Кіріспе
Гильбер кеңістіктеріндегі компактты гермиттік операторлардың өзіндік мәндерінің вариациялық сипаттамасы. Сызықтық алгебра және функционалдық анализде min-max теоремасы, вариациялық теорема немесе Курант-Фишер-Вейлдің min-max принципі – Гильбер кеңістіктеріндегі компактты гермиттік операторлардың өзіндік мәндерінің вариациялық сипаттамасын беруші нәтиже. Оны көптеген ұқсас нәтижелердің бастапқы нүктесі деп қарастыруға болады. Бұл мақалада алдымен шекті өлшемді жағдай және оның қолданылулары, содан кейін шексіз өлшемді Гильбер кеңістіктеріндегі компактты операторлар қарастырылады. Біз компактты операторлар үшін негізгі теореманың дәлелі шекті өлшемді аргументтен алынған бірдей идеяға негізделетінін көреміз. Егер оператор гермиттік болмаса, теорема байланысты сингулярлық мәндердің эквивалентті сипаттамасын ұсынады. Min-max теоремасын төменнен шектелген өз-өзіне қосымша операторларға дейін кеңейтуге болады.
In linear algebra and functional analysis, the min max theorem, or variational theorem, or Courant–Fischer–Weyl min max principle, is a result that gives a variational characterization of eigenvalues of compact Hermitian operators on Hilbert spaces. It can be viewed as the starting point of many results of similar nature. This article first discusses the finite dimensional case and its applications before considering compact operators on infinite dimensional Hilbert spaces. We will see that for compact operators, the proof of the main theorem uses essentially the same idea from the finite dimensional argument. In the case that the operator is non Hermitian, the theorem provides an equivalent characterization of the associated singular values. The min max theorem can be extended to self adjoint operators that are bounded below.
Матрицалар
A n × n Гермиттік матрица болсын. Көптеген өзіндік мәндерге қатысты вариациялық нәтижелердегідей, Rayleigh–Ritz коэффициенті RA: 'C'^(n) \ {0} → 'R' былай анықталады, мұнда (⋅, ⋅) 'C'^(n) кеңістігіндегі Евклидтік ішкі көбейтіндіні білдіреді. Әрине, өзіндік вектордың Rayleigh коэффициенті – оған сәйкес келетін өзіндік мән. Балама ретінде, Rayleigh–Ritz коэффициентін мынамен алмастыруға болады: Гермиттік матрицалар үшін RA(x) немесе f(x) үздіксіз функциясының мәндер жиыны нақты сандар осындағы [a, b] тұйық аралық болып табылады. Максималды b және минималды a сәйкесінше A матрицасының ең үлкен және ең кіші өзіндік мәндерін көрсетеді. Min-max теоремасы осы фактіні нақтылай түседі.
where (⋅, ⋅) denotes the Euclidean inner product on 'C'^(n). Clearly, the Rayleigh quotient of an eigenvector is its associated eigenvalue. Equivalently, the Rayleigh–Ritz quotient can be replaced by
For Hermitian matrices A, the range of the continuous function RA(x), or f(x), is a compact interval [a, b] of the real line. The maximum b and the minimum a are the largest and smallest eigenvalue of A, respectively. The min max theorem is a refinement of this fact.
Минималь-макс теоремасы
Өлшемі n болатын ішкі өнім кеңістігінде H операторы Гермиттік болсын, оның спектрі кемдеу ретімен реттелген. Спектрге сәйкес бірлік ұзындығы бар ортогональды меншікті векторлар болсын. Спектр ретін кері қайтару арқылы, λ₁ ≥ λ₂ ≥ … ≥ λₙ болады.
Let be the corresponding unit length orthogonal eigenvectors. Reverse the spectrum ordering, so that .
Кошидің үндестіру теоремасы
A симметриялық n × n матрицасын қарастырайық. m × m матрицасы B, мұндағы m ≤ n, егер PAP* = B болатын m өлшемді кеңістікке P ортогональды проекциясы болса, онда A-ның қысқартылуы деп аталады. Кошидің араласу теоремасы:
Теорема. Егер A-ның өзіндік мәндері α1 ≤ … ≤ αn, ал B-нің өзіндік мәндері β1 ≤ … ≤ βj ≤ … ≤ βm болса, онда барлық j ≤ m үшін,
бұл ең кішкентай және ең үлкен мәндер қағидасын қолдану арқылы дәлелденуі мүмкін. βi сәйкес келетін өзіндік вектор bi болсын және Sj – j өлшемді кеңістік болса, онда
min-max қағидасының бірінші бөлігіне сәйкес αj ≤ βj. Екінші жағынан, егер біз былай анықтасақ:
онда соңғы теңсіздік min-max қағидасының екінші бөлігінен туындайды. Егер , онда αj ≤ βj ≤ αj+1, сондықтан бұл теорема араласу теоремасы деп аталады.