Кіріспе
Кез келген өлшемдегі гиперкубқа қатысты қос политоп + 2-ден 52-ге дейінгі өлшемдегі қиылыс политоптары шаршы өлшем3 октаэдр4 өлшем16 ұяшық5 өлшем5 ортоплекс Геометрияда қиылыс политопы, гипероктаэдр, ортоплекс немесе кокуб — n өлшемді Евклид кеңістігінде болатын тұрақты, дөңес политоп. 2 өлшемді қиылыс политопы — квадрат, 3 өлшемді қиылыс политопы — тұрақты октаэдр, ал 4 өлшемді қиылыс политопы — 16 ұяшық. Оның жақтары алдыңғы өлшемнің симплекстері, ал қиылыс политопының төбелік фигурасы — алдыңғы өлшемнің тағы бір қиылыс политопы. Қиылыс политопының төбелері әр координата осьтері бойымен бағытталған бірлік векторлары ретінде таңдалуы мүмкін, яғни (±1, 0, 0, …, 0) барлық мүмкін орналасулары. Қиылыс политопы — оның төбелерінен тұратын дөңес қабықша. n өлшемді қиылыс политопы Rn-дегі l1 нормасындағы жабық бірлік шар (немесе кейбір авторлардың пікірінше, оның шекарасы) ретінде де анықталуы мүмкін: 1 өлшемде қиылыс политопы — жай ғана [-1, +1] кесіндісі, 2 өлшемде ол {(±1, 0), (0, ±1)} төбелері бар квадрат (немесе ромб) болып табылады. 3 өлшемде ол — октаэдр — Платон денелері деп аталатын бес дөңес тұрақты полиэдрдің бірі. Бұл (n-1) ортоплекс негізінде бипирамида түрінде жоғары өлшемдерге жалпыланады. Қиылыс политопы гиперкубтың қос политопы болып табылады. n өлшемді қиылыс политопының 1-қаңқасы — Туран графигі T(2n, n) (коктейльдік кеш графигі деп те аталады).
+ Cross polytopes of dimension 2 to 52 dimensionssquare3 dimensionsoctahedron4 dimensions16 cell5 dimensions5 orthoplex
In geometry, a cross polytope, hyperoctahedron, orthoplex, or cocube is a regular, convex polytope that exists in n dimensional Euclidean space. A 2 dimensional cross polytope is a square, a 3 dimensional cross polytope is a regular octahedron, and a 4 dimensional cross polytope is a 16 cell. Its facets are simplexes of the previous dimension, while the cross polytope's vertex figure is another cross polytope from the previous dimension. The vertices of a cross polytope can be chosen as the unit vectors pointing along each co ordinate axis – i. e. all the permutations of (±1, 0, 0, , 0). The cross polytope is the convex hull of its vertices. The n dimensional cross polytope can also be defined as the closed unit ball (or, according to some authors, its boundary) in the ℓ1 norm on Rn:
In 1 dimension the cross polytope is simply the line segment [−1, +1], in 2 dimensions it is a square (or diamond) with vertices {(±1, 0), (0, ±1)}. In 3 dimensions it is an octahedron—one of the five convex regular polyhedra known as the Platonic solids. This can be generalised to higher dimensions with an n orthoplex being constructed as a bipyramid with an (n−1) orthoplex base. The cross polytope is the dual polytope of the hypercube. The 1 skeleton of an n dimensional cross polytope is the Turán graph T(2n, n) (also known as a cocktail party graph ).
4 өлшем
4 өлшемді қиылыс политопы гиксадекахорон немесе 16 ұяшық деп те аталады. Ол алты дөңес тұрақты 4-өлшемді политоптың бірі. Бұл 4 политопты алғаш рет 19 ғасырдың ортасында швейцариялық математик Людвиг Шлефли сипаттаған.