Кіріспе
Конусқа іштей сызылған алтыбұрыштан туындаған үш нүктенің түзу сызықта жатуы туралы теорема. Проективті геометрияда Паскаль теоремасы (кейде «мистикалық алтыбұрыш» деп, латынша hexagrammum mysticum аталады) былай гласиды: егер конусқа кез келген алты нүкте таңдалса (ол эллипс, парабола немесе гипербола болуы мүмкін) және олар кез келген ретпен түзу кесінділерімен жалғастырылып алтыбұрыш құрылса, онда алтыбұрыштың қарама-қарсы жақтарының үш жұбы (қажет болған жағдайда созылғанда) бір түзуде жатқан үш нүктеде қиылысады, бұл түзу алтыбұрыштың Паскаль түзуі деп аталады. Теорема Блез Паскальдың құрметіне аталған. Бұл теорема Эвклид жазықтығында да қолданылады, бірақ қарама-қарсы жақтары параллель болғанда ерекше жағдайларды ескеру үшін тұжырымдаманы түзету қажет. Бұл теорема Папптың (алтыбұрыш) теоремасының жалпылама түрі болып табылады, ол әрбір түзуде үш нүктесі бар екі түзудің дегенеративті конусының ерекше жағдайы.
In projective geometry, Pascal's theorem (also known as the hexagrammum mysticum theorem, Latin for mystical hexagram) states that if six arbitrary points are chosen on a conic (which may be an ellipse, parabola or hyperbola in an appropriate affine plane) and joined by line segments in any order to form a hexagon, then the three pairs of opposite sides of the hexagon (extended if necessary) meet at three points which lie on a straight line, called the Pascal line of the hexagon. It is named after Blaise Pascal. The theorem is also valid in the Euclidean plane, but the statement needs to be adjusted to deal with the special cases when opposite sides are parallel. This theorem is a generalization of Pappus's (hexagon) theorem, which is the special case of a degenerate conic of two lines with three points on each line.
Евклидтік нұсқалар
Паскаль теоремасы проективті жазықтықта ең табиғи түрде қарастырылады, себебі кез келген екі түзу қиылысады және параллель түзулерге ерекше жағдайлар жасаудың қажеті жоқ. Дегенмен, теорема Евклид жазықтығында да қолданылады, бірақ алтыбұрыштың кейбір қарама-қарсы қабырғалары параллель болғанда не болатынын дұрыс түсіну керек. Егер алтыбұрыштың қарама-қарсы қабырғаларының бір жұбы ғана параллель болса, теореманың қорытындысы бойынша, екі қиылысу нүктесі арқылы анықталатын "Паскаль түзуі" алтыбұрыштың параллель қабырғаларына параллель болады. Егер қарама-қарсы екі жұп қабырға параллель болса, онда қарама-қарсы үш жұп қабырға параллель түзулер құрайды және Евклид жазықтығында Паскаль түзуі болмайды (мұндай жағдайда, кеңейтілген Евклид жазықтығының шексіздіктегі түзуі алтыбұрыштың Паскаль түзуі болып табылады).
Байланысты нәтижелер
Паскаль теоремасы – Брайаншон теоремасының полярлық өзара және проективті дуалы. Оны Блез Паскаль 1639 жылы, 16 жасында жазған жазбасында тұжырымдаған және келесі жылы «Essay pour les coniques. Par B. P.» атты брошюра түрінде жариялаған.
Паскаль теоремасы – Кейли-Бахарах теоремасының ерекше жағдайы. Паскаль теоремасының дегенеративті жағдайы (төрт нүкте) қызығушылық тудырады; коника Γ-дағы ABCD нүктелері үшін, кезекті жақтарының қиылысуы, яғни AB ∩ CD, BC ∩ DA, сондай-ақ қарсы төбелердегі (A, C) және (B, D) жанамаларының қиылысуы – төрт нүктеде бір түзудің бойында жатады; жанамалар дегенеративті «жақтар» болып табылады, олар «алтыбұрыш» үстінде екі мүмкін позицияда алынған және сәйкес Паскаль түзуі осы дегенеративті қиылысуды бөліседі. Бұл полюс-поляр қасиетін пайдалану арқылы тәуелсіз түрде дәлелдеуге болады. Егер коника шеңбер болса, онда тағы бір дегенеративті жағдай бойынша үшбұрыштың үш нүктесі, Гергонн үшбұрышының сәйкес жақтарымен қиылысқанда пайда болатын нүктелер, бір түзудің бойында жатады. Коника туралы ерекше мәлімдемелер жасау үшін қажетті ең аз нүктелер саны – алты, өйткені бес нүкте кониканы анықтайды. Бұл теореманың кері теоремасы – Брайкенридж-Маклорин теоремасы, ол 18 ғасырдың британдық математиктері Уильям Брайкенридж және Колин Маклориннің есімімен аталады. Ол мынаны күйейді: егер алтыбұрыштың қарама-қарсы жақтары арқылы өтетін үш жұп түзудің үш қиылысу нүктесі бір түзуде жатса, онда алтыбұрыштың алты төбесі коникада жатады; коника Паппустың теоремасындағыдай дегенеративті болуы мүмкін. Брайкенридж-Маклорин теоремасы Брайкенридж-Маклорин құрылымында қолданылады, ол бес нүктемен анықталған кониканың синтетикалық құрылысы болып табылады, алтыншы нүктені өзгерту арқылы. Теорема 1847 жылы Аугуст Фердинанд Мёбиус тарапынан былайша жалпыланды: 4n + 2 қабырғасы бар көпбұрыш коника бөлігіне сызылған деп есептейік, ал қарама-қарсы қабырғалар жұптары 2n + 1 нүктеде кездесетінше созылады. Егер 2n нүкте бір түзуде жатса, онда соңғы нүкте де сол түзуде болады.
Hexagrammum Mysticum (ағаштан жасалған)
Егер конустық қимаға реті келмей орналасқан алты нүкте берілген болса, оларды алтыбұрыш құрау үшін 60 түрлі тәсілмен жалғастыруға болады, соның нәтижесінде Паскаль теоремасының 60 әртүрлі жағдайы және 60 әртүрлі Паскаль сызығы пайда болады. Бұл 60 сызықтың құрамы "Хексаграммам Мистикум" деп аталады. Томас Киркман 1849 жылы дәлелдегендей, бұл 60 сызықты 60 нүктемен байланыстыруға болады, осындай етіп әр нүкте үш сызықта жатыр, ал әр сызықта үш нүкте болады. Осылайша пайда болған 60 нүкте қазір Киркман нүктелері деп белгілі. Паскаль сызықтары да 20 Штайнер нүктесінен үштен біріне бірдей өтеді. 20 Кейли сызығы бар, олар Штайнер нүктесінен және үш Киркман нүктесінен тұрады. Штайнер нүктелері де 15 Плюкер сызығында төртеуден бірге орналасқан. Бұдан әрі, 20 Кейли сызығы 15 Сальмон нүктелері деп аталатын төртеуден бірге өтеді.
Паскаль теоремасының дегенерациялары
Паскаль теоремасының 5 нүктелі, 4 нүктелі және 3 нүктелі дегенеративті жағдайлары бар. Дегенеративті жағдайда, суретте бұрын байланысты болған екі нүкте формальды түрде бір-бірімен беттеседі және байланыстыратын түзу сызық, біріккен нүктедегі жанамаға айналады. Қосымша схемада келтірілген дегенеративті жағдайларды және шеңбер геометриясы туралы сыртқы сілтемені қараңыз. Паскаль фигураларындағы сәйкес түзулерді шексіз түзулер ретінде таңдағанда, параболалар мен гиперболалар бойынша көптеген қызықты фигуралар пайда болады.