Введение
Алгебраическое многообразие
В теории чисел и алгебраической геометрии модульная кривая Y(Γ) — это поверхность Римана или соответствующая алгебраическая кривая, построенная как фактор сложной верхней полуплоскости H по действию конгруэнтной подгруппы Γ модульной группы целочисленных матриц 2×2 SL(2, ℤ). Термин «модульная кривая» также может использоваться для обозначения компактифицированных модульных кривых X(Γ), которые являются компактификациями, полученными добавлением конечного числа точек (называемых куспидами Γ) к этому фактору (через действие на расширенной сложной верхней полуплоскости). Точки модульной кривой параметризуют классы изоморфизма эллиптических кривых вместе с некоторой дополнительной структурой, зависящей от группы Γ. Эта интерпретация позволяет дать чисто алгебраическое определение модульных кривых, не ссылаясь на комплексные числа, и, более того, доказать, что модульные кривые определены либо над полем рациональных чисел ℚ, либо над циклотомическим полем ℚ(ζₙ). Последний факт и его обобщения имеют фундаментальное значение в теории чисел.
In number theory and algebraic geometry, a modular curve Y(Γ) is a Riemann surface, or the corresponding algebraic curve, constructed as a quotient of the complex upper half plane H by the action of a congruence subgroup Γ of the modular group of integral 2×2 matrices SL(2, Z). The term modular curve can also be used to refer to the compactified modular curves X(Γ) which are compactifications obtained by adding finitely many points (called the cusps of Γ) to this quotient (via an action on the extended complex upper half plane). The points of a modular curve parametrize isomorphism classes of elliptic curves, together with some additional structure depending on the group Γ. This interpretation allows one to give a purely algebraic definition of modular curves, without reference to complex numbers, and, moreover, prove that modular curves are defined either over the field of rational numbers Q or a cyclotomic field Q(ζn). The latter fact and its generalizations are of fundamental importance in number theory.
Аналитическое определение
Модульная группа SL(2, ℤ) действует на верхней полуплоскости дробно-линейными преобразованиями. Аналитическое определение модулярной кривой включает в себя выбор конгруэнтной подгруппы Γ группы SL(2, ℤ), то есть подгруппы, содержащей главную конгруэнтную подгруппу уровня N для некоторого положительного целого числа N, которая определяется как
Минимальное такое N называется уровнем Γ. На факторпространстве Γ\ℍ можно ввести комплексную структуру, чтобы получить некомпактную поверхность Римана, называемую модулярной кривой, и обычно обозначаемую Y(Γ).
Род
Покрытие X(N) → X(1) является Галуасовым, с группой Галуаса SL(2, N) / {1, −1}, которая равна PSL(2, N), если N – простое число. Применяя формулу Римана — Гурвица и теорему Гаусса — Бонне, можно вычислить род X(N). Для простого уровня p ≥ 5,
где χ = 2 − 2g – характеристика Эйлера, |G| = (p+1)p(p−1)/2 – порядок группы PSL(2, p), а D = π − π/2 − π/3 − π/p – угловой дефект сферического (2,3,p)-треугольника. Это приводит к формуле
Таким образом, X(5) имеет род 0, X(7) имеет род 3, а X(11) имеет род 26. Для p = 2 или 3 необходимо дополнительно учитывать ветвление, то есть наличие элементов порядка p в PSL(2, Z), и тот факт, что PSL(2, 2) имеет порядок 6, а не 3. Существует более сложная формула для рода модульной кривой X(N) любого уровня N, которая включает делители N.
Род 0
В общем случае модульное поле функций — это поле функций модулярной кривой (или, изредка, некоторого другого модулярного пространства, которое оказывается неприводимым многообразием). Род ноль означает, что такое поле функций имеет единственный трансцендентный генератор: например, функция j генерирует поле функций X(1) = PSL(2, Z)\H*. Традиционным названием такого генератора, который уникален с точностью до преобразования Мёбиуса и может быть соответствующим образом нормализован, является Хауптмодуль (главная или основная модулярная функция, множественное число Хауптмодули). Пространства X1(n) имеют род ноль для n = 1, 2, 10 и n = 12. Поскольку каждая из этих кривых определена над Q и имеет Q-рациональную точку, следует, что на каждой такой кривой существует бесконечно много рациональных точек, и, следовательно, бесконечно много эллиптических кривых, определенных над Q с n-кручением для этих значений n. Обратное утверждение, что только эти значения n могут встречаться, является теоремой о кручении Мазура.
Отношения с группой Монстров
Модульные кривые рода 0, которые встречаются довольно редко, оказались чрезвычайно важны в связи с гипотезами о чудовищном лунном свете. Первые несколько коэффициентов q-разложений их хауптмодулей были вычислены ещё в XIX веке, но стало неожиданностью, что те же самые большие целые числа появляются как размерности представлений наибольшей спорадической простой группы Monster. Другая связь заключается в том, что модульная кривая, соответствующая нормализатору Γ₀(p)⁺ группы Γ₀(p) в SL(2, ℝ), имеет род ноль тогда и только тогда, когда p равно 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 или 71, и это как раз простые множители порядка группы монстров. Результат о Γ₀(p)⁺ был получен Жаном-Пьером Серром, Эндрю Оггом и Джоном Г. Томпсоном в 1970-х годах, а последующее наблюдение, связывающее это с группой монстров, принадлежит Оггу, который опубликовал статью, предлагая бутылку виски Jack Daniel’s тому, кто сможет объяснить этот факт, что послужило отправной точкой для теории чудовищного лунного света. Эта связь очень глубока и, как показал Ричард Борчердс, включает также обобщённые алгебры Каца — Муди. Работы в этой области подчеркнули важность модульных функций, которые мероморфны и могут иметь полюса в куспидах, в отличие от модульных форм, голоморфных во всех точках, включая куспиды, которые на протяжении большей части XX века были основными объектами изучения.