Кіріспе
Модульдік формалармен байланысты Галуа бейнелерінің қасиеттері туралы нәтиже. Рибе теоремасы (бұрынғыда эпсилондық болжам немесе ε болжам деп аталған) – сандар теориясының бір бөлігі. Ол модульдік формалармен байланысты Галуа бейнелеулерінің қасиеттерін қарастырады. Бұл болжамды Жан-Пьер Серр ұсынды және Кен Рибе дәлелдеді. Бұл дәлел Ферманың соңғы теоремасын (FLT) дәлелдеуге маңызды қадам болды. Серр мен Рибе көрскендей, Танияма-Шимура болжамы (сол кезде оның мәртебесі белгісіз болған) және эпсилондық болжам бірлесіп FLT дұрыс екенін көрсетеді. Математикалық тұрғыдан алғанда, Рибе теоремасы эллиптік қисыққа байланысты Галуа бейнелеуінің белгілі бір қасиеттері болса, онда бұл қисық модульді бола алмайды (яғни, дәл осы бейнелеуді тудыратын модульдік форманың болуы мүмкін емес).
Ribet's theorem (earlier called the epsilon conjecture or ε conjecture) is part of number theory. It concerns properties of Galois representations associated with modular forms. It was proposed by Jean Pierre Serre and proven by Ken Ribet. The proof was a significant step towards the proof of Fermat's Last Theorem (FLT). As shown by Serre and Ribet, the Taniyama–Shimura conjecture (whose status was unresolved at the time) and the epsilon conjecture together imply that FLT is true. In mathematical terms, Ribet's theorem shows that if the Galois representation associated with an elliptic curve has certain properties, then that curve cannot be modular (in the sense that there cannot exist a modular form that gives rise to the same representation).
Айтылым
Егер f – Γ0(qN) деңгейіндегі 2 салмақты жаңа форма болса, яғни q, N-ді бөлмейтін qN деңгейі, онда оның абсолютті түрде ыдырамайтын 2 өлшемді p-модульді Галуа бейнесі ρf,p, q ≠ p болғанда q-да тармақталмайды және шекті жазық болады. Онда N деңгейіндегі g салмақты жаңа формасы бар.
Атап айтқанда, егер E – өткізгіші qN болатын эллиптикалық қисық болса, онда модулярлық теорема qN деңгейіндегі f салмақты жаңа формасы бар екенін кепілдендіреді, сонда f-тың 2 өлшемді p-модульді Галуа бейнесі ρf,p, E-тің 2 өлшемді p-модульді Галуа бейнесі ρE,p-ға изоморфты болады. ρE,p-ға Рибе теоремасын қолдану үшін ρE,p-ның ыдырамайтындығы мен тармақталуын тексеру жеткілікті. Тейт қисығының теориясын қолдану арқылы, ρE,p, q ≠ p болғанда q-да тармақталмайды және p, ΔE минималды дискриминантында q-ның дәрежесіне бөлсе, шекті жазық болатынын дәлелдеуге болады. Онда Рибе теоремасы ρg,p ≈ ρE,p болатын N деңгейіндегі g салмақты жаңа формасы бар екенін білдіреді.
Жазық деңгейін төмендету
Рибе теоремасы кондукторы qN болатын эллиптік қисық Е-ден бастау, N деңгейлі эллиптік қисықтың болуын қамтамасыз етпейді. Сондықтан N деңгейінің жаңа g формасы рационалды Фурье коэффициенттеріне ие болмауы мүмкін, демек ол эллиптік қисық емес, жоғары өлшемді абельдік түрге байланысты болуы мүмкін. Мысалы, Кремона деректер базасындағы 43 × 97 кондукторы және 43^(7) × 97^(3) дискриминанты бар теңдеумен берілген 4171a1 эллиптік қисығы 7 модулі бойынша 97 кондукторы бар эллиптік қисыққа төмендетілмейді. Керісінше, mod p Галуа өкілдігі 97 деңгейлі иррационалды жаңа форма g-нің mod p Галуа өкілдігіне изоморфты. Дегенмен, деңгейі төмендетілген жаңа форманың N деңгейіне қарағанда үлкен p үшін рационалды жаңа форма (мысалы, эллиптік қисық) басқа рационалды жаңа формаға (мысалы, эллиптік қисық) төменгі деңгейге түсуі керек. Атап айтқанда, p ≫ N^(N^(1+ε)) үшін рационалды жаңа форманың mod p Галуа өкілдігі N деңгейлі иррационалды жаңа формаға изоморфты бола алмайды. Сол сияқты, Фрей-Мазур болжамы жеткілікті үлкен p (кондуктор N-ден тәуелсіз) үшін изоморфты mod p Галуа өкілдіктеріне ие эллиптік қисықтар іс жүзінде изогенді болады, демек бірдей кондукторға ие болады. Осылайша, үлкен p (p > 17) үшін рационалды жаңа формалар арасындағы тривиалды емес деңгейді төмендету күтілмейді.
with conductor 43 × 97 and discriminant 43^(7) × 97^(3) does not level lower mod 7 to an elliptic curve of conductor 97. Rather, the mod p Galois representation is isomorphic to the mod p Galois representation of an irrational newform g of level 97. However, for p large enough compared to the level N of the level lowered newform, a rational newform (e. g. an elliptic curve) must level lower to another rational newform (e. g. elliptic curve). In particular for p ≫ N^(N^(1+ε)), the mod p Galois representation of a rational newform cannot be isomorphic to an irrational newform of level N.
Similarly, the Frey Mazur conjecture predicts that for large enough p (independent of the conductor N), elliptic curves with isomorphic mod p Galois representations are in fact isogenous, and hence have the same conductor. Thus non trivial level lowering between rational newforms is not predicted to occur for large p (p > 17).
Салдары
Ферма теңдеуінің көрсеткіші p ≥ 5 болған жағдайда, нөлдік емес бүтін сандар a, b, c үшін шешімі бар деп есептейік. Сәйкес Фрей қисығы Ea^(p), b^(p), c^(p) – ең кіші дискриминанты Δ = 2^(-8) (abc)^(2p) тең эллиптік қисық, ал оның өткізгіші N – abc радикалы, яғни abc-ті бөлетін барлық ерекше жай сандардың көбейтіндісі. Теңдеуді қарапайым түрде қарастырғанда, a, b, c сандарының бірі жұп сан екендігі және демек, N да жұп сан екендігі анық көрінеді. Танияма-Шимура болжамы бойынша E – модулдік эллиптік қисық. N-де a, b, c-ті бөлетін барлық тақ жай сандар ең кіші дискриминант Δ-та p-дәрежеде кездесетіндіктен, Рибет теоремасына сәйкес, p модулі бойынша қайталама деңгейден түсіру барлық тақ жай сандарды өткізгіштен жояды. Бірақ, 2-деңгейде жаңа формалар қалмайды, себебі модулдік қисық X0(2) туысы нөлге тең (ал N деңгейінің жаңа формалары X0(N)-дегі дифференциалдар болып табылады).