Кіріспе
математикада, әсіресе дифференциалдық геометрияда, 2-ден жоғары өлшемді Риман көптүрліліктерінің шексіз кішкентай геометриясы берілген нүктеде бір ғана санмен сипаттауға тым күрделі. Риман осы көптүрліліктердің қисықтығын анықтау үшін абстрактілі және қатаң әдіс енгізді, ол қазір Риман қисықтық тензоры деп аталады. Осыған ұқсас ұғымдар беттердің және басқа да нысандардың дифференциалдық геометриясында кеңінен қолданыс тапты. Псевдо-Риманн көптүрлілігінің қисықтығы да шамалы өзгерістермен осылайша өрнектеле алады.
In mathematics, specifically differential geometry, the infinitesimal geometry of Riemannian manifolds with dimension greater than 2 is too complicated to be described by a single number at a given point. Riemann introduced an abstract and rigorous way to define curvature for these manifolds, now known as the Riemann curvature tensor. Similar notions have found applications everywhere in differential geometry of surfaces and other objects. The curvature of a pseudo Riemannian manifold can be expressed in the same way with only slight modifications.
Вейл қисықтығы тензоры
Вейль қисықтығы тензоры Риман қисықтығы тензорымен бірдей симметрияға ие, бірақ бір қосымша шектеумен: оның іздері (Риччи қисықтығын анықтау үшін қолданылатын) нөлге тең болуы керек. Вейль тензоры метриканың конформды өзгерісіне қатысты инвариантты болып табылады: егер екі метрика қандай да бір оң скалярлық функция арқылы байланысты болса, онда . 2 және 3 өлшемде Вейль тензоры жоғалады, бірақ 4-ші немесе одан жоғары өлшемдерде Вейль тензоры нөлдік емес болуы мүмкін. Тұрақты қисықтығы бар кеңістікте Вейль тензоры нөлге тең. Сонымен қатар, метрика Евклид метрикасына жергілікті түрде конформды болса және тек сонда ғана.
In dimensions 2 and 3 the Weyl tensor vanishes, but in 4 or more dimensions the Weyl tensor can be non zero. For a manifold of constant curvature, the Weyl tensor is zero. Moreover, if and only if the metric is locally conformal to the Euclidean metric.
Риччи ыдырау
Жеке-жеке, Вейль тензоры мен Риччи тензоры әдетте толық қисықтық тензорын анықтамайды, бірақ Риман қисықтық тензорын Вейль бөлігіне және Риччи бөлігіне жіктеуге болады. Бұл жіктелу Риччи жіктелуі деп аталады және Римандық көптүрліліктердің конформальды геометриясында маңызды рөл атқарады. Атап айтқанда, егер метрика конформальды коэффициентпен қайта өлшенсе, онда Риман қисықтық тензоры (0, 4) тензоры ретінде өзгеріп, келесідей болады: мұнда Кулькарни-Номизу көбейтіндісін, ал Hess – Гессианды білдіреді.
where denotes the Kulkarni–Nomizu product and Hess is the Hessian.