Введение

Вариационная характеристика собственных значений компактных эрмитовых операторов на гильбертовых пространствах

В линейной алгебре и функциональном анализе теорема мин-макс, или вариационная теорема, или принцип мин-макс Куранта — Фишера — Вейля, является результатом, дающим вариационную характеристику собственных значений компактных эрмитовых операторов на гильбертовых пространствах. Её можно рассматривать как отправную точку для многих результатов аналогичного типа. В данной статье сначала рассматривается конечномерный случай и его приложения, а затем – компактные операторы на бесконечномерных гильбертовых пространствах. Мы увидим, что для компактных операторов доказательство основной теоремы по существу использует ту же идею, что и в конечномерном случае. Если оператор неэрмитов, теорема предоставляет эквивалентную характеристику соответствующих сингулярных чисел. Теорему мин-макс можно обобщить на самосопряженные операторы, ограниченные снизу.

Матрицы

Пусть A — эрмитова матрица размера n × n. Как и во многих других вариационных результатах, связанных с собственными значениями, рассматривается частное Рэйли — Рица RA: 'C'^(n) \ {0} → 'R', определяемое как

где (⋅, ⋅) обозначает евклидово внутреннее произведение в 'C'^(n). Очевидно, что частное Рэйли для собственного вектора равно соответствующему собственному значению. Эквивалентно, частное Рэйли — Рица можно заменить на

Для эрмитовых матриц A область значений непрерывной функции RA(x), или f(x), является компактным интервалом [a, b] на вещественной прямой. Максимальное значение b и минимальное значение a — это наибольшее и наименьшее собственные значения A соответственно. Теорема мин-макс является уточнением этого факта.

Теорема минимума-максимума

Пусть оператор является эрмитовым на внутреннем произведении с размерностью , при этом его спектр упорядочен по убыванию. Пусть – соответствующие ему ортонормированные собственные векторы. Изменим порядок спектра на восходящий, так что .

Теорема переплетения Коши

Пусть A — симметричная матрица размера n × n. Матрица B размера m × m, где m ≤ n, называется сжатием матрицы A, если существует ортогональная проекция P на подпространство размерности m такая, что PAP* = B. Теорема о чередовании собственных значений Коши утверждает:

Теорема. Если собственные значения A равны α1 ≤ α2 ≤ … ≤ αn, а собственные значения B равны β1 ≤ β2 ≤ … ≤ βm, то для всех j ≤ m,

Это можно доказать, используя принцип максиминов. Пусть βi имеет соответствующий собственный вектор bi, а Sj — j-мерное подпространство. Тогда, согласно первой части принципа максиминов, αj ≤ βj. С другой стороны, если мы определим

где последнее неравенство следует из второй части принципа максиминов. При j = 1, имеем αj ≤ βj ≤ αj+1, отсюда и название — теорема о чередовании собственных значений.