Введение

Частично нерешенная проблема в математике

В области математики, известной как функциональный анализ, проблема инвариантного подпространства — это частично нерешенная проблема, спрашивающая, отображает ли каждый ограниченный оператор в комплексном банаховом пространстве некоторое нетривиальное замкнутое подпространство на себя. Многие варианты этой проблемы были решены путем ограничения класса рассматриваемых ограниченных операторов или указания конкретного класса пространств Банаха. Проблема остается открытой для сепарабельных пространств Гильберта (иными словами, каждый найденный на данный момент пример оператора, не имеющего нетривиальных инвариантных подпространств, является оператором, действующим в банаховом пространстве, не изоморфном сепарабельному пространству Гильберта).

История

Проблема, по-видимому, была сформулирована в середине 20-го века после работ Берлинга и фон Неймана, которые нашли (но не опубликовали) положительное решение для случая компактных операторов. Затем Пол Халмос поставил её для случая операторов, таких что является компактным. Это было утвердительно решено для более общего класса полиномиально компактных операторов (операторов, таких что является компактным оператором для некоторого подходящего ненулевого полинома) Алленом Р. Бернштейном и Абрахамом Робинсоном в 1966 году (см. для обзора доказательства). Для банаховых пространств Пер Энфло построил первый пример оператора без инвариантного подпространства. Он предложил контрпример к проблеме инвариантных подпространств в 1975 году, опубликовав набросок в 1976 году. Энфло представил полную статью в 1981 году, и её сложность и объём задержали публикацию до 1987 года. Длинная "рукопись Энфло широко распространялась среди математиков". Работы Энфло вдохновили на аналогичную конструкцию оператора без инвариантного подпространства, например, Бозами, который признал влияние идей Энфло. В мае 2023 года на arXiv появился препринт Энфло, который, в случае его верности, решает проблему для гильбертовых пространств и завершает общую картину.

Точные сведения

Формально, инвариантная подпространственная задача для комплексного пространства Банаха размерности > 1 заключается в вопросе о том, имеет ли каждый ограниченный линейный оператор нетривиальное замкнутое инвариантное подпространство: замкнутое линейное подпространство , отличное от {0} и от , такое что отрицательный ответ на эту задачу тесно связан со свойствами орбит. Если является элементом пространства Банаха , то орбитой под действием , обозначаемой , называется подпространство, порожденное последовательностью . Это также называется циклическим подпространством, порожденным . Из определения следует, что является инвариантным подпространством. Более того, это минимальное инвариантное подпространство, содержащее : если является другим инвариантным подпространством, содержащим , то обязательно для всех (поскольку инвариантно), и, следовательно, если ненулевое, то не равно {0}, поэтому его замыкание является либо всем пространством (в этом случае говорят, что является циклическим вектором для ) либо нетривиальным инвариантным подпространством. Таким образом, контрпример к инвариантной подпространственной задаче будет состоять из пространства Банаха и ограниченного оператора, для которых каждый ненулевой вектор является циклическим вектором (где "циклический вектор" для оператора на пространстве Банаха означает вектор, для которого орбита плотна в ).