Геометрия фигур на сфере и сферическая тригонометрия

Введение

Геометрия фигур на поверхности сферы

Сферическая тригонометрия — это раздел сферической геометрии, изучающий метрические соотношения между сторонами и углами сферических треугольников, традиционно выражаемые с помощью тригонометрических функций. На сфере геодезические линии являются большими кругами. Сферическая тригонометрия имеет большое значение для расчетов в астрономии, геодезии и навигации. История возникновения сферической тригонометрии в греческой математике и основные достижения в исламской математике подробно изложены в работах "История тригонометрии" и "Математика в средневековом исламе". Данная область знаний оформилась в период Нового времени благодаря важным работам Джона Непера, Деламбра и других, и приобрела практически завершенную форму к концу XIX века с публикацией учебника Тодхантера "Сферическая тригонометрия для колледжей и школ". После этого значительным развитием стало применение векторных и кватернионных методов, а также использование численных методов.

Сферические многоугольники

Сферический полигон — это многоугольник на поверхности сферы. Его стороны — дуги больших кругов, являющиеся сферическим геометрическим аналогом отрезков прямых в планиметрии. Такие полигоны могут иметь любое число сторон, большее единицы. Двухсторонние сферические полигоны, также называемые дигонами или биуглами, ограничены двумя дугами больших кругов: типичным примером является выпуклая наружная поверхность дольки апельсина. Три дуги определяют сферический треугольник, который является основной темой данной статьи. Полигоны с большим числом сторон (четырехсторонние сферические четырехугольники, пятисторонние сферические пятиугольники и т. д.) определяются аналогичным образом. Подобно своим планиметрическим аналогам, сферические полигоны с более чем тремя сторонами всегда можно представить как композицию сферических треугольников. Один сферический полигон с интересными свойствами — это pentagramma mirificum, пятисторонний сферический звездный полигон с прямым углом в каждой вершине. Далее в статье обсуждение будет ограничено сферическими треугольниками, которые будут именоваться просто треугольниками.

Обозначение

Обе вершины и углы при вершинах треугольника обозначаются одними и теми же прописными буквами A, B и C.
Стороны обозначаются строчными буквами: a, b и c.
Угол A (соответственно, B и C) можно рассматривать либо как угол между двумя плоскостями, пересекающими сферу в вершине A, либо, эквивалентно, как угол между касательными к дугам большого круга в точке их пересечения в вершине. Углы выражаются в радианах. Углы правильных сферических треугольников (по соглашению) меньше π, так что (Todhunter, и сферическая астрономия приводят различные доказательства, а онлайн-ресурсы MathWorld предлагают еще больше. Существуют даже более экзотические выводы, например, у Банерджи, который выводит формулы, используя линейную алгебру матриц проекций, и также ссылается на методы дифференциальной геометрии и теории групп вращений. Вывод правила косинусов, представленный выше, отличается простотой и наглядностью, а вывод правила синусов подчеркивает тот факт, что отдельного доказательства, помимо правила косинусов, не требуется. Однако, описанная выше геометрия может быть использована для независимого доказательства правила синусов. Скалярное тройное произведение равно sin b sin c sin A в показанном базисе. Аналогично, в базисе, ориентированном вдоль оси z, тройное произведение равно sin c sin a sin B. Следовательно, инвариантность тройного произведения относительно циклической перестановки дает 1 = sin b sin A = sin a sin B, что является первым из правил синусов. Подробности этого вывода можно найти в разделе "Криволинейные варианты закона синусов".

Поперечные треугольники

Решение треугольников является основной целью сферической тригонометрии: заданы три, четыре или пять элементов треугольника, определить остальные. Случай с пятью заданными элементами тривиален и требует лишь одно применения правила синусов. Для четырех заданных элементов существует один нетривиальный случай, который обсуждается ниже. Для трех заданных элементов существует шесть случаев: три стороны, две стороны и включенный или противолежащий угол, два угла и включенная или противолежащая сторона, или три угла. (Последний случай не имеет аналога в планарной тригонометрии.) Не существует единого метода для решения всех случаев. На рисунке ниже показаны семь нетривиальных случаев: в каждом случае заданные стороны отмечены поперечной чертой, а заданные углы – дугой. (Заданные элементы также перечислены ниже треугольника). В принятой здесь сокращенной нотации, такая как ASA, A обозначает заданный угол, а S – заданную сторону, и последовательность A и S в нотации соответствует соответствующей последовательности в треугольнике. Случай 1: заданы три стороны (SSS). Правило косинусов может быть использовано для определения углов A, B и C, но для избежания неоднозначности предпочтительнее использовать формулы половинного угла. Случай 2: заданы две стороны и включенный угол (SAS). Правило косинусов дает значение a, после чего мы возвращаемся к случаю 1. Случай 3: заданы две стороны и противолежащий угол (SSA). Правило синусов дает значение C, и тогда мы имеем случай 7. Существует одно или два решения. Случай 4: заданы два угла и включенная сторона (ASA). Четырехчастные формулы котангенсов для множеств (cBaC) и (BaCb) дают значения c и b, после чего A следует из правила синусов. Случай 5: заданы два угла и противолежащая сторона (AAS). Правило синусов дает значение b, и тогда мы имеем случай 7 (повернутый). Существует одно или два решения. Случай 6: заданы три угла (AAA). Дополнительное правило косинусов может быть использовано для определения сторон a, b и c, но для избежания неоднозначности предпочтительнее использовать формулы половинной стороны. Случай 7: заданы два угла и две противолежащие стороны (SSAA). Используйте аналогии Напьера для a и A; или используйте случай 3 (SSA) или случай 5 (AAS). Перечисленные здесь методы решения не являются единственно возможными: существует множество других. В общем случае лучше выбирать методы, которые избегают вычисления арксинуса из-за возможной неоднозначности между углом и его дополнением. Часто целесообразно использовать формулы половинного угла, поскольку половинные углы будут меньше /2 и, следовательно, не будут вызывать неоднозначности. Полное обсуждение приводится в работе Тодхантера. В статье «Решение треугольников#Решение сферических треугольников» представлены варианты этих методов с несколько иной нотацией. Полное обсуждение решения косых треугольников приводится в работе Тодхантера. Насир ад-Дин ат-Туси первым перечислил шесть различных случаев (2 и 7 на диаграмме) прямоугольного треугольника в сферической тригонометрии.

Решение прямоугольных треугольников

Другой подход заключается в разделении треугольника на два прямоугольных треугольника. Например, рассмотрим пример случая 3, где заданы b, c и B. Постройте большую окружность из точки A, нормальную к стороне BC в точке D. Используйте правила Непера для решения треугольника △ABD: используя c и B, найдите стороны AD и BD и угол ∠BAD. Затем используйте правила Непера для решения треугольника △ACD: то есть, используя AD и b, найдите сторону DC и углы C и ∠DAC. Угол A и сторона a определяются сложением.

Численные соображения

Не все полученные правила обладают числовой устойчивостью в крайних случаях, например, когда угол стремится к нулю. Проблемы и решения могут потребовать внимательного анализа, особенно при разработке кода для решения произвольных треугольников.