Кіріспе
Математиканың саласы
Комплекстік динамика немесе голоморфты динамика — күрделі аналитикалық функцияны итерациялау арқылы алынған динамикалық жүйелерді зерттеу пәні. Бұл мақалада алгебралық динамика, яғни полином немесе рационалды функцияны итерациялау жағдайына назар аударылады. Геометриялық тұрғыдан алғанда, бұл алгебралық сан алуандығынан өзіне функцияны итерациялаумен тең. Осымен байланысты арифметикалық динамика теориясы күрделі сандардың орнына рационал сандар немесе p-адық сандар бойынша итерацияны зерттейді.
Complex dynamics, or holomorphic dynamics, is the study of dynamical systems obtained by iterating a complex analytic mapping. This article focuses on the case of algebraic dynamics, where a polynomial or rational function is iterated. In geometric terms, that amounts to iterating a mapping from some algebraic variety to itself. The related theory of arithmetic dynamics studies iteration over the rational numbers or the p adic numbers instead of the complex numbers.
1-бөлімдегі күрделі динамика
Күрделі динамикадағы негізгі мәселелердің кейбірін көрсететін қарапайым мысал – C-ден өзіне күрделі сандарды бейнелеу. Бұл күрделі проекциялық түзудің өзінен карта ретінде қарастырылуы ыңғайлы, күрделі сандарға бір нүкте қосу арқылы. (Бұл жағдайдың ыңғайлы болуының артықшылығы бар.) Негізгі сұрақ: берілген нүкте үшін орбитасы (немесе алға бағытталған орбитасы) қалай өзгереді? Жауап: егер z-ның абсолюттік мәні 1-ден кем болса, онда орбита 0-ге жуықсады, тіпті экспоненталық жылдамдықтан да жылдам. Егер z-ның абсолюттік мәні 1-ден артық болса, онда орбита экспоненталық жылдамдықпен орбиталық нүктеге жуықсады. (Мұнда 0 және f-тің суператтракциялық тұрақты нүктелері болып табылады, яғни f-тің туындысы сол нүктелерде нөлге тең. Аттракциялық тұрақты нүкте – f-тің туындысының абсолюттік мәні 1-ден кем болатын нүкте.) Екінші жағынан, егер z бірлік шеңберде болса, C-де. Бұл нүктелерде f динамикасы әртүрлі жолдармен хаотикалық. Мысалы, өлшем теориясы тұрғысынан шеңбердегі дерлік барлық z нүктелері үшін z-ның алға бағытталған орбитасы шеңберде тығыз және тіпті шеңберде біркелкі таралады. Сондай-ақ, шеңберде шексіз көп периодтық нүктелер бар, яғни кейбір оң бүтін сан r үшін нүктелер бар. (Бұл жерде f-ті z-ға r рет қолдану нәтижесін білдіреді.) Тіпті шеңбердегі периодтық z нүктелерінде де f динамикасы хаотикалық деп санауға болады, өйткені z-ға жақын нүктелер f итерацияланғанда z-дан экспоненталық жылдамдықпен алшақтайды. (Бірлік шеңбердегі f-тің периодтық нүктелері тебуші: егер , z-дегі туындының абсолюттік мәні 1-ден үлкен болса.) Пьер Фату мен Гастон Жюлия 1910 жылдардың соңында осы оқиғаның көп бөлігі 1-ден жоғары дәрежелі кез келген күрделі алгебралық бейнелеуге дейін таралатынын көрсетті. (Мұндай бейнелеу күрделі коэффициенттері бар полиноммен немесе жалпырақ рационалды функциямен берілуі мүмкін.) Атап айтқанда, f динамикасы хаотикалық болатын , Джулия жиынының әрқашан компактты ішкі жиыны бар. белгілі бір бейнелеу үшін Джулия жиыны бірлік шеңбер болып табылады. Басқа полиномдық бейнелеулер үшін Джулия жиыны көбінесе өте ретсіз болады, мысалы, оның Хаусдорф өлшемі бүтін сан емес деген мағынада фрактал. Бұл тіпті тұрақты сан үшін де орын алады. Мандельброт жиыны – бұл Джулия жиыны байланысқан c күрделі сандарының жиыны. Фату жиынында рационалды функциялардың ықтимал динамикасының толық жіктелуі бар, бұл Джулия жиынының толықтырылысы, мұнда динамика «жай» болады. Атап айтқанда, Денис Салливан Fatou жиынының әрбір байланысқан компоненті U препериодты екенін көрсетті, яғни U компонентіндегі динамиканы талдау үшін f-ті итерациямен алмастырғаннан кейін мынаны болжауға болады: 1) U f үшін аттракциялық тұрақты нүктеге ие; 2) U U-дегі барлық нүктелер U шекарасындағы тұрақты нүктеге жақындаған мағынада параболалық; 3) U – Siegel дискісі, яғни f-тің U-ге әсері ашық бірлік дискісінің иррационалдық айналуына конъюгатты; немесе 4) U – Герман сақинасы, яғни f-тің U-ге әсері ашық сақинаның иррационалдық айналуына конъюгатты. (Еске сала кетейік, U-дағы z нүктесінің «кері орбитасы», f-тің кейбір итерациясы бойынша z-ге бейнеленетін нүктелер жиыны U-да міндетті түрде қамтылуы қажет емес.)
behave, qualitatively? The answer is: if the absolute value |z| is less than 1, then the orbit converges to 0, in fact more than exponentially fast. If |z| is greater than 1, then the orbit converges to the point in , again more than exponentially fast. (Here 0 and are superattracting fixed points of f, meaning that the derivative of f is zero at those points. An attracting fixed point means one where the derivative of f has absolute value less than 1.) On the other hand, suppose that , meaning that z is on the unit circle in C. At these points, the dynamics of f is chaotic, in various ways. For example, for almost all points z on the circle in terms of measure theory, the forward orbit of z is dense in the circle, and in fact uniformly distributed on the circle. There are also infinitely many periodic points on the circle, meaning points with for some positive integer r. (Here means the result of applying f to z r times, .) Even at periodic points z on the circle, the dynamics of f can be considered chaotic, since points near z diverge exponentially fast from z upon iterating f. (The periodic points of f on the unit circle are repelling: if , the derivative of at z has absolute value greater than 1.) Pierre Fatou and Gaston Julia showed in the late 1910s that much of this story extends to any complex algebraic map from to itself of degree greater than 1. (Such a mapping may be given by a polynomial with complex coefficients, or more generally by a rational function.) Namely, there is always a compact subset of , the Julia set, on which the dynamics of f is chaotic. For the mapping , the Julia set is the unit circle. For other polynomial mappings, the Julia set is often highly irregular, for example a fractal in the sense that its Hausdorff dimension is not an integer. This occurs even for mappings as simple as for a constant The Mandelbrot set is the set of complex numbers c such that the Julia set of is connected. There is a rather complete classification of the possible dynamics of a rational function in the Fatou set, the complement of the Julia set, where the dynamics is "tame". Namely, Dennis Sullivan showed that each connected component U of the Fatou set is pre periodic, meaning that there are natural numbers such that Therefore, to analyze the dynamics on a component U, one can assume after replacing f by an iterate that Then either (1) U contains an attracting fixed point for f; (2) U is parabolic in the sense that all points in U approach a fixed point in the boundary of U; (3) U is a Siegel disk, meaning that the action of f on U is conjugate to an irrational rotation of the open unit disk; or (4) U is a Herman ring, meaning that the action of f on U is conjugate to an irrational rotation of an open annulus. (Note that the "backward orbit" of a point z in U, the set of points in that map to z under some iterate of f, need not be contained in U.)
Эндоморфизмнің тепе-теңдік өлшемі
Кез келген өлшемде күрделі динамика тиімді дамыды. Бұл бөлім күрделі проективті кеңістіктен өзіне жасалатын карталарға, мысалдардың ең бай көзіне назар аударады. Негізгі нәтижелер кез келген проективті сорттан өзіне жасалатын рационалды карталар класына дейін кеңейтілді. Дегенмен, көптеген сорттардың қызықты өздік карталары жоқ екенін ескеріңіз. f – н-нің ендоморфизмі болсын, яғни алгебралық сорттардың морфизмі, оң бүтін сан n үшін. Мұндай карталау гомогенді координаттарда былай беріледі:
кейбір гомогенді полиномиалдар үшін d, олардың ортақ нөлдері жоқ (Чоу теоремасы бойынша, бұл н-ден өзіне жасалатын голоморфты карталаумен бірдей). d 1-ден үлкен деп есептейік, онда f картасының дәрежесі , ол да 1-ден үлкен. Содан кейін f-тің тепе-теңдік өлшемі , f динамикасының ең хаотикалық бөлігін сипаттайтын бірегей ықтималдық өлшемі бар. (Оны сондай-ақ Грин өлшемі немесе максималды энтропия өлшемі деп те атайды.) Бұл өлшемді Ханс Бролин (1965) бір айнымалыдағы полиномдар үшін, Александр Фрейр, Артур Лопес, Рикардо Мане және Михаил Любич (1983 жыл шамасында) және Джон Хаббард, Питер Пападопол, Джон Форнасс және Нессим Сибони кез келген өлшемде (1994 жыл шамасында) анықтады. Кіші Джулия жиыны – бұл ; бұл жай ғана Джулия жиыны .
Тепе-теңдік өлшемін сипаттау
Тепе-теңдік өлшемінің негізгі қасиеті – f астында инвариантты болуы, яғни алға жылжыту өлшемі тең болуы. f шекті морфизм болғандықтан, кері тарту өлшемі де анықталады және ол толығымен инвариантты. Тепе-теңдік өлшемінің ерекше сипаттамасы – Жан Ив Бриенд, Джулиен Дюваль, Тьен Куонг Дин және Сибонидің еңбектері бойынша, уақыт бойынша кері бағытта қарастырылғанда, дерлік барлық нүктенің асимптотикасын сипаттауы. Атап айтқанда, z нүктесі және оң бүтін сан r үшін w нүктелеріне тең үлестірілген ықтималдық өлшемін қарастырайық. Содан кейін, Зариски жабық жиыны E бар, онда E жиынына жатпайтын барлық z нүктелері үшін жоғарыда анықталған өлшемдер r шексізге ұмтылғанда тепе-теңдік өлшеміне әлсіз түрде жақындайды. Егжей-тегжейлірек айтқанда: f астында толығымен инвариантты болатын жабық күрделі кіші кеңістіктердің саны шекті, яғни (мәні), және ерекше жиын E-ді тең емес ең үлкен толығымен инвариантты жабық күрделі кіші кеңістік деп алуға болады. Тепе-теңдік өлшемінің тағы бір сипаттамасы (Бриенд пен Дювальдың еңбектері бойынша) келесідей: әрбір оң бүтін сан r үшін r периоды бар периодтық нүктелердің саны (яғни ), көбейтумен есептегенде, шамамен тең болады. r периоды бар нүктелерге тең үлестірілген ықтималдық өлшемін қарастырайық. Осы өлшемдер де r шексізге ұмтылғанда тепе-теңдік өлшеміне жақындайды. Сонымен қатар, көптеген периодтық нүктелер ығыстыратын және жатады, сондықтан ығыстыратын периодтық нүктелер бойынша орташа есептегенде бірдей шекті мәнге жетеміз. Сыртта да ығыстыратын периодтық нүктелер болуы мүмкін. Тепе-теңдік өлшемі бүкіл кеңістік емес жабық күрделі кіші кеңістіктерге нөлдік масса береді. -дегі периодтық нүктелер тығыз болғандықтан, f-тің периодтық нүктелері A-да Зариски тығыздығын құрайды. Бұл Зариски тығыздығының алгебралық дәлелін Наджмуддин Фахруддин берген. Жабық күрделі кіші кеңістіктерге нөлдік масса берудің тағы бір салдары – әрбір нүктенің массасы нөлге тең. Нәтижесінде, қолдаудың оқшауланған нүктелері жоқ, сондықтан ол толық жиын. Тепе-теңдік өлшемінің қолдауы тым кішкентай емес, оның Хаусдорф өлшемі әрқашан нөлден үлкен. f-тің кейбір хаостық мінез-құлқы бар екенін нақтылаудың тағы бір жолы – f-тің топологиялық энтропиясы әрқашан нөлден үлкен, тіпті Михаил Громов, Михаль Мисюревич және Феликс Притыцкийдің еңбектері бойынша тең. Кез келген үздіксіз эндоморфизм үшін f компактты метрикалық кеңістікте X, f-тің топологиялық энтропиясы f инвариантты өлшемдердің теориялық энтропиясының (немесе «метриялық энтропияның») максимумына тең. Холоморфты эндоморфизм үшін f, тепе-теңдік өлшемі – Брайенд пен Дювальдың еңбектері бойынша максималды энтропиясы бар бірегей инвариантты өлшем. Мысалы, дерлік барлық нүктелерге қатысты оның алға бағытталған орбитасы біркелкі таралады.
One striking characterization of the equilibrium measure is that it describes the asymptotics of almost every point in when followed backward in time, by Jean Yves Briend, Julien Duval, Tien Cuong Dinh, and Sibony. Namely, for a point z in and a positive integer r, consider the probability measure which is evenly distributed on the points w with Then there is a Zariski closed subset such that for all points z not in E, the measures just defined converge weakly to the equilibrium measure as r goes to infinity. In more detail: only finitely many closed complex subspaces of are totally invariant under f (meaning that ), and one can take the exceptional set E to be the unique largest totally invariant closed complex subspace not equal to
Another characterization of the equilibrium measure (due to Briend and Duval) is as follows. For each positive integer r, the number of periodic points of period r (meaning that ), counted with multiplicity, is , which is roughly Consider the probability measure which is evenly distributed on the points of period r. Then these measures also converge to the equilibrium measure as r goes to infinity. Moreover, most periodic points are repelling and lie in , and so one gets the same limit measure by averaging only over the repelling periodic points in There may also be repelling periodic points outside
The equilibrium measure gives zero mass to any closed complex subspace of that is not the whole space. Since the periodic points in are dense in , it follows that the periodic points of f are Zariski dense in A more algebraic proof of this Zariski density was given by Najmuddin Fakhruddin. Another consequence of giving zero mass to closed complex subspaces not equal to is that each point has zero mass. As a result, the support of has no isolated points, and so it is a perfect set. The support of the equilibrium measure is not too small, in the sense that its Hausdorff dimension is always greater than zero.) Another way to make precise that f has some chaotic behavior is that the topological entropy of f is always greater than zero, in fact equal to , by Mikhail Gromov, Michał Misiurewicz, and Feliks Przytycki. For any continuous endomorphism f of a compact metric space X, the topological entropy of f is equal to the maximum of the measure theoretic entropy (or "metric entropy") of all f invariant measures on X. For a holomorphic endomorphism f of , the equilibrium measure is the unique invariant measure of maximal entropy, by Briend and Duval. It follows, for example, that for almost every point with respect to , its forward orbit is uniformly distributed with respect to .
Латтес карталары
Латтес картасы – бұл шекті топқа бөлу арқылы абельдік сорттың эндоморфизмінен алынған f эндоморфизмі. Бұл жағдайда f-тың тепе-теңдік өлшемі Лебег өлшеміне қатысты абсолюттік үздіксіз болады. Керісінше, Анна Здуник, Франсуа Бертельот және Кристоф Дюпон көрсеткендей, Лебег өлшеміне қатысты абсолюттік үздіксіз тепе-теңдік өлшеміне ие болатын жалғыз эндоморфизмдер – Латтес мысалдары. Яғни, барлық Латтес емес эндоморфизмдер үшін, оның толық массасы 1-ді Лебег өлшемі 0-ге тең Борель жиынына тиесілі. 1-өлшемде тепе-теңдік өлшемінің «ретсіздігі» туралы көбірек мәлімет бар. Атап айтқанда, Борель жиыны Y-дың Хаусдорф өлшемін білдіретін болса (немесе жалпы алғанда, тегіс көптік үшін), ықтималдық өлшемінің Хаусдорф өлшемін былай анықтаймыз:
мұндағы dimH(Y) – Борель жиыны Y-дың Хаусдорф өлшемі. 1-ден жоғары дәрежелі f эндоморфизмі үшін Здуник көрсеткендей, егер және тек қана егер f Латтес картасына, Чебышев полиномына (белгіге дейін) немесе (Соңғы жағдайларда Джулия жиынының барлығы , жабық аралық немесе шеңбер) тең болса, оның тірегінің Хаусдорф өлшемі оның тіреуінің (Джулия жиынының) Хаусдорф өлшеміне тең болады. Осылайша, осы ерекше жағдайлардан тыс, тепе-теңдік өлшемі өте ретсіз, ол Джулия жиынының кейбір жабық ішкі жиындарына бүкіл Джулия жиынынан кіші Хаусдорф өлшемімен оң массаны тиесілі етеді.
Проективті сорттардың автоморфизмдері
Жалпы алғанда, күрделі динамика итерация кезінде рационалды функциялардың мінез-құлқын сипаттауға тырысады. Бірнеше табыстармен зерттелген жағдайлардың бірі – тегіс күрделі проективті кеңістік X-тің автоморфизмдері, яғни X-тен өзіне изоморфизмдер f. Ең қызығушылық тудыратын жағдай – f сингулярлы когомологияға тривиальды емес әсер ететін кезде. Громов пен Йосеф Йомдин тегіс күрделі проективті кеңістіктің эндоморфизмінің (мысалы, автоморфизмнің) топологиялық энтропиясы оның когомологияға әсерімен анықталады екенін көрсетті. Нақтырақ айтқанда, X-тің күрделі өлшемі n болсын және , Ходж когомология тобында кері шегіну арқылы әрекет ететін f-тің спектрлік радиусы болсын. Онда f-тің топологиялық энтропиясы (f-тің топологиялық энтропиясы сонымен қатар бүкіл когомологиядағы f-тің спектрлік радиусының логарифмі) тең. Осылайша, f-тің белгілі бір хаостық қасиеттері бар, оның топологиялық энтропиясы нөлден үлкен болса ғана, яғни ол 1-ден үлкен абсолюттік мәні бар өзіндік мәні бар бір кохомология тобына әсер ететін болса. Көптеген проективті кеңістіктерде мұндай автоморфизмдер жоқ, бірақ (мысалы) көптеген рационалды беттер мен K3 беттерінде мұндай автоморфизмдер бар. X – ықшам Келер көптүрлілігі болсын, бұл жағдай тегіс күрделі проективті кеңістікті де қамтиды. Автоморфизм f-тің когомологияға қарапайым әсер ететінін былай анықтаймыз: тек бір ғана p саны бар, онда өзінің максималды мәніне жетеді, f-тің әсері тек бір ғана абсолюттік мәні бар өзіндік мәнге ие, және бұл өзіндік мән қарапайым. Мысалы, Серж Кантат оң топологиялық энтропиясы бар ықшам Келер бетінің кез келген автоморфизмі когомологияда қарапайым әсер ететінін көрсетті. (Бұл жерде "автоморфизм" күрделі аналитикалық, бірақ X-те Келер метрикасын сақтайтыны талап етілмейді. Шындығында, метриканы сақтайтын кез келген автоморфизмнің топологиялық энтропиясы нөлге тең.) Когомологияға қарапайым әсер ететін f автоморфизмі үшін күрделі динамиканың бірқатар мақсаттарына қол жеткізілді. Дин, Сибони және Генри де Телин f үшін тепе-теңдік өлшемі (немесе Грин өлшемі, немесе максималды энтропия өлшемі) деп аталатын максималды энтропияның бірегей инвариантты ықтималдық өлшемі бар екенін көрсетті. (Атап айтқанда, f-қа қатысты энтропияға ие.) өлшемінің таяулығы кішкентай Джулия жиыны деп аталады. Формальды түрде: f-тің белгілі бір хаостық қасиеттері бар, ал ең хаостық қасиеттері кішкентай Джулия жиынында шоғырланған. Кем дегенде, X проективті болғанда, оң Гаусдорф өлшеміне ие. (Дәлірек айтқанда, жеткілікті кішкентай Гаусдорф өлшемі бар барлық жиынға нөлдік масса тағайындайды.)
Gromov and Yosef Yomdin showed that the topological entropy of an endomorphism (for example, an automorphism) of a smooth complex projective variety is determined by its action on cohomology. Explictly, for X of complex dimension n and , let be the spectral radius of f acting by pullback on the Hodge cohomology group Then the topological entropy of f is
(The topological entropy of f is also the logarithm of the spectral radius of f on the whole cohomology .) Thus f has some chaotic behavior, in the sense that its topological entropy is greater than zero, if and only if it acts on some cohomology group with an eigenvalue of absolute value greater than 1. Many projective varieties do not have such automorphisms, but (for example) many rational surfaces and K3 surfaces do have such automorphisms. Let X be a compact Kähler manifold, which includes the case of a smooth complex projective variety. Say that an automorphism f of X has simple action on cohomology if: there is only one number p such that takes its maximum value, the action of f on has only one eigenvalue with absolute value , and this is a simple eigenvalue. For example, Serge Cantat showed that every automorphism of a compact Kähler surface with positive topological entropy has simple action on cohomology. (Here an "automorphism" is complex analytic but is not assumed to preserve a Kähler metric on X. In fact, every automorphism that preserves a metric has topological entropy zero.) For an automorphism f with simple action on cohomology, some of the goals of complex dynamics have been achieved. Dinh, Sibony, and Henry de Thélin showed that there is a unique invariant probability measure of maximal entropy for f, called the equilibrium measure (or Green measure, or measure of maximal entropy). (In particular, has entropy with respect to f.) The support of is called the small Julia set Informally: f has some chaotic behavior, and the most chaotic behavior is concentrated on the small Julia set. At least when X is projective, has positive Hausdorff dimension. (More precisely, assigns zero mass to all sets of sufficiently small Hausdorff dimension.)
Кумер автоморфизмдері
Кейбір абельдік сорттардың оң энтропиясы бар автоморфизмі бар. Мысалы, E күрделі эллипстік қисық болсын, ал X – Абель беті болсын. Содан кейін, инверттік бүтін санды матрицалардың тобы X-ке әсер етеді. Кез келген f топ элементі, оның іздерінің абсолюттік шамасы 2-ден үлкен, мысалы, спектрлік радиусы 1-ден үлкен болады, сондықтан ол X-тің оң энтропиялы автоморфизмін береді. f-тың тепе-теңдік өлшемі – X-тегі Haar өлшемі (стандартты Лебег өлшемі). Куммер автоморфизмдері – автоморфизмі бар абельдік беттің шекті тобы бойынша факторлық кеңістікті алу арқылы анықталады, содан кейін бетті тегістеу үшін кеңейтіледі. Нәтижесінде пайда болатын беттерге кейбір арнайы K3 беттері мен рационалды беттер кіреді. Куммер автоморфизмдері үшін тепе-теңдік өлшемінің таянышы X-ке тең және шекті көп қисықтардың сыртында тегіс болады. Керісінше, Кантат пен Дюпонт Куммер мысалдарынан басқа, оң энтропиялы барлық беттік автоморфизмдер үшін тепе-теңдік өлшемінің Лебег өлшеміне қатысты мүлдем үздіксіз еместігін көрсетті. Осы тұрғыдан алғанда, автоморфизмнің тепе-теңдік өлшемінің белгілі бір дәрежеде ретсіз болуы қалыпты жағдай.
Седелдің мерзімді нүктелері
f-тің z кезеңді нүктесі, егер r оң бүтін саны үшін , z-дегі жанама кеңістіктегі f-тің туындысының кем дегенде бір өзіндік мәні 1-ден кем болса, кем дегенде біреуі 1-ден үлкен абсолюттік мәнге ие болса және ешқайсысы 1-ге тең абсолюттік мәнге ие болмаса, сәл кезеңді нүкте деп аталады. (Осылайша, f кейбір бағыттарда кеңейеді және z-ға жақын басқаларында жиырылады.) Когомология бойынша қарапайым әрекет ететін f автоморфизмі үшін, сәл кезеңдік нүктелер тепе-теңдік өлшемінің қолдауында тығыз болады. Осыдан кейін, z-ның алға және артқа қарайтын орбиталары тепе-теңдік өлшеміне қатысты дерлік барлық нүктелер үшін тең таралады. Мысалы, Эрик Бедфорд, Кёунги Ким және Кертис МакМаллен оң топологиялық энтропиясы бар тегіс проективті рационалдық бет үшін (осыдан кохомология бойынша қарапайым әрекет) f автоморфизмін құрастырды, сондықтан f-де Сигель дискісі бар, онда f-тің әрекеті иррационалдық айналымға конъюгатталған. Бұл ашық жиынтықтағы нүктелер f немесе оның кері әсері арқылы ешқашан тепе-теңдік өлшемінің қолдауына жақындамайды. Кемінде 2-ші күрделі өлшемде, f-тің тепе-теңдік өлшемі f-тің оқшауланған кезеңдік нүктелерінің таралуын сипаттайды. (Бұл жерде f немесе итерациямен бекітілген күрделі қисықтар да болуы мүмкін, олар мұнда ескерілмейді.) Атап айтқанда, f оң топологиялық энтропиясы бар тығыз Кэлер бетінің автоморфизмі болсын. r кезеңінің оқшауланған кезеңдік нүктелеріне тең үлестірілген ықтималдық өлшемін қарастырайық (яғни ). Содан кейін, Эрик Бедфорд, Любич және Джон Смилли бойынша, бұл өлшем r шексізге ұмтылғанда әлсіз конвергенция ретінде тепе-теңдік өлшеміне жақындайды. Бұл сәл кезеңдік нүктелердің ішкі жиыны үшін де осылай, өйткені кезеңдік нүктелердің екі жиыны да .
A notable difference with the case of endomorphisms of is that for an automorphism f with simple action on cohomology, there can be a nonempty open subset of X on which neither forward nor backward orbits approach the support of the equilibrium measure. For example, Eric Bedford, Kyounghee Kim, and Curtis McMullen constructed automorphisms f of a smooth projective rational surface with positive topological entropy (hence simple action on cohomology) such that f has a Siegel disk, on which the action of f is conjugate to an irrational rotation. Points in that open set never approach under the action of f or its inverse. At least in complex dimension 2, the equilibrium measure of f describes the distribution of the isolated periodic points of f. (There may also be complex curves fixed by f or an iterate, which are ignored here.) Namely, let f be an automorphism of a compact Kähler surface X with positive topological entropy Consider the probability measure which is evenly distributed on the isolated periodic points of period r (meaning that ). Then this measure converges weakly to as r goes to infinity, by Eric Bedford, Lyubich, and John Smillie. The same holds for the subset of saddle periodic points, because both sets of periodic points grow at a rate of .