Кіріспе
Алгебралық түр
Сандар теориясы мен алгебралық геометрияда модульдік қисық Y(Γ) – комплекс жоғарғы жарты жазықтығы H-ның конгруэнттік топшасы Γ әрекеті арқылы құралған Риман беті немесе сәйкес алгебралық қисық. Модульдік қисық термині X(Γ) тығыздалған модульдік қисықтарын білдіру үшін де қолданылады, олар осы бөлігіне (ұзартылған комплекс жоғарғы жарты жазықтықтағы әрекет арқылы) шекті сандағы нүктелерді (Γ-ның құйрықтары деп аталады) қосу арқылы алынған тығыздалулар. Модульдік қисықтың нүктелері эллиптік қисықтардың изоморфизм кластарын және Γ тобына байланысты қосымша құрылымды параметрлейді. Бұл түсіндірме модульдік қисықтардың күрделі сандарға сілтеме жасамай, таза алгебралық тұрғыдан анықтама беруге және модульдік қисықтардың рационал сандар Q өрісінде немесе циклотомдық өріс Q(ζn) үстінде анықталатынын дәлелдеуге мүмкіндік береді. Бұл фактінің өзі және оның жалпыламалары сандар теориясында маңызды рөл атқарады.
In number theory and algebraic geometry, a modular curve Y(Γ) is a Riemann surface, or the corresponding algebraic curve, constructed as a quotient of the complex upper half plane H by the action of a congruence subgroup Γ of the modular group of integral 2×2 matrices SL(2, Z). The term modular curve can also be used to refer to the compactified modular curves X(Γ) which are compactifications obtained by adding finitely many points (called the cusps of Γ) to this quotient (via an action on the extended complex upper half plane). The points of a modular curve parametrize isomorphism classes of elliptic curves, together with some additional structure depending on the group Γ. This interpretation allows one to give a purely algebraic definition of modular curves, without reference to complex numbers, and, moreover, prove that modular curves are defined either over the field of rational numbers Q or a cyclotomic field Q(ζn). The latter fact and its generalizations are of fundamental importance in number theory.
Талдаулық анықтама
Модульдік топ SL(2, Z) жоғарғы жарты жазықтықта бөлшекті сызықтық түрлендірулер арқылы әрекет етеді. Модульдік қисықтың аналитикалық анықтамасы SL(2, Z) -дің Γ конгруэнттік кіші тобын таңдауды қамтиды, яғни, қандай да бір оң бүтін сан N үшін N деңгейінің басты конгруэнттік кіші тобын қамтитын кіші топ. Мұндай N-нің ең кіші мәні Γ деңгейі деп аталады. Γ\H бөлігіне күрделі құрылым қою арқылы модульдік қисық деп аталатын, тығыз емес Риман бетін алуға болады, және ол әдетте Y(Γ) деп белгіленеді.
The minimal such N is called the level of Γ. A complex structure can be put on the quotient Γ\H to obtain a noncompact Riemann surface called a modular curve, and commonly denoted Y(Γ).
Ұрпағы
X(N) → X(1) жабуы Галуа, Галуа тобы SL(2, N) / {1, −1}, ал N жай сан болса, PSL(2, N)-ге тең. Риманн-Хурвиц формуласы мен Гаусс-Бонне теоремасын қолдану арқылы X(N) генін есептеуге болады. p ≥ 5 жай деңгейі үшін,
мұнда χ = 2 − 2g – Эйлер сипаттамасы, |G| = (p+1)p(p−1)/2 – PSL(2, p) тобының реті, ал D = π − π/2 − π/3 − π/p – сфералық (2,3,p) үшбұрышының бұрыштық кемістігі. Бұл формулаға әкеледі:
Осылайша, X(5)-тің гені 0, X(7)-нікі 3, ал X(11)-нікі 26. p = 2 немесе 3 болған жағдайда, тармақталуды, яғни PSL(2, Z)-де p реті бар элементтердің болуын, сондай-ақ PSL(2, 2)-нің реті 3-ке емес, 6-ға тең екенін қосымша ескеру қажет. N деңгейінің кез келген N үшін модульдік қисық X(N)-нің генін анықтауға арналған, N-нің бөлгіштерін қамтитын күрделі формула бар.
0-жынысы
Жалпы, модульдік функция өрісі модульдік қисықтың (немесе кейде басқа модульдік кеңістіктің) функция өрісі болып табылады. Нөлдік родтағы функция өрісі генератор ретінде бір трансценденттік функцияны қамтиды: мысалы, j функциясы X(1) = PSL(2, Z)\H* функция өрісін тудырады. Мұндай генератордың дәстүрлі атауы, ол Мёбиус түрлендіруіне дейін бірегей және тиісті түрде нормаландырылуы мүмкін, – Hauptmodul (негізгі немесе бас модульді функция, көпше түрі Hauptmoduln). X1(n) кеңістіктері n = 1, 2, 10 және n = 12 үшін нөлдік родқа ие. Бұл қисықтардың әрқайсысы Q арқылы анықталған және Q рационалды нүктесі болғандықтан, әр қисықта шексіз көп рационалды нүктелер бар, демек, осы n мәндері үшін Q арқылы анықталған шексіз көп эллиптік қисықтар n-бұрылысқа ие. n-нің тек осы мәндері ғана мүмкін деген кері тұжырым – Мазурдың бұрылыс теоремасы.
Монстр тобымен байланыс
0-ші текті модульді қисықтар, өте сирек кездесетін, айшықты айшықты болжамдармен байланыста маңызды рөл атқарады. Олардың Хауптмодульдерінің q-көбейтулерінің алғашқы коэффициенттері 19-шы ғасырда есептелген, бірақ дәл сол үлкен бүтін сандар ең ірі спорадикалық қарапайым топ – Монстр тобының өкілдіктерінің өлшемдері ретінде пайда болғанда, бұл оқиға болды. Тағы бір байланыс – SL(2, R)-дегі Γ0(p) нормализаторы Γ0(p)+-қа сәйкес модульдік қисық, егер және тек қана p-нің мәні 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 немесе 71 болса, ғана нөл текті болады, және бұл Монстр тобының ретінің алғашқы көбейткіштерімен сәйкес келеді. Γ0(p)+ туралы нәтиже 1970-ші жылдарда Жан-Пьер Серр, Эндрю Огг және Джон Г. Томпсонға тиесілі, ал одан кейін Огг осы фактіні түсіндіре алатын әркімге Джек Дэниелс вискиінің бөтелкесін сыйға тарту туралы мақала жазды, бұл монстрлық айшықтың теориясының бастапқы нүктесі болды. Бұл байланыс өте терең, және Ричард Борчердс көрсеткендей, ол жалпыланған Кац-Муди алгебраларын да қамтиды. Бұл саладағы жұмыстар, модульдік формалардың, барлық жерде голоморфты болып табылатын және оның ішінде полюстерге ие бола алатын, мероморфты модульдік функциялардың маңыздылығын атап көрсетті, және 20-шы ғасырдың көп бөлігінде олар зерттеудің негізгі нысаны болды.