Кіріспе
Математикадағы ішінара шешілмеген мәселе. Функционалдық талдау саласындағы инвариантты кіші кеңістік мәселесі – күрделі Банах кеңістігіндегі әрбір шектелген оператордың кейбір тривиалды емес жабық кіші кеңістікке өзін-өзі бейнелеуіне қатысты толық шешілмеген сұрақ. Мәселенің көптеген түрлері шектелген операторлар класын шектеу арқылы немесе Банах кеңістіктерінің нақты класын анықтау арқылы шешілген. Алайда, бұл мәселе бөлінетін Хилберт кеңістіктері үшін әлі де ашық күйде (яғни, қазіге дейін табылған тривиалды емес инвариантты кіші кеңістіктері жоқ операторлардың барлық мысалдары бөлінетін Хилберт кеңістігіне изоморф емес Банах кеңістігінде әрекет ететін операторлар болып табылады).
In the field of mathematics known as functional analysis, the invariant subspace problem is a partially unresolved problem asking whether every bounded operator on a complex Banach space sends some non trivial closed subspace to itself. Many variants of the problem have been solved, by restricting the class of bounded operators considered or by specifying a particular class of Banach spaces. The problem is still open for separable Hilbert spaces (in other words, each example, found so far, of an operator with no non trivial invariant subspaces is an operator that acts on a Banach space that is not isomorphic to a separable Hilbert space).
Тарих
Проблема 20 ғасырдың ортасында Бёрлинг пен фон Нейманның жұмысынан кейін қойылған сияқты, олар компакт операторлар жағдайы үшін оң шешім тапты (бірақ жарияламады). Содан кейін Пол Халмос бұл мәселені операторлар үшін қойды, мұнда компакт. Бұл мәселе, полиномдық компакт операторлардың (яғни, бір қандай да бір дұрыс таңдалған нөлдік емес полином үшін компакт оператор болатын операторлардың) жалпы класы үшін Ален Р. Бернштейн мен Абрахам Робинсон 1966 жылы оңтайлы шешілді (дәлелдің қысқаша мазмұнына қараңыз). Банах кеңістіктері үшін инварианттық субкеңістігі жоқ оператордың алғашқы мысалын Пер Энфло жасады. Ол 1975 жылы инварианттық субкеңістік мәселесіне қарсы мысал келтірді және 1976 жылы оның жоспарын жариялады. Энфло толық мақаланы 1981 жылы тапсырды, бірақ мақаланың күрделілігі мен көлемі оның жариялануын 1987 жылға дейін кешіктірді. Энфлоның ұзақ "қолжазбасы математиктер арасында кеңінен таралды". Энфлоның жұмысы, мысалы, Бозамидің ықпалымен, инварианттық субкеңістігі жоқ оператордың ұқсас құрылымын жасауға түрткі болды, ол Энфлоның идеяларын мойындады. 2023 жылдың мамырында Энфлоның препринті arXiv-те пайда болды, егер дұрыс болса, ол Хилберт кеңістіктері үшін мәселені шешеді және толық картинаны аяқтайды.
Нақты анықтама
Формальды түрде, өлшемдері > 1 болатын күрделі Банах кеңістігі үшін инвариантты кіші кеңістік мәселесі – әрбір шектелген сызықтық оператордың тривиалды емес жабық инвариантты кіші кеңістігі бар ма деген сұрақ: , және , бір-бірінен өзгеше болатын жабық сызықтық кіші кеңістік. Мәселеге теріс жауап беру орбиталардың қасиеттерімен тығыз байланысты. Егер Банах кеңістігінің элементі болса, оператордың әрекетімен туындаған орбитасы , – бұл реттілікпен құрылған кіші кеңістік. Бұл сондай-ақ оператормен құрылған циклдік кіші кеңістік деп аталады. Анықтамасы бойынша , инвариантты кіші кеңістік болып табылады. Сонымен қатар, ол : қамтитын ең кішкентай инвариантты кіші кеңістік болып табылады; егер басқа инвариантты кіші кеңістік болса, онда барлық үшін міндетті түрде ( себебі инвариантты) және егер нөлден өзгеше болса, онда оған тең емес, сондықтан оның жабылуы не бүкіл кеңістік (мұндай жағдайда – циклдік вектор деп аталады), не тривиалды емес инвариантты кіші кеңістік болады. Сондықтан, инвариантты кіші кеңістік мәселесіне қарсы мысал Банах кеңістігі және шектелген оператор болар еді, онда нөлдік емес әрбір вектор циклдік вектор болып табылады (мұнда Банах кеңістігіндегі оператор үшін «циклдік вектор» дегеніміз – орбитасы тығыз болатын векторды білдіреді).
A negative answer to the problem is closely related to properties of the orbits If is an element of the Banach space , the orbit of under the action of , denoted by , is the subspace generated by the sequence This is also called the cyclic subspace generated by From the definition it follows that is a invariant subspace. Moreover, it is the minimal invariant subspace containing : if is another invariant subspace containing , then necessarily for all (since is invariant), and so If is non zero, then is not equal to , so its closure is either the whole space (in which case is said to be a cyclic vector for ) or it is a non trivial invariant subspace. Therefore, a counterexample to the invariant subspace problem would be a Banach space and a bounded operator for which every non zero vector is a cyclic vector for (Where a "cyclic vector" for an operator on a Banach space means one for which the orbit of is dense in .)