Гипотеза фон Неймана: история, опровержение и современные контрпримеры.
Von Neumann conjecture
Гипотеза фон Неймана о группах: неамекабельность и свободные подгруппы. Опровергнута в 1980 году. История, определение амекабельных групп, авторы гипотезы.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В математике гипотеза фон Неймана утверждала, что группа G не является податливой, если и только если G содержит подгруппу, являющуюся свободной группой на двух образующих. Гипотеза была опровергнута в 1980 году. В 1929 году, в ходе работы над парадоксом Банаха — Тарского, Джон фон Нейман определил понятие податливых групп и показал, что ни одна податливая группа не содержит свободную подгруппу ранга 2. Предположение о том, что обратное может быть верным, то есть, что каждая не податливая группа содержит свободную подгруппу на двух образующих, было высказано рядом различных авторов в 1950-х и 1960-х годах. Хотя имя фон Неймана обычно связывают с этой гипотезой, её первое письменное упоминание, по-видимому, принадлежит Махлону Маршу Дэйю в 1957 году. Альтернатива Титса — это фундаментальная теорема, которая, в частности, устанавливает справедливость гипотезы для класса линейных групп. Первым исторически известным потенциальным контрпримером является группа Томпсона F. Хотя вопрос о её податливости остаётся открытым, общая гипотеза была доказана ложной в 1980 году Александром Ольшанским; он показал, что группы монстров Тарски, построенные им и очевидно не содержащие свободных подгрупп ранга 2, не являются податливыми. Два года спустя Сергей Адян продемонстрировал, что некоторые группы Бернсайда также являются контрпримерами. Ни один из этих контрпримеров не является конечно представленным, и в течение нескольких лет считалось возможным, что гипотеза верна для конечно представленных групп. Однако в 2003 году Александр Ольшанский и Марк Сапир представили набор конечно представленных групп, которые не удовлетворяют гипотезе. В 2013 году Никола Монод нашёл простой контрпример к гипотезе. Эта группа задаётся кусочно-проективными гомеоморфизмами прямой и удивительно проста для понимания. Несмотря на то, что она не является податливой, она во многом разделяет известные свойства податливых групп. В 2013 году Яш Лодха и Джастин Тэтч Мур выделили конечно представленную не податливую подгруппу группы Монода. Это обеспечивает первый контрпример без кручения, допускающий представление с 3 образующими и 9 определяющими соотношениями. Позднее Лодха показал, что эта группа удовлетворяет свойству , которое является более сильным свойством конечности.
In mathematics, the von Neumann conjecture stated that a group G is non amenable if and only if G contains a subgroup that is a free group on two generators. The conjecture was disproved in 1980. In 1929, during his work on the Banach–Tarski paradox, John von Neumann defined the concept of amenable groups and showed that no amenable group contains a free subgroup of rank 2. The suggestion that the converse might hold, that is, that every non amenable group contains a free subgroup on two generators, was made by a number of different authors in the 1950s and 1960s. Although von Neumann's name is popularly attached to the conjecture, its first written appearance seems to be due to Mahlon Marsh Day in 1957. The Tits alternative is a fundamental theorem which, in particular, establishes the conjecture within the class of linear groups. The historically first potential counterexample is Thompson group F. While its amenability is a wide open problem, the general conjecture was shown to be false in 1980 by Alexander Ol'shanskii; he demonstrated that Tarski monster groups, constructed by him, which are easily seen not to have free subgroups of rank 2, are not amenable. Two years later, Sergei Adian showed that certain Burnside groups are also counterexamples. None of these counterexamples are finitely presented, and for some years it was considered possible that the conjecture held for finitely presented groups. However, in 2003, Alexander Ol'shanskii and Mark Sapir exhibited a collection of finitely presented groups which do not satisfy the conjecture. In 2013, Nicolas Monod found an easy counterexample to the conjecture. Given by piecewise projective homeomorphisms of the line, the group is remarkably simple to understand. Even though it is not amenable, it shares many known properties of amenable groups in a straightforward way. In 2013, Yash Lodha and Justin Tatch Moore isolated a finitely presented non amenable subgroup of Monod's group. This provides the first torsion free finitely presented counterexample, and admits a presentation with 3 generators and 9 relations. Lodha later showed that this group satisfies the property , which is a stronger finiteness property.