Введение
Результат относительно свойств представлений Галуа, связанных с модульными формами. Теорема Рибета (ранее называемая гипотезой эпсилон или гипотезой ε) является частью теории чисел. Она касается свойств представлений Галуа, связанных с модульными формами. Она была сформулирована Жан-Пьером Серром и доказана Кеном Рибе. Доказательство стало важным шагом на пути к доказательству последней теоремы Ферма (FLT). Как показали Серр и Рибе, гипотеза Танияма — Шимура (статус которой на тот момент оставался неясным) и гипотеза эпсилон вместе подразумевают истинность FLT. В математических терминах, теорема Рибета показывает, что если представление Галуа, ассоциированное с эллиптической кривой, обладает определенными свойствами, то эта кривая не может быть модульной (в том смысле, что не существует модульной формы, порождающей то же представление).
Ribet's theorem (earlier called the epsilon conjecture or ε conjecture) is part of number theory. It concerns properties of Galois representations associated with modular forms. It was proposed by Jean Pierre Serre and proven by Ken Ribet. The proof was a significant step towards the proof of Fermat's Last Theorem (FLT). As shown by Serre and Ribet, the Taniyama–Shimura conjecture (whose status was unresolved at the time) and the epsilon conjecture together imply that FLT is true. In mathematical terms, Ribet's theorem shows that if the Galois representation associated with an elliptic curve has certain properties, then that curve cannot be modular (in the sense that there cannot exist a modular form that gives rise to the same representation).
Заявление
Пусть f — новая форма веса 2 на Γ0(qN), то есть уровня qN, где q не делит N, с абсолютно неразложимым 2-мерным представлением Галуа ρf,p по модулю p, неразветвлённым в q при q ≠ p и конечным плоским в p. Тогда существует новая форма g веса 2 уровня N такая, что
В частности, если E — эллиптическая кривая над полем, имеющая проводник qN, то теорема модулярности гарантирует существование новой формы f веса 2 уровня qN, такой что 2-мерное представление Галуа ρf,p от f изоморфно 2-мерному представлению Галуа ρE,p от E. Для применения теоремы Рибета к ρE,p достаточно проверить неразложимость и разветвление ρE,p. Используя теорию кривой Тейт, можно доказать, что ρE,p неразветвлено в q при q ≠ p и конечно плоское в p, если p делит степень, в которой q входит в минимальный дискриминант ΔE. Тогда теорема Рибета влечёт существование новой формы g веса 2 уровня N, такой что ρg,p ≈ ρE,p.
Снижение уровня
Теорема Рибета утверждает, что начало с эллиптической кривой E проводника qN не гарантирует существование эллиптической кривой уровня N, так что новая форма g уровня N может не иметь рациональных коэффициентов Фурье и, следовательно, может быть связана с абелевым многообразием большей размерности, а не с эллиптической кривой. Например, эллиптическая кривая 4171a1 в базе данных Cremona, заданная уравнением с проводником 43 × 97 и дискриминантом 43⁷ × 97³, не понижается по модулю 7 до эллиптической кривой проводника 97. Скорее, представление Галуа по модулю p изоморфно представлению Галуа по модулю p иррациональной новой формы g уровня 97. Однако, если p достаточно велико по сравнению с уровнем N пониженной новой формы, то рациональная новая форма (например, эллиптическая кривая) должна понижаться до другой рациональной новой формы (например, эллиптической кривой). В частности, для p ≫ N^(N^(1+ε)), представление Галуа по модулю p рациональной новой формы не может быть изоморфным иррациональной новой форме уровня N. Аналогично, гипотеза Фрея — Мазура предсказывает, что для достаточно больших p (не зависящих от проводника N) эллиптические кривые с изоморфными представлениями Галуа по модулю p на самом деле изогенны и, следовательно, имеют один и тот же проводник. Таким образом, нетривиальное понижение уровня между рациональными новыми формами не ожидается для больших p (p > 17).
with conductor 43 × 97 and discriminant 43^(7) × 97^(3) does not level lower mod 7 to an elliptic curve of conductor 97. Rather, the mod p Galois representation is isomorphic to the mod p Galois representation of an irrational newform g of level 97. However, for p large enough compared to the level N of the level lowered newform, a rational newform (e. g. an elliptic curve) must level lower to another rational newform (e. g. elliptic curve). In particular for p ≫ N^(N^(1+ε)), the mod p Galois representation of a rational newform cannot be isomorphic to an irrational newform of level N.
Similarly, the Frey Mazur conjecture predicts that for large enough p (independent of the conductor N), elliptic curves with isomorphic mod p Galois representations are in fact isogenous, and hence have the same conductor. Thus non trivial level lowering between rational newforms is not predicted to occur for large p (p > 17).
Последствия
Предположим, что уравнение Ферма с показателем p ≥ 5 имеет решение в ненулевых целых числах a, b, c. Соответствующая кривая Фрея Ea^(p),b^(p),c^(p) является эллиптической кривой, минимальный дискриминант Δ которой равен 2^(-8) (abc)^(2p), а проводник N является радикалом abc, то есть произведением всех различных простых чисел, делящих abc. Элементарное рассмотрение уравнения показывает, что одно из чисел a, b, c четно, а следовательно, и N. По гипотезе Танияма — Симуры, E является модулярной эллиптической кривой. Поскольку все нечетные простые числа, делящие a, b, c и входящие в N, входят в минимальный дискриминант Δ в степени p, то по теореме Рибета повторный спуск по уровням по модулю p удаляет все нечетные простые числа из проводника. Однако новых форм уровня 2 не остается, поскольку род модульной кривой X0(2) равен нулю (а новые формы уровня N являются дифференциалами на X0(N)).