Введение
Наименьшая коммутативная алгебра, содержащая векторное пространство
В математике симметричная алгебра S(V) (также обозначаемая Sym(V)) над векторным пространством V над полем K является коммутативной алгеброй над K, содержащей V, и в некотором смысле минимальной по этому свойству. Здесь "минимальная" означает, что S(V) удовлетворяет следующему универсальному свойству: для любого линейного отображения f из V в коммутативную алгебру A существует единственный алгебраический гомоморфизм g : S(V) → A такой, что f = g ∘ i, где i — отображение включения V в S(V). Если B — базис V, то симметричную алгебру S(V) можно отождествить, посредством канонического изоморфизма, с кольцом многочленов K[B], где элементы B рассматриваются как переменные. Следовательно, симметричную алгебру над V можно рассматривать как "не зависящее от координат" полиномиальное кольцо над V.
Симметричную алгебру S(V) можно построить как фактор-алгебру тензорной алгебры T(V) по двустороннему идеалу, порожденному элементами вида x ⊗ y − y ⊗ x. Все эти определения и свойства естественным образом распространяются на случай, когда V является модулем (не обязательно свободным) над коммутативным кольцом.
Из тензорной алгебры
Можно использовать тензорную алгебру T(V) для описания симметричной алгебры S(V). Фактически, S(V) можно определить как фактор-алгебру T(V) по двустороннему идеалу, порожденному коммутаторами. Прямо проверить, что полученная алгебра удовлетворяет универсальному свойству, сформулированному во введении. Благодаря универсальному свойству тензорной алгебры, линейное отображение f из V в коммутативную алгебру A расширяется до алгебраического гомоморфизма, который факторизуется через S(V), поскольку A коммутативна. Расширение f до алгебраического гомоморфизма единственно, так как V порождает S(V) как K-алгебру. Это также непосредственно следует из общего результата теории категорий, утверждающего, что композиция двух левых сопряженных функторов также является левым сопряженным функтором. Здесь забывающий функтор из коммутативных алгебр в векторные пространства или модули (забывающий умножение) является композицией забывающих функторов из коммутативных алгебр в ассоциативные алгебры (забывающих коммутативность) и из ассоциативных алгебр в векторные пространства или модули (забывающих умножение). Поскольку тензорная алгебра и фактор по коммутаторам являются левыми сопряженными к этим забывающим функторам, их композиция является левым сопряженным к забывающему функтору из коммутативной алгебры в векторные пространства или модули, что и доказывает требуемое универсальное свойство.
It is straightforward to verify that the resulting algebra satisfies the universal property stated in the introduction. Because of the universal property of the tensor algebra, a linear map f from V to a commutative algebra A extends to an algebra homomorphism , which factors through S(V) because A is commutative. The extension of f
to an algebra homomorphism is unique because V generates S(V) as a K algebra. This results also directly from a general result of category theory, which asserts that the composition of two left adjoint functors is also a left adjoint functor. Here, the forgetful functor from commutative algebras to vector spaces or modules (forgetting the multiplication) is the composition of the forgetful functors from commutative algebras to associative algebras (forgetting commutativity), and from associative algebras to vectors or modules (forgetting the multiplication). As the tensor algebra and the quotient by commutators are left adjoint to these forgetful functors, their composition is left adjoint to the forgetful functor from commutative algebra to vectors or modules, and this proves the desired universal property.
Из кольца многочленов
Симметричную алгебру S(V) также можно построить из колец многочленов. Если V – векторное пространство над K или свободный модуль над K с базисом B, обозначим K[B] кольцом многочленов, элементами которого являются переменные (неопределенные). Однородные многочлены первой степени образуют векторное пространство или свободный модуль, который можно отождествить с V. Легко проверить, что это делает K[B] решением универсальной задачи, сформулированной во введении. Это означает, что K[B] и S(V) канонически изоморфны и, следовательно, могут быть отождествлены. Это также непосредственно следует из общих соображений теории категорий, поскольку свободные модули и кольца многочленов являются свободными объектами в соответствующих категориях. Если V – модуль, который не является свободным, его можно представить в виде V = L/M, где L – свободный модуль, а M – подмодуль L. В этом случае, S(V) = K[B]/I, где I – идеал, порожденный M. (Здесь знаки равенства означают равенство с точностью до канонического изоморфизма). Это также можно доказать, показав, что существует решение универсального свойства, что можно сделать либо прямым, но утомительным вычислением, либо с помощью теории категорий, а точнее, факта, что фактор-модуль является решением универсальной задачи для морфизмов, отображающих заданное подмножество в ноль. (В зависимости от случая ядро является нормальной подгруппой, подмодулем или идеалом, и обычное определение фактор-модулей можно рассматривать как доказательство существования решения универсальной задачи.)
where is the ideal generated by M. (Here, equals signs mean equality up to a canonical isomorphism.) Again this can be proved by showing that one has a solution of the universal property, and this can be done either by a straightforward but boring computation, or by using category theory, and more specifically, the fact that a quotient is the solution of the universal problem for morphisms that map to zero a given subset. (Depending on the case, the kernel is a normal subgroup, a submodule or an ideal, and the usual definition of quotients can be viewed as a proof of the existence of a solution of the universal problem.)
Классификация
Симметрическая алгебра — это градуированная алгебра. То есть, она является прямой суммой
где , называемая n-й симметричной степенью V, — это векторное подпространство или подмодуль, порожденный произведениями n элементов V. (Вторая симметричная степень иногда называется симметричным квадратом V). Это можно доказать различными способами. Один из них вытекает из построения тензорной алгебры: поскольку тензорная алгебра градуирована, а симметрическая алгебра является ее фактор-алгеброй по однородному идеалу – идеалу, порожденному всеми , где x и y принадлежат V, то есть однородными элементами степени один. В случае векторного пространства или свободного модуля градуировка соответствует градуировке многочленов по полной степени. Несвободный модуль можно представить в виде L / M, где L — свободный модуль с базисом B; его симметрическая алгебра является фактор-алгеброй (градуированной) симметрической алгебры L (полиномиального кольца) по однородному идеалу, порожденному элементами M, которые однородны степени один. Также можно определить как решение универсальной задачи для n линейных симметричных функций из V в векторное пространство или модуль, а затем проверить, что прямая сумма всех удовлетворяет универсальной задаче для симметрической алгебры.
Связь с симметричными тензорами
Поскольку симметричная алгебра векторного пространства является фактор-алгеброй тензорной алгебры, элемент симметричной алгебры не является тензором и, в частности, не является симметричным тензором. Однако симметричные тензоры тесно связаны с симметричной алгеброй. Симметричный тензор степени n – это элемент, инвариантный относительно действия симметрической группы. Точнее, для заданного преобразование определяет линейный эндоморфизм. Симметричный тензор – это тензор, инвариантный относительно всех этих эндоморфизмов. Симметричные тензоры степени n образуют векторное подпространство (или модуль). Симметричные тензоры являются элементами прямой суммы, которая является градуированным векторным пространством (или градуированным модулем). Это не алгебра, поскольку тензорное произведение двух симметричных тензоров не является симметричным в общем случае. Пусть – ограничение к канонической проекции. Если n! обратимо в базовом поле (или кольце), то является изоморфизмом. Это всегда верно для базового поля характеристики ноль. Обратный изоморфизм – это линейное отображение, определяемое (на произведениях n векторов) симметризацией.
Отображение не является инъективным, если характеристика меньше n+1; например, оно равно нулю в характеристике два. Над кольцом характеристики ноль, может быть не сюръективным; например, над целыми числами, если x и y – два линейно независимых элемента, не принадлежащих 2V, то, поскольку.
В итоге, над полем характеристики ноль симметричные тензоры и симметричная алгебра образуют два изоморфных градуированных векторных пространства. Таким образом, их можно отождествить, насколько это касается только векторной структуры, но нельзя отождествить, как только речь идет о произведениях. Более того, этот изоморфизм не распространяется на случаи полей положительной характеристики и колец, не содержащих рациональных чисел.
Симметрическая алгебра аффинного пространства
Можно аналогично построить симметричную алгебру на аффинном пространстве. Ключевое отличие состоит в том, что симметричная алгебра аффинного пространства является не градуированной, а фильтрованной алгеброй: степень многочлена на аффинном пространстве можно определить, но выделить однородные компоненты – нет. Например, для линейного многочлена на векторном пространстве его постоянную часть можно определить, вычислив значение в точке 0. На аффинном пространстве нет выделенной точки, поэтому это сделать нельзя (выбор точки превращает аффинное пространство в векторное).
Как алгебра Хопфа
Симметричной алгебре можно придать структуру алгебры Хопфа. Подробности смотрите в статье «Тензорная алгебра».
Как универсальная алгебра
Симметричная алгебра S(V) является универсальной огибающей алгеброй абелевой алгебры Ли, то есть алгебры, в которой скобка Ли тождественно равна нулю.