Кіріспе
Векторлық кеңістікті қамтитын "ең кіші" коммутативтік алгебра. Математикада, К өрісі бойынша V векторлық кеңістігіндегі S(V) симметриялық алгебрасы – К өрісі бойынша V-ні қамтитын коммутативтік алгебра, және белгілі бір мағынада осы қасиет үшін минималды. Мұнда "минималды" дегеніміз, S(V) келесі әмбебап қасиетті қанағаттандырады: V-ден A коммутативтік алгебрасына кез келген сызықтық бейнелеу f үшін, S(V) → A гомоморфизмінің бірегей g бар, мұндағы i – V-нің S(V-ге енгізілу бейнелеуі және 1 = f = g ∘ i. Егер B, V-нің базасы болса, симметриялық алгебра S(V) каноникалық изоморфизм арқылы K[B] полиномдық сақинасына изоморфты болады, мұнда B элементтері белгісіз шамалар ретінде қарастырылады. Сондықтан, V үстіндегі симметриялық алгебраны V үстіндегі "координаттарсыз" полиномдық сақина деп қарастыруға болады. Симметриялық алгебра S(V) тензорлық алгебра T(V)-нің x ⊗ y − y ⊗ x түріндегі элементтермен туындаған екі жақты идеалға бөлу арқылы құрылуы мүмкін. Осы анықтамалар мен қасиеттердің бәрі V, коммутативтік сақинадағы модуль (қажетті түрде еркін емес) болған жағдайда табиғи түрде кеңейтіледі.
In mathematics, the symmetric algebra S(V) (also denoted Sym(V)) on a vector space V over a field K is a commutative algebra over K that contains V, and is, in some sense, minimal for this property. Here, "minimal" means that S(V) satisfies the following universal property: for every linear map f from V to a commutative algebra A, there is a unique algebra homomorphism g : S(V) → A such that 1=f = g ∘ i, where i is the inclusion map of V in S(V). If B is a basis of V, the symmetric algebra S(V) can be identified, through a canonical isomorphism, to the polynomial ring K[B], where the elements of B are considered as indeterminates. Therefore, the symmetric algebra over V can be viewed as a "coordinate free" polynomial ring over V.
The symmetric algebra S(V) can be built as the quotient of the tensor algebra T(V) by the two sided ideal generated by the elements of the form x ⊗ y − y ⊗ x. All these definitions and properties extend naturally to the case where V is a module (not necessarily a free one) over a commutative ring.
Тензорлық алгебрадан
Тензорлық алгебра T(V) симметриялық алгебра S(V) сипаттау үшін қолданылуы мүмкін. Шындығында, S(V) T(V)-нің коммутаторлармен туындаған екі жақты идеалға қатысты фактор-алгебра ретінде анықталуы мүмкін. Нәтижедегі алгебраның кіріспеде көрсетілген әмбебап қасиетті қанағаттандыратынын тексеру оңай. Тензорлық алгебраның әмбебап қасиетіне сәйкес, V-тен коммутативті алгебра A-ға жүзеге асырылатын f сызықтық бейнелеуі, A коммутативті болғандықтан S(V) арқылы факторланатын алгебралық гомоморфизмге дейін кеңейтіледі. f-ті алгебралық гомоморфизмге кеңейту V, S(V)-ді K-алгебра ретінде тудыратындықтан бірегей. Бұл сондай-ақ категория теориясының жалпы нәтижесінен тікелей шығады, ол екі сол жақ қосымша функтордың композициясы да сол жақ қосымша функтор болып табылады деп мәлімдейді. Мұнда коммутативті алгебралардан векторлық кеңістіктерге немесе модульдерге (көбейтуді ұмытып) ұмыту функторы, коммутативті алгебралардан ассоциативті алгебраларға (көбейтуді ұмытып) және ассоциативті алгебралардан векторлық кеңістіктерге немесе модульдерге (көбейтуді ұмытып) ұмыту функторларының композициясы болып табылады. Тензорлық алгебра және коммутаторлар бойынша бөлу осы ұмыту функторларына сол жақ қосымша болғандықтан, олардың композициясы коммутативті алгебрадан векторлық кеңістіктерге немесе модульдерге ұмыту функторына сол жақ қосымша болады, бұл қажетті әмбебап қасиетті дәлелдейді.
It is straightforward to verify that the resulting algebra satisfies the universal property stated in the introduction. Because of the universal property of the tensor algebra, a linear map f from V to a commutative algebra A extends to an algebra homomorphism , which factors through S(V) because A is commutative. The extension of f
to an algebra homomorphism is unique because V generates S(V) as a K algebra. This results also directly from a general result of category theory, which asserts that the composition of two left adjoint functors is also a left adjoint functor. Here, the forgetful functor from commutative algebras to vector spaces or modules (forgetting the multiplication) is the composition of the forgetful functors from commutative algebras to associative algebras (forgetting commutativity), and from associative algebras to vectors or modules (forgetting the multiplication). As the tensor algebra and the quotient by commutators are left adjoint to these forgetful functors, their composition is left adjoint to the forgetful functor from commutative algebra to vectors or modules, and this proves the desired universal property.
Көптама сақинасынан
Симметриялық алгебра S(V) полиномиялық сақиналардан да құрылуы мүмкін. Егер V – K векторлық кеңістік немесе B негізі бар K еркін модулі болса, K[B] – B элементтері белгісіздер ретінде болатын полиномиялық сақина болсын. Бірінші дәрежелі гомогенді көптіктер векторлық кеңістік немесе V-мен сәйкес келетін еркін модульді құрайды. Бұл K[B]-ның кіріспеде айтылған әмбебап мәселенің шешімі екенін тексеру оңай. Осыдан K[B] және S(V) канондық түрде изоморфты екені және демек, оларды теңдей аламыз. Бұл сондай-ақ категориялар теориясының жалпы қарастыруларынан тікелей туындайды, себебі еркін модульдер мен полиномиялық сақиналар өздерінің тиісті санаттарындағы еркін объектілер болып табылады. Егер V – еркін емес модуль болса, оны L – еркін модуль және M – L-дің субмодулі ретінде жазуға болады. Бұл жағдайда, M-мен туындаған идеал бар. (Мұндағы теңдік белгілері канондық изоморфизмге дейін теңдікті білдіреді.) Бұл да әмбебап қасиеттің шешімі бар екенін көрсету арқылы дәлелдеуге болады, оны тікелей, бірақ көңіл көтермейтін есептеулер арқылы немесе категориялар теориясын қолдану арқылы, атап айтқанда, бөлшек – белгілі бір ішкі жиынды нөлге бейнелейтін морфизмдер үшін әмбебап мәселенің шешімі екенін пайдалану арқылы іске асыруға болады. (Жағдайда ядро қалыпты кіші топ, кіші модуль немесе идеал болып табылады, ал бөлшектердің әдеттегі анықтамасын әмбебап мәселенің шешімінің бар екенін дәлелдеу ретінде қарастыруға болады.)
where is the ideal generated by M. (Here, equals signs mean equality up to a canonical isomorphism.) Again this can be proved by showing that one has a solution of the universal property, and this can be done either by a straightforward but boring computation, or by using category theory, and more specifically, the fact that a quotient is the solution of the universal problem for morphisms that map to zero a given subset. (Depending on the case, the kernel is a normal subgroup, a submodule or an ideal, and the usual definition of quotients can be viewed as a proof of the existence of a solution of the universal problem.)
Степендеу
Симметриялық алгебра – градуированный алгебра. Яғни, ол тікелей қосынды болып табылады, мұнда V-нің n-ші симметриялық қуаты деп аталатын, V-нің n элементтерінің көбейтіндісімен құрылған векторлық подпространство немесе подмодуль болады. (Екінші симметриялық қуат кейде V-нің симметриялық квадраты деп аталады). Мұны әртүрлі тәсілдермен дәлелдеуге болады. Бірі тензорлық алгебраның құрылысынан келіп шығады: тензорлық алгебра градуированный болғандықтан, ал симметриялық алгебра оның біртекті идеалға бөлінуімен анықталады: яғни, x және y V-де жатқан барлық элементтермен туындаған идеал, бірінші дәрежеде біртекті. Векторлық кеңістік немесе еркін модуль жағдайында, градуировка – полиномдардың толық дәрежесі бойынша градуировка. Еркін емес модульді L / M түрінде жазуға болады, мұнда L – B базасының еркін модулі; оның симметриялық алгебрасы L (полиномдық сақина) симметриялық алгебрасының (градуированный) M элементтерімен құрылған біртекті идеалға бөлінуінің нәтижесі болып табылады, бұл элементтер бірінші дәрежеде біртекті. Сондай-ақ, V-ден векторлық кеңістікке немесе модульге n сызықтық симметриялық функциялардың универсалдық мәселесінің шешімі ретінде анықтауға болады, содан кейін барлық тікелей қосынды симметриялық алгебраның универсалдық мәселесін қанағаттандыратындығын тексеруге болады.
where called the nth symmetric power of V, is the vector subspace or submodule generated by the products of n elements of V. (The second symmetric power is sometimes called the symmetric square of V). This can be proved by various means. One follows from the tensor algebra construction: since the tensor algebra is graded, and the symmetric algebra is its quotient by a homogeneous ideal: the ideal generated by all where x and y are in V, that is, homogeneous of degree one. In the case of a vector space or a free module, the gradation is the gradation of the polynomials by the total degree. A non free module can be written as L / M, where L is a free module of base B; its symmetric algebra is the quotient of the (graded) symmetric algebra of L (a polynomial ring) by the homogeneous ideal generated by the elements of M, which are homogeneous of degree one. One can also define as the solution of the universal problem for n linear symmetric functions from V into a vector space or a module, and then verify that the direct sum of all satisfies the universal problem for the symmetric algebra.
Симметриялық тензорлармен байланыс
Векторлық кеңістіктің симметриялық алгебрасы тензорлық алгебраның бөлігі болғандықтан, симметриялық алгебраның элементі тензор емес, әсіресе, симметриялық тензор емес. Дегенмен, симметриялық тензорлар симметриялық алгебрамен тығыз байланысты. n дәрежелі симметриялық тензор – симметриялық топтың әрекетіне қатысты инвариант болып табылатын элемент. Нақтырақ айтқанда, берілген трансформация А-ның сызықтық эндоморфизмін анықтайды. n дәрежелі симметриялық тензорлар векторлық субкеңістік (немесе модуль) құрайды. Симметриялық тензорлар – градуирленген векторлық кеңістік (немесе градуирленген модуль) болатын тікелей қосындының элементтері. Бұл алгебра емес, себебі екі симметриялық тензордың тензорлық көбейтіндісі, әдетте, симметриялық болмайды. Егер жер өрісінде (немесе сақинада) n! инверттендірілсе, онда канондық сюръекцияның шектеуі изоморфизм болады. Бұл нөлдік сипаттамасы бар жер өрісі үшін әрқашан орындалады. Кері изоморфизм – симметриялау арқылы анықталатын сызықтық бейнелеу (n вектордың көбейтінділерінде). Егер сипаттама n+1-ден кем болса, онда бейнелеу инъективті емес; мысалы, екінің сипаттамасында бұл нөлге тең. Нөлдік сипаттамасы бар сақинада сюръективті болмауы мүмкін; мысалы, егер x және y – 2V-ге жатпайтын екі сызықтық тәуелсіз элемент болса, онда бүтін сандар астында…
The map is not injective if the characteristic is less than n+1; for example is zero in characteristic two. Over a ring of characteristic zero, can be non surjective; for example, over the integers, if x and y are two linearly independent elements of that are not in 2V, then since
In summary, over a field of characteristic zero, the symmetric tensors and the symmetric algebra form two isomorphic graded vector spaces. They can thus be identified as far as only the vector space structure is concerned, but they cannot be identified as soon as products are involved. Moreover, this isomorphism does not extend to the cases of fields of positive characteristic and rings that do not contain the rational numbers.
Қорытындылай айтқанда, нөлдік сипаттамасы бар өріс үстінде симметриялық тензорлар мен симметриялық алгебра екі изоморфты градуирленген векторлық кеңістік құрайды. Осылайша, оларды тек векторлық кеңістік құрылымы тұрғысынан сәйкестендіруге болады, бірақ көбейтінділерге қатысты сәйкестендіруге болмайды. Сонымен қатар, бұл изоморфизм оң сипаттамасы бар өрістерге және рационал сандарды қамтымайтын сақиналарға қолданылмайды.
The map is not injective if the characteristic is less than n+1; for example is zero in characteristic two. Over a ring of characteristic zero, can be non surjective; for example, over the integers, if x and y are two linearly independent elements of that are not in 2V, then since
In summary, over a field of characteristic zero, the symmetric tensors and the symmetric algebra form two isomorphic graded vector spaces. They can thus be identified as far as only the vector space structure is concerned, but they cannot be identified as soon as products are involved. Moreover, this isomorphism does not extend to the cases of fields of positive characteristic and rings that do not contain the rational numbers.
Афиналық кеңістіктің симметриялық алгебрасы
Адам аффиндік кеңістікте симметриялық алгебраны ұқсас түрде құрастыра алады. Басты айырмашылық – аффиндік кеңістіктің симметриялық алгебрасы градуирленген алгебра емес, сүзгіленген алгебра болып табылады: аффиндік кеңістіктегі полиномның дәрежесін анықтауға болады, бірақ оның гомогенді бөліктерін анықтау мүмкін емес. Мысалы, векторлық кеңістікте берілген сызықтық полиномның тұрақты бөлігін 0-ге мән беру арқылы анықтауға болады. Ал аффиндік кеңістікте ерекше нүкте болмайды, сондықтан мұны істеуге болмайды (нүкте таңдау аффиндік кеңістікті векторлық кеңістікке айналдырады).
Хопф алгебрасы ретінде
Симметриялық алгебра Хопф алгебрасының құрылымын алуға болады. Толығырақ ақпарат үшін Тензорлық алгебраға қараңыз.
Жалпыға ортақ алгебра ретінде
Симметриялық алгебра S(V) — нөлдік Ли қабылдағышымен абельдік Ли алгебрасының әмбебап орау алгебрасы, яғни Ли қабылдағышы толығымен 0-ге тең болатын алгебра.