) немесе PSΩ7(2) арқылы сипаттауға болады).

Маңызды субальгебралар мен бейнелеулер

E7 SU(8) субальгебрасын қамтиды, бұл тамыр жүйесінің 8 өлшемді сипаттамасында тамырлардың бірінші тобы SU(8) тамырларымен сәйкес келетінін көрсету арқылы анық көрінеді (E7-дегідей Картан субальгебрасымен). 133 өлшемді қосымша өкілдіктен басқа, E8 қосымша өкілдігінде табылатын 56 өлшемді «векторлық» өкілдік бар. Нақты және кешенді Ли алгебралары мен Ли топтарының шекті өлшемді өкілдіктерінің кейіптері Вейль кейіптік формуласымен беріледі. Ең кішкентай азайғысыз өкілдіктердің өлшемдері: 1, 56, 133, 912, 1463, 1539, 6480, 7371, 8645, 24320, 27664, 40755, 51072, 86184, 150822, 152152, 238602, 253935, 293930, 320112, 362880, 365750, 573440, 617253, 861840, 885248, 915705, 980343, 2273920, 2282280, 2785552, 3424256, 3635840. Жоғарыдағы тізбектегі сызылған терминдер – E7 қосымша түрінің (немесе салмақтары E7 түбір торына жататындарының) иеленетін азайғысыз өкілдіктерінің өлшемдері, ал толық тізбек E7 жай ғана байланысқан түрінің азайғысыз өкілдіктерінің өлшемдерін көрсетеді. 1903725824, 16349520330 және т.б. өлшемдердегі изоморфты емес, азайғысыз өкілдіктер бар. Негізгі өкілдіктер 133, 8645, 365750, 27664, 1539, 56 және 912 өлшемдерімен сипатталады (Dynkin диаграммасындағы жеті түйінге сәйкес, жоғарыда Картан матрицасы үшін таңдалған ретпен, яғни түйіндер алты түйінді тізбекте бірінші оқылады, соңғы түйін үшіншіге қосылады). E7 ең үлкен кіші топтарының 133 өлшемге дейінгі енуі оң жақта көрсетілген.

Физикадағы маңызы

N = 8 төрт өлшемді супергравитация, 11 өлшемді супергравитациядан өлшемді азайту арқылы алынады, E7 бозондық жаһандық симметриясы және SU(8) бозондық жергілікті симметриясы болады. Фермиондар SU(8) өкілдіктерінде, өлшегіш өрістер E7 өкілдігінде, ал скалярлар екеуінің де өкілдіктерінде орналасады (гравитондар екеуіне де қатысты синлеттер болып табылады). Физикалық күйлер E7 / SU(8) косетинің өкілдіктерінде болады. Көгал теориясында E7 гетеротикалық тізбектің (тұрақсыз және суперсимметриялық емес) нұсқаларының бірінің өлшегіш тобының құрамына кіреді. Ол сондай-ақ, гетеротикалық струна теориясының алты өлшемді тығыздалуындағы бұзылмаған E8 × E7 өлшегіш тобында, мысалы, төрт өлшемді K3 бетінде де кездесуі мүмкін.