Шар бетіндегі фигуралар геометриясы

Кіріспе

Сферадағы фигуралардың геометриясы

Сфералық тригонометрия – сфералық үшбұрыштардың қабырғалары мен бұрыштары арасындағы метрикалық қатынастарды зерттейтін сфералық геометрияның бір саласы. Ол дәстүрлі түрде тригонометриялық функцияларды қолдану арқылы өрнектеледі. Сферадағы геодезиялық сызықтар – үлкен шеңберлер болып табылады. Сфералық тригонометрия астрономия, геодезия және навигация салаларындағы есептеулер үшін зор маңызға ие. Сфералық тригонометрияның грек математикасындағы бастауы және ислам математикасындағы маңызды дамуы «Тригонометрия және Орта ғасырлардағы ислам математикасы» тарихында толыққанды қарастырылған. Бұл пән Джон Непьер, Деламбр және басқалардың маңызды еңбектері арқасында жаңа заманда дамып, он тоғызыншы ғасырдың соңында Тодхантердің «Колледждер мен мектептер үшін сфералық тригонометрия» оқулығы жарық көргеннен кейін толыққанды түрін алды. Содан бері векторлық, кватерниондық әдістерді және сандық әдістерді қолдану маңызды жетістіктерге жол ашты.

Сфералық көпбұрыш

Сфералық көпбұрыш – сфера бетіндегі көпбұрыш. Оның қабырғалары үлкен шеңберлердің доғаларынан тұрады – бұл шар геометриясындағы жазық геометрияның түзу кесінділерімен теңдес. Мұндай көпбұрыштардың қабырғалары 1-ден асатын кез келген саны болуы мүмкін. Екі қабырғалы сфералық көпбұрыштар, сондай-ақ дигондар немесе екі бұрыштар, екі үлкен шеңбер доғасымен шектеледі: кең таралған мысал – апельсин бөлігінің сыртқа қарай иілген беті. Шар тәрізді үшбұрыш, осы мақаланың негізгі тақырыбы, үш доға арқылы анықталады. Қабырғаларының саны көп көпбұрыштар (4 қабырғалы шар тәрізді төртбұрыштар, 5 қабырғалы шар тәрізді бесбұрыштар және т.б.) ұқсас тәсілмен анықталады. Жазық аналогтары сияқты, 3 қабырғадан асатын сфералық көпбұрыштарды әрқашан сфералық үшбұрыштардың құрамы ретінде қарастыруға болады. Бір қызықты қасиеттері бар сфералық көпбұрыш – пентаграмма мирификум, әр төбесінде тік бұрыш бар 5 қабырғалы сфералық жұлдыз тәрізді көпбұрыш. Осы нүктеден бастап мақалада талқылау шар тәрізді үшбұрыштармен ғана шектеледі, олар жай ғана үшбұрыш деп аталады.

Нөмірлік

Үшбұрыштың төбелері мен төбелердегі бұрыштарын бірдей үлкен әріптермен A, B және C белгілейміз. Қабырғалары кіші әріптермен белгіленеді: a, b және c. Бұрыш A (сәйкесінше, B және C) шарды A төбесінде қиып өтетін екі жазықтық арасындағы бұрыш ретінде немесе, эквивалентті түрде, үлкен шеңбер доғаларының жанамалары кездесетін жердегі бұрыш ретінде қарастырылуы мүмкін. Бұрыштар радиандармен беріледі. Дұрыс сфералық үшбұрыштардың бұрыштары (әдет бойынша) -тан кіші болады, сондықтан (Todhunter және сфералық астрономия әртүрлі дәлелдер келтіреді, ал MathWorld онлайн ресурстары одан да көп мысалдар ұсынады. Тіпті экзотикалық туындылар бар, мысалы, Банерджи проекциялық матрицалардың сызықтық алгебрасын қолдана отырып формулаларды шығарады, сондай-ақ дифференциалдық геометрия және айналулардың топтық теориясы әдістерін келтіреді. Жоғарыда ұсынылған косинус ережесінің туындысы қарапайымдылығымен және тікелейлігімен ерекшеленеді, ал синус ережесінің туындысы косинус ережесінен басқа жеке дәлелдің қажет еместігін көрсетеді. Дегенмен, жоғарыда аталған геометрияны синус ережесінің тәуелсіз дәлелін беру үшін пайдалануға болады. Скалярлық үштік көбейтінді көрсетілген базисте sin b sin c sin A-ға тең. Сол сияқты, z осьі бойымен бағытталған базисте , үштік көбейтінді sin c sin a sin B-ге тең. Сондықтан, циклдық өзгерістерде үштік көбейтіндінің инварианттылығы 1=sin b sin A = sin a sin B береді, бұл синус ережелерінің біріншісі. Бұл туындының толық мәліметтерін алу үшін синустар заңының қисық түрлерін қараңыз.

Көлденең үшбұрыштар

Үшбұрыштарды шешу сфералық тригонометрияның басты мақсаты болып табылады: үш, төрт немесе бес элементі берілген үшбұрыштың қалған элементтерін анықтау. Бес элементі берілген жағдай тривиалды, тек синус ережесін бір рет қолдану жеткілікті. Төрт элементі берілгенде бір ғана маңызды жағдай бар, ол төменде талданды. Үш элементі берілгенде алты жағдай қарастырылады: үш қабырға, екі қабырға және аралық немесе қарама-қарсы бұрыш, екі бұрыш және аралық немесе қарама-қарсы қабырға, немесе үш бұрыш. (Соңғы жағдай жазық тригонометрияда кездеспейді.) Барлық жағдайларды шешетін бір ғана әдіс жоқ. Төмендегі суретте жеті маңызды жағдай көрсетілген: әр жағдайда берілген қабырғалар көлденең сызықпен, ал берілген бұрыштар доғамен белгіленген. (Берілген элементтер үшбұрыштың астында тізімделген). Мұндағы ASA сияқты белгілеуде A – берілген бұрыш, S – берілген қабырғаны білдіреді, ал белгілеудегі A және S тізбегі үшбұрыштағы сәйкес тізбекке сәйкес келеді. 1-жағдай: үш қабырға берілген (SSS). Косинус ережесі арқылы A, B және C бұрыштарын табуға болады, бірақ екіұштылықты болдырмау үшін жарты бұрыш формулаларын қолдану артықшылықты. 2-жағдай: екі қабырға және аралық бұрыш берілген (SAS). Косинус ережесі a-ны береді, содан кейін 1-жағдайға ораламыз. 3-жағдай: екі қабырға және қарама-қарсы бұрыш берілген (SSA). Синус ережесі C-ны береді, содан кейін 7-жағдайға келеміз. Бір немесе екі шешім болуы мүмкін. 4-жағдай: екі бұрыш және аралық қабырға берілген (ASA). Төрт бөлікті котангенс формулалары (cBaC) және (BaCb) жиындары c және b-ны береді, содан кейін A синус ережесінен шығады. 5-жағдай: екі бұрыш және қарама-қарсы қабырға берілген (AAS). Синус ережесі b-ны береді, содан кейін 7-жағдай (бұрылған) пайда болады. Бір немесе екі шешім болуы мүмкін. 6-жағдай: үш бұрыш берілген (AAA). Қосымша косинус ережесі a, b және c қабырғаларын табу үшін қолданылуы мүмкін, бірақ екіұштылықты болдырмау үшін жарты қабырға формулаларын қолдану артықшылықты. 7-жағдай: екі бұрыш және екі қарама-қарсы қабырға берілген (SSAA). a және A үшін Нейпиердің аналогтарын пайдаланыңыз; немесе 3-жағдайды (SSA) немесе 5-жағдайды (AAS) пайдаланыңыз. Мұнда келтірілген шешім әдістері ғана емес, басқа да көптеген мүмкіндіктер бар. Жалпы, бұрыш пен оның қосымшасы арасындағы екіұштылықтан туындаған кері синус табудан аулақ болатын әдістерді таңдау жақсы. Жарты бұрыш формулаларын қолдану жиі ұсынылады, өйткені жарты бұрыштар /2-ден кіші болады, сондықтан екіұштылықтан арылады. Тодхантерде бұл мәселе толыққанды талданған. «Үшбұрыштарды шешу»#Сфералық үшбұрыштарды шешу мақаласында осы әдістердің сәл өзгеше белгілерімен ұсынылған нұсқалары келтірілген. Көлбеу үшбұрыштарды шешу мәселесі Тодхантерде толыққанды талданған. Насир әл-Дин әл-Түси сфералық тригонометрияда тік бұрышты үшбұрыштың алты ерекше жағдайын (2-7-жағдайлар диаграммада) бірінші болып тізімдеген.

The solution of triangles is the principal purpose of spherical trigonometry: given three, four or five elements of the triangle, determine the others. The case of five given elements is trivial, requiring only a single application of the sine rule. For four given elements there is one non trivial case, which is discussed below. For three given elements there are six cases: three sides, two sides and an included or opposite angle, two angles and an included or opposite side, or three angles. (The last case has no analogue in planar trigonometry.) No single method solves all cases. The figure below shows the seven non trivial cases: in each case the given sides are marked with a cross bar and the given angles with an arc. (The given elements are also listed below the triangle). In the summary notation here such as ASA, A refers to a given angle and S refers to a given side, and the sequence of A's and S's in the notation refers to the corresponding sequence in the triangle. Case 1: three sides given (SSS). The cosine rule may be used to give the angles A, B, and C but, to avoid ambiguities, the half angle formulae are preferred. Case 2: two sides and an included angle given (SAS). The cosine rule gives a and then we are back to Case 1. Case 3: two sides and an opposite angle given (SSA). The sine rule gives C and then we have Case 7. There are either one or two solutions. Case 4: two angles and an included side given (ASA). The four part cotangent formulae for sets (cBaC) and (BaCb) give c and b, then A follows from the sine rule. Case 5: two angles and an opposite side given (AAS). The sine rule gives b and then we have Case 7 (rotated). There are either one or two solutions. Case 6: three angles given (AAA). The supplemental cosine rule may be used to give the sides a, b, and c but, to avoid ambiguities, the half side formulae are preferred. Case 7: two angles and two opposite sides given (SSAA). Use Napier's analogies for a and A; or, use Case 3 (SSA) or case 5 (AAS). The solution methods listed here are not the only possible choices: many others are possible. In general it is better to choose methods that avoid taking an inverse sine because of the possible ambiguity between an angle and its supplement. The use of half angle formulae is often advisable because half angles will be less than /2 and therefore free from ambiguity. There is a full discussion in Todhunter. The article Solution of triangles#Solving spherical triangles presents variants on these methods with a slightly different notation. There is a full discussion of the solution of oblique triangles in Todhunter. Nasir al Din al Tusi was the first to list the six distinct cases (2 7 in the diagram) of a right triangle in spherical trigonometry.

Тік бұрышты үшбұрыштар арқылы шешу

Тағы бір тәсіл – үшбұрышты екі тікбұрышты үшбұрышқа бөлу. Мысалы, b, c және B берілген 3-ші жағдайды қарастырайық. A нүктесінен BC қабырғасына D нүктесінде перпендикуляр болатын үлкен шеңберді салыңыз. Непьер ережелерін пайдаланып △ABD үшбұрышын шешіңіз: c және B-ні AD және BD қабырғаларын, сондай-ақ ∠BAD бұрышын табу үшін қолданыңыз. Содан кейін Непьер ережелерін пайдаланып △ACD үшбұрышын шешіңіз: яғни AD және b-ні DC қабырғасын және C және ∠DAC бұрыштарын табу үшін пайдаланыңыз. A бұрышы мен a қабырғасы қосу арқылы анықталады.

Сандық мәндер

Алынған ережелердің бәрі де шектен шыққан жағдайларда сандық тұрғыдан сенімді болмайды, мысалы, бұрыш нөлге жақындағанда. Сондықтан, мәселелер мен шешімдерді, әсіресе кез келген үшбұрышты шешуге арналған код жазатын кезде, сақтап қарастыру қажет.