Математикадағы фон Нейман болжамы: еркін топтар мен қабылдамалы емес топтар аракатынасы. 1980 ж. бұл болжам дұрыс емес екені дәлелденді. Топтар теориясы.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Математикада фон Нейманның болжамы G тобының қабылдамауы мүмкін екенін, егер және тек қана G құрамында екі генератордағы еркін топ болатын кіші топ болса ғана айтады. Бұл болжам 1980 жылы жоққа шығарылды. 1929 жылы Банах–Тарский парадоксы бойынша жұмыс істеген кезде Джон фон Нейман қабылдамалы топтар ұғымын анықтап, ешбір қабылдамалы топтың 2-дәрежелі еркін кіші тобы болмайтынын көрсетті. Керісінше, барлық қабылдамауы мүмкін топтар екі генератордағы еркін кіші топты қамтиды деген ұсынысты 1950 және 1960 жылдары бірнеше авторлар жасады. Фон Нейманның есімі бұл болжаммен байланысты болғанымен, оның алғашқы жазбада кездесетін түрі 1957 жылы Махлон Марш Дэйге қатысты болып көрінеді. Титс альтернативасы – маңызды теорема, ол әсіресе сызықтық топтар класындағы болжамды растайды. Тарихи тұрғыдан алғанда, алғашқы қарсы мысал – Томпсонның F тобы. Оның қабылдамалылығы әлі де ашық мәселе болып табылады, бірақ жалпы болжам 1980 жылы Александр Ольшанский тарапынан жалған екені дәлелденді; ол өзі құрастырған Тарски монстр тобының, олардың 2-дәрежелі еркін кіші топтары жоқ екені анық, қабылдамалы емес екенін көрсетті. Екі жылдан кейін Сергей Адиан кейбір Бёрнсайд топтарының да қарсы мысалдар екенін көрсетті. Бұл қарсы мысалдардың ешқайсысы шекті түрде берілмейді, және бірнеше жыл бойы болжам шекті түрде берілген топтар үшін дұрыс болуы мүмкін деп есептелді. Алайда, 2003 жылы Александр Ольшанский мен Марк Сапир болжамды қанағаттандырмайтын шекті түрде берілген топтар жиынтығын көрсетті. 2013 жылы Николас Монод болжамға қарсы қарапайым мысал тапты. Сызықтың бөліктік проективтік гомеоморфизмдерімен берілген топты түсіну өте оңай. Ол қабылдамалы болмаса да, қабылдамалы топтардың көптеген белгілі қасиеттерін тікелей бөліседі. 2013 жылы Яш Лодха мен Джастин Тэтч Мур Монод тобының шекті түрде берілген, қабылдамауы мүмкін кіші тобын анықтады. Бұл бірінші бұрмалы жоқ, шекті түрде берілген қарсы мысал, және 3 генератор мен 9 қатынаспен берілуге мүмкіндік береді. Кейін Лодха бұл топтың жақсырақ шектілік қасиеттің қасиетін қанағаттандыратынын көрсетті.
In mathematics, the von Neumann conjecture stated that a group G is non amenable if and only if G contains a subgroup that is a free group on two generators. The conjecture was disproved in 1980. In 1929, during his work on the Banach–Tarski paradox, John von Neumann defined the concept of amenable groups and showed that no amenable group contains a free subgroup of rank 2. The suggestion that the converse might hold, that is, that every non amenable group contains a free subgroup on two generators, was made by a number of different authors in the 1950s and 1960s. Although von Neumann's name is popularly attached to the conjecture, its first written appearance seems to be due to Mahlon Marsh Day in 1957. The Tits alternative is a fundamental theorem which, in particular, establishes the conjecture within the class of linear groups. The historically first potential counterexample is Thompson group F. While its amenability is a wide open problem, the general conjecture was shown to be false in 1980 by Alexander Ol'shanskii; he demonstrated that Tarski monster groups, constructed by him, which are easily seen not to have free subgroups of rank 2, are not amenable. Two years later, Sergei Adian showed that certain Burnside groups are also counterexamples. None of these counterexamples are finitely presented, and for some years it was considered possible that the conjecture held for finitely presented groups. However, in 2003, Alexander Ol'shanskii and Mark Sapir exhibited a collection of finitely presented groups which do not satisfy the conjecture. In 2013, Nicolas Monod found an easy counterexample to the conjecture. Given by piecewise projective homeomorphisms of the line, the group is remarkably simple to understand. Even though it is not amenable, it shares many known properties of amenable groups in a straightforward way. In 2013, Yash Lodha and Justin Tatch Moore isolated a finitely presented non amenable subgroup of Monod's group. This provides the first torsion free finitely presented counterexample, and admits a presentation with 3 generators and 9 relations. Lodha later showed that this group satisfies the property , which is a stronger finiteness property.