Введение

Комплексная динамика, или голоморфная динамика, — это раздел математики, изучающий динамические системы, получаемые путем итерации комплексного аналитического отображения. Данная статья посвящена случаю алгебраической динамики, где итерируется полином или рациональная функция. В геометрических терминах это соответствует итерации отображения из некоторого алгебраического многообразия в себя. Связанная с ней теория арифметической динамики изучает итерации над рациональными числами или p-адическими числами вместо комплексных чисел.

Динамика в сложном измерении 1

Простой пример, демонстрирующий некоторые из основных проблем в сложной динамике, — это отображение из комплексных чисел C в себя. Удобно рассматривать это как отображение с комплексной проективной прямой в себя, добавив к комплексным числам точку на бесконечности (что дает преимущество компактности). Основной вопрос заключается в следующем: как качественно ведет себя орбита (или прямая орбита) точки z из C? Ответ: если абсолютное значение |z| меньше 1, то орбита сходится к 0, причем быстрее экспоненциальной скорости. Если |z| больше 1, то орбита сходится к точке на бесконечности в C, также быстрее экспоненциальной скорости. (Здесь 0 и бесконечность являются сверхпритягивающими фиксированными точками f, то есть производная f равна нулю в этих точках. Притягивающая фиксированная точка — это точка, в которой абсолютное значение производной f меньше 1.) С другой стороны, предположим, что |z| = 1, то есть z лежит на единичной окружности в C. В этих точках динамика f хаотична, проявляясь различными способами. Например, для почти всех точек z на окружности (в смысле теории меры) прямая орбита z плотна на окружности и даже равномерно распределена по ней. На окружности также бесконечно много периодических точек, то есть точек, для которых f^r(z) = z для некоторого положительного целого числа r. (Здесь f^r(z) означает результат r-кратного применения f к z.) Даже в периодических точках z на окружности динамика f можно считать хаотичной, поскольку точки вблизи z экспоненциально быстро расходятся от z при итерациях f. (Периодические точки f на единичной окружности являются отталкивающими: если |f'(z)| > 1, то производная f в точке z имеет абсолютное значение больше 1.) Пьер Фату и Гастон Жулия в конце 1910-х годов показали, что большая часть этой картины распространяется на любое комплексное алгебраическое отображение из C в себя степени больше 1. (Такое отображение может быть задано многочленом с комплексными коэффициентами или, в более общем случае, рациональной функцией.) А именно, всегда существует компактное подмножество C, множество Жулия, на котором динамика f хаотична. Для отображения f(z) = z^2 множество Жулия — это единичная окружность. Для других полиномиальных отображений множество Жулия часто сильно нерегулярно, например, является фракталом в том смысле, что его размерность Хаусдорфа не является целым числом. Это происходит даже для отображений, столь простых, как f(z) = z^2 + c, где c — константа. Множество Мандельброта — это множество комплексных чисел c, для которых множество Жулия отображения f(z) = z^2 + c связно. Существует довольно полная классификация возможных динамик рациональной функции в множестве Фату, которое является дополнением множества Жулия и где динамика "укрощена". А именно, Деннис Салливан показал, что каждая связная компонента U множества Фату является предпериодической, то есть существуют натуральные числа k и p такие, что f^p(f^k(U)) = U. Следовательно, для анализа динамики на компоненте U можно, заменив f на итерацию, предположить, что f^p(U) = U. Тогда либо (1) U содержит притягивающую фиксированную точку для f; (2) U является параболической в том смысле, что все точки в U стремятся к фиксированной точке на границе U; (3) U — диск Зигеля, то есть действие f на U сопряжено с иррациональным вращением открытого единичного диска; или (4) U — кольцо Германа, то есть действие f на U сопряжено с иррациональным вращением открытого кольца. (Обратите внимание, что "обратная орбита" точки z в U, множество точек в C, которые отображаются в z при некоторой итерации f, не обязательно содержится в U.)

Меры равновесия эндоморфизма

Комплексная динамика была эффективно развита в любом измерении. В этом разделе основное внимание уделяется отображениям из комплексного проективного пространства в само себя, являющимся самым богатым источником примеров. Основные результаты для были расширены на класс рациональных отображений из любого проективного многообразия в само себя. Однако следует отметить, что многие многообразия не имеют интересных самоотображений. Пусть f — эндоморфизм , то есть морфизм алгебраических многообразий из в себя, для положительного целого числа n. Такое отображение задается в однородных координатах выражением

для некоторых однородных многочленов одной и той же степени d, не имеющих общих нулей в (по теореме Чоу, это эквивалентно голоморфному отображению из в себя). Предположим, что d больше 1; тогда степень отображения f равна , что также больше 1. В этом случае существует единственная мера вероятности на , мера равновесия f, описывающая наиболее хаотичную часть динамики f. (Она также называется мерой Грина или мерой максимальной энтропии.) Эта мера была определена Хансом Бролином (1965) для многочленов одной переменной, Александром Фрейре, Артуром Лопесом, Рикардо Мане и Михаилом Любичем для (около 1983 года), а также Джоном Хаббардом, Питером Пападополом, Джоном Форнассом и Нессимом Сибони в любом измерении (около 1994 года). Малое множество Джулии является носителем меры равновесия в ; это просто множество Джулии при .

Характеристика меры равновесия

Основное свойство меры равновесия заключается в том, что она инвариантна относительно f, в том смысле, что мера продвижения вперед равна . Поскольку f является конечным морфизмом, мера отталкивания также определена, и мера является полностью инвариантной в том смысле, что .
Одна из поразительных характеристик меры равновесия состоит в том, что она описывает асимптотику почти каждой точки в при движении назад во времени (Жан Ив Бриен, Джулиан Дюваль, Тянь Куонг Дин и Сибони). А именно, для точки z в и положительного целого числа r рассмотрим меру вероятности, которая равномерно распределена по точкам w с . Тогда существует замкнутое подмножество Зариски E, такое, что для всех точек z, не принадлежащих E, только что определенные меры слабо сходятся к мере равновесия при r, стремящемся к бесконечности. Более подробно: только конечное число замкнутых комплексных подпространств инвариантны относительно f (в смысле, что ), и можно взять исключительное множество E как единственное наибольшее замкнутое комплексное подпространство, полностью инвариантное относительно f и не равное .
Другая характеристика меры равновесия (установленная Бриеном и Дювалем) заключается в следующем. Для каждого положительного целого числа r число периодических точек периода r (в смысле, что ), считаемое с учетом кратности, равно , что приблизительно равно . Рассмотрим меру вероятности, которая равномерно распределена по точкам периода r. Тогда эти меры также сходятся к мере равновесия при r, стремящемся к бесконечности. Более того, большинство периодических точек являются отталкивающими и лежат в , поэтому и та же предельная мера получается при усреднении только по отталкивающим периодическим точкам в . Могут также существовать отталкивающие периодические точки вне .
Мера равновесия придает нулевую массу любому замкнутому комплексному подпространству , отличному от всего пространства. Поскольку периодические точки в плотны в , следует, что периодические точки f плотны в Зариски. Более алгебраическое доказательство этой плотности Зариски было дано Наджмуддином Фахруддином. Другим следствием того, что мера равновесия придает нулевую массу замкнутым комплексным подпространствам, отличным от , является то, что каждая точка имеет нулевую массу. Следовательно, носитель не содержит изолированных точек и, следовательно, является совершенным множеством. Носитель меры равновесия не слишком мал, в том смысле, что его размерность Хаусдорфа всегда больше нуля. Другой способ уточнить, что f обладает некоторым хаотическим поведением, заключается в том, что топологическая энтропия f всегда больше нуля, а именно равна (Михаил Громов, Михал Мисюревич и Феликс Притыцкий). Для любого непрерывного эндоморфизма f компактного метрического пространства X топологическая энтропия f равна максимуму теоретической энтропии (или "метрической энтропии") всех f-инвариантных мер на X. Для голоморфного эндоморфизма f меры равновесия является единственной инвариантной мерой максимальной энтропии (по Брайенду и Дювалю). Следовательно, например, для почти каждой точки относительно ее прямая орбита равномерно распределена относительно .

Карты Латтеса

Карта Латтеса — это эндоморфизм *f*, полученный из эндоморфизма абелева многообразия путем деления на конечную группу. В этом случае мера равновесия *f* абсолютно непрерывна по отношению к мере Лебега на *X*. И наоборот, по результатам Анны Здуник, Франсуа Бертельо и Кристофа Дюпона, единственные эндоморфизмы *f* на *X*, чья мера равновесия абсолютно непрерывна по отношению к мере Лебега, являются примерами Латтеса. То есть, для всех эндоморфизмов, не являющихся латтесовскими, *f* присваивает всю массу 1 некоторому множеству Бореля меры Лебега 0. В размерности 1 известно больше о "неправильности" меры равновесия. А именно, определим размерность Хаусдорфа вероятностной меры *μ* на *X* (или, в более общем случае, на гладком многообразии) как

где dim<sub>H</sub>(Y) обозначает размерность Хаусдорфа множества Бореля *Y*. Для эндоморфизма *f* на *X* степени больше 1, Здуник показала, что размерность *μ* равна размерности Хаусдорфа его носителя (множества Жюлиа) тогда и только тогда, когда *f* сопряжена карте Латтеса, полиному Чебышева (с точностью до знака) или степенному отображению *z<sup>d</sup>* с *d* > 1. (В последних случаях множество Жюлиа — это все *X*, замкнутый интервал или окружность, соответственно.) Таким образом, за пределами этих особых случаев мера равновесия является крайне нерегулярной, присваивая положительную массу некоторым замкнутым подмножествам множества Жюлиа с меньшей размерностью Хаусдорфа, чем все множество Жюлиа.

Автоморфизмы проективных разновидностей

Более общо, сложная динамика стремится описать поведение рациональных отображений при итерации. Одним из случаев, который был изучен с некоторым успехом, является случай автоморфизмов гладкого комплексного проективного многообразия X, то есть изоморфизмов f из X в себя. Основной интерес представляет случай, когда f действует нетривиально на сингулярную когомологию. Громов и Йосеф Йомдин показали, что топологическая энтропия эндоморфизма (например, автоморфизма) гладкого комплексного проективного многообразия определяется его действием на когомологию. Явно, для X комплексной размерности n и , пусть – спектральный радиус f, действующего посредством оттягивания на группу когомологий Ходжа. Тогда топологическая энтропия f равна

(Топологическая энтропия f также является логарифмом спектрального радиуса f на всей когомологии.) Таким образом, f демонстрирует некоторое хаотическое поведение, в том смысле, что его топологическая энтропия больше нуля, тогда и только тогда, когда он действует на некоторую когомологическую группу с собственным значением абсолютной величины больше 1. Многие проективные многообразия не имеют таких автоморфизмов, но (например) многие рациональные поверхности и поверхности K3 обладают такими автоморфизмами. Пусть X – компактное кэлерово многообразие, которое включает в себя случай гладкого комплексного проективного многообразия. Будем говорить, что автоморфизм f многообразия X имеет простое действие на когомологию, если: существует только одно число p, при котором достигает своего максимального значения, действие f на имеет только одно собственное значение с абсолютной величиной , и это собственное значение простое. Например, Серж Кантат показал, что каждый автоморфизм компактной кэлеровой поверхности с положительной топологической энтропией имеет простое действие на когомологию. (Здесь «автоморфизм» – комплексно-аналитический, но не предполагается, что он сохраняет кэлерову метрику на X. Фактически, каждый автоморфизм, сохраняющий метрику, имеет топологическую энтропию, равную нулю.) Для автоморфизма f с простым действием на когомологии некоторые задачи сложной динамики были решены. Дин, Сибони и Генри де Телин показали, что существует единственная инвариантная мера вероятности максимальной энтропии для f, называемая мерой равновесия (или мерой Грина, или мерой максимальной энтропии). (В частности, имеет энтропию относительно f.) Носитель называется малым множеством Жюлиа. Неформально: f демонстрирует некоторое хаотическое поведение, и наиболее хаотическое поведение сосредоточено на малом множестве Жюлиа. По крайней мере, когда X проективно, имеет положительную размерность Хаусдорфа. (Более точно, присваивает нулевую массу всем множествам достаточно малой размерности Хаусдорфа.)

Автоморфизмы Куммера

Некоторые абелевы многообразия имеют автоморфизм положительной энтропии. Например, пусть E — комплексная эллиптическая кривая, а X — абелева поверхность. Тогда группа обратимых матриц действует на X. Любой элемент группы f, след которого по абсолютной величине больше 2, например, имеет спектральный радиус больше 1 и, следовательно, задает автоморфизм X с положительной энтропией. Мера равновесия для f — это мера Хаара (стандартная мера Лебега) на X. Автоморфизмы Куммера определяются как факторпространство абелевой поверхности с автоморфизмом по конечной группе, с последующим разрешением особенностей для получения гладкой поверхности. Получаемые поверхности включают некоторые специальные поверхности K3 и рациональные поверхности. Для автоморфизмов Куммера мера равновесия имеет носитель, равный X, и является гладкой вне конечного числа кривых. Обратно, Канте и Дюпон показали, что для всех автоморфизмов поверхностей с положительной энтропией, за исключением примеров Куммера, мера равновесия не является абсолютно непрерывной относительно меры Лебега. В этом смысле мера равновесия автоморфизма обычно обладает некоторой нерегулярностью.

Периодические точки седла

Периодическая точка z отображения f называется седловой периодической точкой, если для некоторого положительного целого числа r, удовлетворяющего , по крайней мере одно собственное значение производной f в тангентном пространстве в точке z имеет абсолютное значение меньше 1, по крайней мере одно – больше 1, и ни одно не равно 1 по абсолютной величине. (Таким образом, f расширяет в одних направлениях и сжимает в других вблизи z.) Для автоморфизма f с простым действием на кохомологию седловые периодические точки плотны в носителе меры равновесия. Следовательно, для почти каждой точки z относительно , прямая и обратная орбиты z равномерно распределены относительно . Заметное отличие от случая эндоморфизмов состоит в том, что для автоморфизма f с простым действием на кохомологию может существовать непустое открытое подмножество X, на котором ни прямые, ни обратные орбиты не стремятся к носителю меры равновесия. Например, Эрик Бедфорд, Кёнги Ким и Кертис Макмуллен построили автоморфизмы f гладкой проективной рациональной поверхности с положительной топологической энтропией (следовательно, с простым действием на кохомологию), такие что f имеет диск Сигеля, на котором действие f сопряжено с иррациональным вращением. Точки в этом открытом множестве никогда не приближаются к под действием f или его обратного. По крайней мере, в комплексном измерении 2, мера равновесия f описывает распределение изолированных периодических точек f. (Могут также существовать комплексные кривые, фиксированные отображением f или его итерацией, которые здесь игнорируются.) А именно, пусть f – автоморфизм компактной кэлеровой поверхности X с положительной топологической энтропией. Рассмотрим меру вероятности, равномерно распределенную по изолированным периодическим точкам периода r (то есть, ). Тогда, согласно результатам Эрика Бедфорда, Любича и Джона Смилли, эта мера слабо сходится к при r стремящемся к бесконечности. То же самое верно и для подмножества седловых периодических точек, поскольку оба множества периодических точек растут со скоростью .