Введение

Топологическое пространство, которое связно.

В топологии и смежных областях математики, связное пространство — это топологическое пространство, которое нельзя представить в виде объединения двух или более непересекающихся непустых открытых подмножеств. Связность — одно из основных топологических свойств, используемых для различения топологических пространств. Подмножество топологического пространства является связным множеством, если оно само является связным пространством, рассматриваемым как подпространство.

Среди связанных, но более строгих условий можно выделить: путь-связность, простую связность и связность. Другое связанное понятие — локальная связность, которая не подразумевает и не вытекает из связности.

Отключенные пространства

Пространство, в котором все компоненты являются одноточечными множествами, называется полноотсоединенным. Связанное с этим свойством, пространство называется полноразделенным, если для любых двух различных элементов x и y из X существуют непересекающиеся открытые множества U, содержащие x, и V, содержащие y, такие что X является объединением U и V. Очевидно, любое полноразделенное пространство полноотсоеждено, но обратное неверно. Например, возьмите две копии рациональных чисел Q, и отождествите их во всех точках, кроме нуля. Полученное пространство с фактортопологией полноотсоеждено. Однако, рассматривая две копии нуля, можно увидеть, что пространство не полноразделено. Фактически, оно даже не хаусдорфово, и условие полноразделенности строго сильнее, чем условие хаусдорфовости.

Связь путей

Путь-связное пространство является более строгим понятием связности, требующим наличия структуры пути. Путь из точки x в точку y в топологическом пространстве X — это непрерывная функция f из единичного интервала [0,1] в X, такая что f(0) = x и f(1) = y. Путь-связная компонента пространства X — это класс эквивалентности точек X относительно отношения эквивалентности, при котором x эквивалентно y, если существует путь из x в y. Пространство X называется путь-связным (или путь-связным, или 1-связным), если оно имеет ровно одну путь-связную компоненту. Для непустых пространств это эквивалентно утверждению, что для любых двух точек x и y в X существует путь, соединяющий их. Зачастую авторы исключают пустое множество из рассмотрения. Любое путь-связное пространство является связным. Обратное утверждение не всегда верно: примеры связных пространств, которые не являются путь-связными, включают расширенную длинную линию и синусоиду тополога. Подмножества действительной прямой связны тогда и только тогда, когда они путь-связны; эти подмножества — это интервалы и лучи. Также, открытые подмножества R или Rⁿ связны тогда и только тогда, когда они путь-связны. Кроме того, связность и путь-связность совпадают для конечных топологических пространств.

Арка связности

Пространство называется дугосвязным или связным дугами, если любые две топологически различимые точки могут быть соединены дугой, являющейся вложением. Каждое пространство Хаусдорфа, которое является путем связным, также является дугосвязным; в более общем случае это верно для пространства Хаусдорфа, в котором каждый образ пути замкнут. Примером пространства, которое является путем связным, но не дугосвязным, служит прямая с двумя началами координат; её две копии могут быть соединены путем, но не дугой. Интуиция, применимая к путем связным пространствам, не всегда переносится на дугосвязные пространства. Пусть – прямая с двумя началами координат. Ниже приведены факты, аналоги которых верны для путем связных пространств, но не верны для дугосвязных пространств:

Непрерывное отображение дугосвязного пространства может не быть дугосвязным: например, факторное отображение из дугосвязного пространства в его фактор по отношению к счетному (не менее 2) множеству топологически различимых точек не может быть дугосвязным из-за слишком малой мощности. Дугосвязные компоненты могут не быть непересекающимися. Например, имеет две перекрывающиеся дугосвязные компоненты. Дугосвязное произведение пространств может не быть произведением дугосвязных пространств. Например, дугосвязно, но – нет. Дугосвязные компоненты произведения пространств могут не быть произведениями дугосвязных компонент факторных пространств. Например, имеет одну дугосвязную компоненту, а – две. Если дугосвязные подмножества имеют непустое пересечение, то их объединение может не быть дугосвязным. Например, дугосвязные компоненты пересекаются, но их объединение не является дугосвязным.

Местные связи

Топологическое пространство называется локально связанным в точке, если каждая окрестность этой точки содержит связанную открытую окрестность. Оно локально связано, если имеет базу, состоящую из связанных множеств. Можно показать, что пространство локально связано тогда и только тогда, когда каждая компонента каждого открытого множества в этом пространстве является открытой. Аналогично, топологическое пространство называется локально полусвязным, если оно имеет базу, состоящую из полусвязных множеств. Открытое подмножество локально полусвязного пространства является связным тогда и только тогда, когда оно полусвязно. Это обобщает предыдущее утверждение о ℝ и ℂ, каждое из которых локально полусвязно. В более общем случае, любое топологическое многообразие локально полусвязно. Локальная связность не подразумевает связность, и локальная полусвязность не подразумевает полусвязность. Простым примером локально связного (и локально полусвязного) пространства, которое не является связным (или полусвязным), является объединение двух непересекающихся интервалов в ℝ, например, [0,1) ∪ [2,3). Классическим примером связного пространства, которое не является локально связным, является так называемая синусоидальная кривая тополога, определяемая как {(x, sin(1/x)) | x > 0}, с евклидовой топологией, индуцированной включением в ℝ².

Операции с набором

Пересечение связных множеств не обязательно связно. Объединение связных множеств не обязательно связно, как видно из рассмотрения. Каждая эллипс является связным множеством, но объединение не связно, так как его можно разбить на два непересекающихся открытых множества и . Это означает, что если объединение несвязно, то исходное семейство множеств можно разбить на два подсемейства, такие что объединения подсемейств непересекаются и открыты в . (см. рисунок). Это подразумевает, что в ряде случаев объединение связных множеств обязательно связно. В частности:

Если непустое пересечение всех множеств не пусто, то очевидно, что их нельзя разбить на подсемейства с непересекающимися объединениями. Следовательно, объединение связных множеств с непустым пересечением связно. Если пересечение каждой пары множеств не пусто, то их также нельзя разбить на подсемейства с непересекающимися объединениями, поэтому их объединение должно быть связным. Если множества можно упорядочить как "связанную цепь", то есть индексировать целыми индексами и , то снова их объединение должно быть связным. Если множества попарно непересекаются, а факторпространство связно, то X должно быть связным. В противном случае, если является разделением X, то является разделением факторпространства (поскольку они непересекаются и открыты в факторпространстве). Разность связных множеств не обязательно связна. Однако, если и их разность несвязна (и, следовательно, может быть записана как объединение двух открытых множеств и ), то объединение с каждой такой компонентой связно (т.е. связно для всех ).

Графики

Графы имеют связные по пути подмножества, то есть те подмножества, для которых существует путь из ребер, соединяющий любую пару точек. Однако не всегда можно найти топологию на множестве точек, которая индуцирует те же самые связные множества. Пятицикл (и любой цикл нечётной длины) является одним из таких примеров. Следовательно, понятие связности можно сформулировать независимо от топологии пространства. А именно, существует категория связных пространств, состоящая из множеств с коллекциями связных подмножеств, удовлетворяющих аксиомам связности; их морфизмами являются функции, отображающие связные множества в связные множества. Топологические пространства и графы являются частными случаями связных пространств; более того, конечные связные пространства – это ровно конечные графы. Однако любой граф можно канонически представить как топологическое пространство, рассматривая вершины как точки, а рёбра – как копии единичного интервала (см. Теория топологических графов, раздел «Графы как топологические пространства»). Тогда можно показать, что граф связен (в смысле теории графов) тогда и только тогда, когда он связен как топологическое пространство.