Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
133-мерная исключительная простая группа Ли
ОТОБРАЖАЕМОЕ ЗАГОЛОВКИЕ: E7 (математика)
133 dimensional exceptional simple Lie group
DISPLAYTITLE:E7 (mathematics)
В математике, E7 — это название нескольких тесно связанных групп Ли, линейных алгебраических групп или их алгебр Ли e7, все из которых имеют размерность 133; та же нотация E7 используется для соответствующей корневой решётки, имеющей ранг 7. Обозначение E7 происходит из классификации Картана — Киллинга комплексных простых алгебр Ли, которые делятся на четыре бесконечных серии, обозначенные An, Bn, Cn, Dn, и пять исключительных случаев, обозначенных E6, E7, E8, F4 и G2. Таким образом, алгебра E7 является одной из пяти исключительных случаев. Фундаментальная группа (присоединенной) комплексной формы, компактной вещественной формы или любой алгебраической версии E7 является циклической группой Z/2Z, а её внешняя группа автоморфизмов — тривиальная группа. Размер её фундаментального представления равен 56.
In mathematics, E7 is the name of several closely related Lie groups, linear algebraic groups or their Lie algebras e7, all of which have dimension 133; the same notation E7 is used for the corresponding root lattice, which has rank 7. The designation E7 comes from the Cartan–Killing classification of the complex simple Lie algebras, which fall into four infinite series labeled An, Bn, Cn, Dn, and five exceptional cases labeled E6, E7, E8, F4, and G2. The E7 algebra is thus one of the five exceptional cases. The fundamental group of the (adjoint) complex form, compact real form, or any algebraic version of E7 is the cyclic group Z/2Z, and its outer automorphism group is the trivial group. The dimension of its fundamental representation is 56.
E7 как алгебраическая группа
С помощью основы Шевалье для алгебры Ли можно определить E7 как линейную алгебраическую группу над целыми числами и, следовательно, над любым коммутативным кольцом и, в частности, над любым полем: это определяет так называемую расщеплённую (иногда также известную как "неискривлённую") присоединённую форму E7. Над алгебраически замкнутым полем эта форма и её двойное накрытие являются единственными возможными; однако над другими полями часто существует множество других форм, или "скруток" E7, которые классифицируются в общей структуре когомологий Галуа (над совершенным полем k) множеством H¹(k, Aut(E7)), которое, поскольку диаграмма Динкина E7 (см. ниже) не имеет автоморфизмов, совпадает с H¹(k, E7, ad). Над полем вещественных чисел, вещественная компонента единицы этих алгебраически скрученных форм E7 совпадает с тремя упомянутыми выше вещественными группами Ли, но с одним нюансом, касающимся фундаментальной группы: все присоединённые формы E7 имеют фундаментальную группу Z/2Z в смысле алгебраической геометрии, то есть допускают ровно одно двойное накрытие; остальные некомпактные формы группы Ли E7 не являются алгебраическими и не допускают верных конечномерных представлений. Над конечными полями теорема Ленг–Штейнберга влечёт за собой, что H¹(k, E7) = 0, что означает отсутствие скрученных форм E7: см. ниже.
By means of a Chevalley basis for the Lie algebra, one can define E7 as a linear algebraic group over the integers and, consequently, over any commutative ring and in particular over any field: this defines the so called split (sometimes also known as “untwisted”) adjoint form of E7. Over an algebraically closed field, this and its double cover are the only forms; however, over other fields, there are often many other forms, or “twists” of E7, which are classified in the general framework of Galois cohomology (over a perfect field k) by the set H1(k, Aut(E7)) which, because the Dynkin diagram of E7 (see below) has no automorphisms, coincides with H1(k, E7, ad). Over the field of real numbers, the real component of the identity of these algebraically twisted forms of E7 coincide with the three real Lie groups mentioned above, but with a subtlety concerning the fundamental group: all adjoint forms of E7 have fundamental group Z/2Z in the sense of algebraic geometry, meaning that they admit exactly one double cover; the further non compact real Lie group forms of E7 are therefore not algebraic and admit no faithful finite dimensional representations. Over finite fields, the Lang–Steinberg theorem implies that H1(k, E7) = 0, meaning that E7 has no twisted forms: see below.
Диаграмма Динкина
Диаграмма Динкина для E7 приведена ниже.
The Dynkin diagram for E7 is given by .
Группа Вейла
Группа Вейля E7 имеет порядок 2903040: она является прямым произведением циклической группы порядка 2 и единственной простой группы порядка 1451520 (которую можно описать как PSp6(2) или PSΩ7(2)).
The Weyl group of E7 is of order 2903040: it is the direct product of the cyclic group of order 2 and the unique simple group of order 1451520 (which can be described as PSp6(2) or PSΩ7(2)).
Важные субальгебры и представления
E7 имеет SU(8) подалгебру, что видно из того, что в 8-мерном описании корневой системы первая группа корней идентична корням SU(8) (с той же картезианской подалгеброй, что и в E7). В дополнение к 133-мерному сопряжённому представлению, существует 56-мерное «векторное» представление, которое можно найти в сопряжённом представлении E8. Характеры конечномерных представлений вещественных и комплексных алгебр и групп Ли задаются формулой характеров Вейля. Размеры наименьших неприводимых представлений:
E7 has an SU(8) subalgebra, as is evident by noting that in the 8 dimensional description of the root system, the first group of roots are identical to the roots of SU(8) (with the same Cartan subalgebra as in the E7). In addition to the 133 dimensional adjoint representation, there is a 56 dimensional "vector" representation, to be found in the E8 adjoint representation. The characters of finite dimensional representations of the real and complex Lie algebras and Lie groups are all given by the Weyl character formula. The dimensions of the smallest irreducible representations are :
Подчеркнутые члены в вышеуказанной последовательности – это размеры тех неприводимых представлений, которыми обладает сопряжённая форма E7 (эквивалентно, те, чьи веса принадлежат корневой решётке E7), в то время как полная последовательность даёт размеры неприводимых представлений простосвязной формы E7. Существуют неизоморфные неприводимые представления размерностей 1903725824, 16349520330 и т.д. Фундаментальные представления – это представления с размерностями 133, 8645, 365750, 27664, 1539, 56 и 912 (соответствующие семи вершинам на диаграмме Динкина в порядке, выбранном для вышеуказанной матрицы Картана, то есть вершины считываются сначала в цепи из шести вершин, а последняя вершина соединена с третьей). Вложения максимальных подгрупп E7 до размерности 133 показаны справа.
The underlined terms in the sequence above are the dimensions of those irreducible representations possessed by the adjoint form of E7 (equivalently, those whose weights belong to the root lattice of E7), whereas the full sequence gives the dimensions of the irreducible representations of the simply connected form of E7. There exist non isomorphic irreducible representation of dimensions 1903725824, 16349520330, etc. The fundamental representations are those with dimensions 133, 8645, 365750, 27664, 1539, 56 and 912 (corresponding to the seven nodes in the Dynkin diagram in the order chosen for the Cartan matrix above, i. e., the nodes are read in the six node chain first, with the last node being connected to the third). The embeddings of the maximal subgroups of E7 up to dimension 133 are shown to the right.
Значение в физике
N = 8 супергравитация в четырех измерениях, являющаяся размерным сжатием от 11-мерной супергравитации, допускает E7 бозонную глобальную симметрию и SU(8) бозонную локальную симметрию. Фермионы находятся в представлениях SU(8), калибровочные поля – в представлении E7, а скалярные поля – в представлениях обеих групп (гравитоны являются синглетами относительно обеих). Физические состояния находятся в представлениях косета E7 / SU(8). В теории струн E7 появляется как часть группы калибровок одной из (неустойчивых и не суперсимметричных) версий гетеротической струны. Она также может возникать в неразрушенной группе калибровок E8 × E7 в шестимерных компактификациях гетеротической теории струн, например, на четырехмерной поверхности K3.
N = 8 supergravity in four dimensions, which is a dimensional reduction from 11 dimensional supergravity, admit an E7 bosonic global symmetry and an SU(8) bosonic local symmetry. The fermions are in representations of SU(8), the gauge fields are in a representation of E7, and the scalars are in a representation of both (Gravitons are singlets with respect to both). Physical states are in representations of the coset E7 / SU(8). In string theory, E7 appears as a part of the gauge group of one of the (unstable and non supersymmetric) versions of the heterotic string. It can also appear in the unbroken gauge group E8 × E7 in six dimensional compactifications of heterotic string theory, for instance on the four dimensional surface K3.