Введение
Теорема о коллинеарности трех точек, порожденных шестиугольником, вписанным в коническое сечение
В проективной геометрии теорема Паскаля (также известная как теорема о мистическом шестиугольнике) утверждает, что если на коническом сечении (которое может быть эллипсом, параболой или гиперболой в соответствующей аффинной плоскости) выбрать шесть произвольных точек и соединить их отрезками прямых в любом порядке, чтобы образовать шестиугольник, то три пары противоположных сторон этого шестиугольника (продолженные при необходимости) пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой, называемой линией Паскаля для данного шестиугольника. Теорема названа в честь Блеза Паскаля. Теорема также справедлива в евклидовой плоскости, однако формулировку необходимо скорректировать для учета особых случаев, когда противоположные стороны параллельны. Эта теорема является обобщением теоремы Паппуса (о шестиугольнике), которая представляет собой частный случай вырожденного конического сечения, образованного двумя прямыми с тремя точками на каждой прямой.
Варианты Евклида
Наиболее естественной средой для теоремы Паскаля является проективная плоскость, поскольку любые две прямые пересекаются, и не требуется делать исключений для параллельных прямых. Однако теорема остаётся справедливой и в евклидовой плоскости, при правильной интерпретации того, что происходит, когда некоторые противоположные стороны шестиугольника параллельны. Если ровно одна пара противоположных сторон шестиугольника параллельна, то заключение теоремы состоит в том, что "линия Паскаля", определяемая двумя точками пересечения, параллельна параллельным сторонам шестиугольника. Если две пары противоположных сторон параллельны, то все три пары противоположных сторон образуют пары параллельных прямых, и в евклидовой плоскости линии Паскаля не существует (в этом случае, линией на бесконечности расширенной евклидовой плоскости является линия Паскаля для данного шестиугольника).
Сопутствующие результаты
Теорема Паскаля является полярным взаимным и проективным дуалом теоремы Брайаншона. Она была сформулирована Блезом Паскалем в записке, написанной в 1639 году, когда ему было 16 лет, и опубликована в следующем году в виде брошюры под названием "Essay pour les coniques. Par B. P.".
Теорема Паскаля является частным случаем теоремы Кейли — Бакараха. Интересен вырожденный случай теоремы Паскаля (четыре точки); для заданных точек A, B, C, D на конической Γ, пересечения противоположных сторон AB ∩ CD, BC ∩ DA, а также пересечения касательных в противоположных вершинах (A, C) и (B, D) коллинеарны; касательные являются вырожденными "сторонами", взятыми в двух возможных положениях на "шестиугольнике", а соответствующая линия Паскаля содержит любую из вырожденных точек пересечения. Это можно доказать независимо, используя свойство полярности. Если коника является окружностью, то другой вырожденный случай утверждает, что для треугольника три точки, являющиеся пересечением стороны с соответствующей стороной треугольника Гергонна, коллинеарны. Шесть — это минимальное количество точек на конике, относительно которых можно делать специальные утверждения, поскольку пять точек определяют конику. Обратной теоремой является теорема Брайкенриджа — Маклорина, названная в честь британских математиков XVIII века Уильяма Брайкенриджа и Колина Маклорина, которая гласит: если три точки пересечения трех пар прямых, проходящих через противоположные стороны шестиугольника, лежат на одной прямой, то шесть вершин шестиугольника лежат на конике; коника может быть вырожденной, как в теореме Паппуса. Теорема Брайкенриджа — Маклорина может быть применена в построении Брайкенриджа — Маклорина, которое представляет собой синтетическое построение коники, определяемой пятью точками, путем варьирования шестой точки. Теорема была обобщена Августом Фердинандом Мёбиусом в 1847 году следующим образом: предположим, что многоугольник с 4n + 2 сторонами вписан в коническое сечение, и противоположные пары сторон продолжены до пересечения в 2n + 1 точках. Тогда, если 2n из этих точек лежат на одной прямой, последняя точка также будет лежать на этой прямой.
Хексаграмммммм Мистикум
Если на коническом сечении заданы шесть неупорядоченных точек, их можно соединить в шестиугольник 60 различными способами, что приводит к 60 различным экземплярам теоремы Паскаля и 60 различным линиям Паскаля. Эта конфигурация из 60 линий называется Hexagrammum Mysticum. Как доказал Томас Киркман в 1849 году, эти 60 линий можно связать с 60 точками таким образом, что каждая точка лежит на трех линиях, а каждая линия содержит три точки. Эти 60 точек теперь известны как точки Киркмана. Линии Паскаля также проходят, по три за раз, через 20 точек Штейнера. Существует 20 линий Кейли, каждая из которых состоит из точки Штейнера и трех точек Киркмана. Точки Штейнера также лежат, по четыре за раз, на 15 линиях Плюккера. Кроме того, 20 линий Кейли проходят, по четыре за раз, через 15 точек, известных как точки Сальмона.
Дегенерации теоремы Паскаля
Существуют 5-точечные, 4-точечные и 3-точечные вырожденные случаи теоремы Паскаля. В вырожденном случае две ранее соединенные точки фигуры формально совпадают, а соединяющая их прямая становится касательной в точке их слияния. См. вырожденные случаи, представленные на добавленной схеме, и внешнюю ссылку о геометрии окружностей. Если выбирать подходящие прямые фигур Паскаля в качестве линий на бесконечности, можно получить множество интересных фигур на параболах и гиперболах.