Введение

более элементарное обсуждение

В математике, в частности в дифференциальной геометрии, бесконечно малая геометрия римановых многообразий размерности больше 2 слишком сложна для описания одним числом в заданной точке. Риманн предложил абстрактный и строгий способ определения кривизны для этих многообразий, который теперь известен как тензор кривизны Римана. Аналогичные понятия нашли применение повсеместно в дифференциальной геометрии поверхностей и других объектов. Кривизна псевдориманова многообразия может быть выражена тем же способом с незначительными изменениями.

Тензор кривизны Вейла

Тензор кривизны Вейля имеет те же симметрии, что и тензор кривизны Римана, но с одним дополнительным ограничением: его след (в том смысле, как он используется при определении кривизны Риччи) должен быть равен нулю. Тензор Вейля инвариантен относительно конформного преобразования метрики: если две метрики связаны соотношением для некоторой положительной скалярной функции , то в размерностях 2 и 3 тензор Вейля обращается в нуль, но в 4 и более размерностях тензор Вейля может быть ненулевым. Для многообразия с постоянной кривизной тензор Вейля равен нулю. Более того, тензор Вейля равен нулю тогда и только тогда, когда метрика локально конформна евклидовой метрике.

Распад Риччи

Хотя тензор Вейля и тензор Риччи по отдельности, как правило, не определяют полный тензор кривизны, тензор кривизны Римана можно разложить на часть Вейля и часть Риччи. Это разложение известно как разложение Риччи и играет важную роль в конформной геометрии римановых многообразий. В частности, его можно использовать для доказательства того, что если метрика перемасштабирована с помощью конформного фактора , то тензор кривизны Римана преобразуется следующим образом (рассматриваемый как тензор (0, 4)):

где обозначает произведение Кулькарни — Номизу, а Hess — гессиан.