Кіріспе

Посеттер политоптың белгілі бір қасиеттерін көрсетеді. Математикада абстракт политоп – бұл дәстүрлі политоптың диадты қасиеттерін сақтайтын, бірақ нүктелер мен түзулер сияқты таза геометриялық қасиеттерін көрсетпейтін алгебралық ішінара реттелген жиын. Геометриялық политоп – нақты N өлшемді кеңістікте, әдетте Евклид кеңістігінде абстракт политоптың іске асырылуы. Бұл абстракт анықтама политоптың дәстүрлі анықтамаларына қарағанда көбірек жалпы комбинаторлық құрылымдарға мүмкіндік береді, соның арқасында дәстүрлі теорияда баламасы жоқ жаңа объектілер пайда болады.

Дәстүрлі және абстрактілі политоптар

Евклидтік геометрияда ұқсас емес екі пішіннің де ортақ құрылымы болуы мүмкін. Мысалы, квадрат пен трапеция екеуі де кезектесіп орналасқан төрт төбе және төрт қабырғадан тұрады, бұл оларды төртбұрыш жасайды. Олар изоморфты немесе "құрылымды сақтайтын" деп аталады. Осы ортақ құрылымды түбірдегі абстрактілі политоппен көрсетуге болады, ол әртүрлі құрылымдық элементтер арасындағы байланыстардың (немесе оқиғалардың) үлгісін қамтитын таза алгебралық ішінара реттелген жиын. Дәстүрлі политоптардың бұрыштар, қабырға ұзындығы, қисықтық, түзулік және дөңестік сияқты өлшенетін қасиеттері абстрактілі политоп үшін мағынасыз. Дәстүрлі политоптар (классикалық немесе геометриялық политоптар деп те аталады) үшін дұрыс болғаны абстрактілі политоптар үшін дұрыс болмауы мүмкін, және керісінше. Мысалы, дәстүрлі политоп, егер оның барлық жақтары мен төбелік фигуралары дұрыс болса, дұрыс болады, бірақ бұл абстрактілі политоп үшін міндетті емес.

Орындалған жұмыстар

Дәстүрлі политоп – байланысты абстрактілі политоптың іске асырылуы деп аталады. Іске асыру – абстрактілі объектіні нақты кеңістікке, әдетте Евклид кеңістігіне бейнелеу немесе енгізу арқылы дәстүрлі политопты нақты геометриялық фигура ретінде құру. Көрсетілген алты төртбұрыш – абстрактілі төртбұрыштың әрқайсысы өзгеше геометриялық қасиеттері бар жеке іске асырылуы. Олардың кейбіреулері төртбұрыш туралы дәстүрлі анықтамаларға сай келмейді және адал емес іске асырылулар деп есептеледі. Ал, дәстүрлі политоп – адал іске асырылу болып табылады.

Беттер, дәрежелер және реті

Абстрактілі политопта әрбір құрылымдық элемент (төбе, қабырға, жасуша және т.б.) жиынның сәйкес мүшесімен байланысты. Бет термині кез келген осындай элементті білдіреді, мысалы, 0-бет (төбе), 1-бет (қабырға) немесе жалпы k-бет, тек қана көпбұрышты 2-бет емес. Беттер олармен байланысты нақты өлшемдеріне сәйкес реттеледі: төбелер 0-дәрежелі, қабырғалар 1-дәрежелі және т.с.с. Әр түрлі дәрежедегі байланысты беттер, мысалы, қабырға G-нің төбесі F, F < G қатынасымен реттеледі. F, G-нің кіші беті деп аталады. F және G, егер F = G немесе F < G немесе G < F болса, байланысты болады. "Байланыс" терминінің осы қолданылуы шекті геометрияда да кездеседі, бірақ ол дәстүрлі геометриядан және математиканың басқа салаларынан өзгеше. Мысалы, ABCD квадратында AB және BC қабырғалары абстрактілі түрде байланысты емес (бірақ екеуі де B төбесімен байланысты). Политоп – бұл беттер жиыны P, онда < реттік қатынасы бар. Формальды түрде P (<) – (қатаң) ішінара реттелген жиын, яки посет болады.

Ең кіші және ең үлкен бет

Математикада нөл санының қажеттілігі сияқты, әрбір жиынның бос жиын ∅ кіші жиыны болады. Абстрактілі политопта бос жиын конвенция бойынша ең кіші немесе нөлдік жақ ретінде танылады және барлық басқа жақтардың кіші жағы болып табылады. Ең кіші жақ төбелерден немесе 0-жақтан бір деңгей төмен болғандықтан, оның рангі -1-ге тең және оны F−1 деп белгілеуге болады. Осылайша F−1 ≡ ∅ және абстрактілі политоп элемент ретінде бос жиынды да қамтиды. Бұл көбінесе ескерілмейді. Барлық басқа жақтардың кіші жақтары болып табылатын жалғыз жақ та бар. Бұл ең үлкен жақ деп аталады. n өлшемді политопта ең үлкен жақтың рангі = n және оны Fn деп белгілеуге болады. Кейде бұл геометриялық фигураның ішкі бөлігі ретінде көрінеді. Бұл ең кіші және ең үлкен жақтар кейде бұрыс жақтар деп аталады, ал қалғандары дұрыс жақтар болып табылады. ||Жақ

Рангы < 1

Әрбір -1 және 0 дәрежесі үшін тек бір ғана позит бар. Олар тиісінше, бос жақ және нүкте. Бұлар әрқашан абстрактілі политоптардың жарамды түрлері деп есептелмейді.

1-ші қатар: сызық сегменті

1-ші дәрежедегі тек бір политоп бар, ол – түзу кесіндісі. Оның ең кіші жақ, екі 0-жақ және ең үлкен жақ бар, мысалы {ø, a, b, ab}. Осыдан a және b төбелерінің 0-дәрежелі екендігі, ал ең үлкен ab жағының, сонымен қатар, poset-тің де 1-дәрежелі екендігі шығады.

2-ші қатар: көпбұрыш

Әрбір p үшін, 3 ≤ p < ∞, бізде (абстрактілік эквиваленті) p төбесі және p қабырғасы бар дәстүрлі көпбұрыш, яғни p-бұрыш болады. p=3, 4, 5 болғанда үшбұрыш, төртбұрыш, бесбұрыш аламыз.

p=2 болғанда дигон, ал p=∞ болғанда апейрогон аламыз.

Хозогедра және хозотоптары

Дигон хосоэдрмен және жоғары өлшемді хозотоптармен жалпыланады, олардың бәрі шар полиэдрлері ретінде жүзеге асырылуы мүмкін – олар шарды мозаикалайды.

Жобалы политоптар

Дәстүрлі емес абстрактілі көпжақтың төрт мысалы – Хемикуб (көрсетілген), Хеми октаэдр, Хеми додекаэдр және Хеми икосаэдр. Бұл Платон денелерінің проективті аналогтары болып табылады және (жалпы) проективті көпжақты ретінде жүзеге асырылуы мүмкін – олар нақты проективті жазықтықты мозаикалайды. Хемикуб – политопты анықтау үшін төбелік нотацияны қолдануға болмайтын тағы бір мысал, өйткені барлық 2 жақ және 3 жақ бірдей төбелік жиынға ие.

Дуальділік

Әрбір геометриялық политоптың қос туысы болады. Абстрактілі түрде, дуал – бұл сол политоптың өзі, бірақ реті кері ауыстырылған: Хассе диаграммасы тек белгілемелерімен ғана ерекшеленеді. n-политоптағы бастапқы k жақтарының әрқайсысы дуалдағы (n − k − 1) жаққа бейімделеді. Осылайша, мысалы, n жағы (−1) жаққа бейімделеді. Дуалдың дуалы – бастапқы политопқа (изоморфты). Егер политоп өзінің дуалымен бірдей болса, яғни изоморфты болса, онда ол өзіндік дуалды болып табылады. Сондықтан, өзіндік дуалды политоптың Хассе диаграммасы жоғарғы және төменгі жақтарының арасындағы көлденең оске қатысты симметриялық болуы керек. Жоғарыдағы мысалда келтірілген төртбұрышты пирамида – өзіндік дуалды политоп. V төбесіндегі төбелік фигура – V-нің дуалды политопта бейнеленген жағының дуалы болып табылады.

Абстрактілі тұрақты политоптар

Формальды түрде абстрактілі политоп, егер оның автоморфизм тобы өзінің флагтары жиынтығында транзитивті әрекет етсе, "регулярлы" деп анықталады. Атап айтқанда, n политоптың кез келген екі k беті F, G "бірдей", яғни F-ті G-ге бейнелейтін автоморфизм бар. Абстрактілі политоп регулярлы болғанда, оның автоморфизм тобы Кокстер тобының бөлшегіне изоморфты болады. Барлық ≤ 2 рангі бар политоптар регулярлы. Ең танымал регулярлы көпбұрыштар – бес Платондық дене. Гемикуб (суретте көрсетілген) де регулярлы. Формальды емес тұрғыдан, әр k рангі үшін, бұл кез келген k бетін басқадан ажырату мүмкін емес дегенді білдіреді. Беттер бірдей болуы керек, және олардың көршілері де бірдей болуы керек, және т.б. Мысалы, куб регулярлы, себебі оның барлық беттері шаршы, әр шаршының төбелері үш шаршыға жалғастырылған, ал осы шаршылардың әрқайсысы басқа беттердің, қабырғалардың және төбелердің бірдей орналасуына жалғастырылған, және т.б. Осы шарт өзі, кез келген регулярлы абстрактілі политоптың изоморфты регулярлы (n-1) беттері және изоморфты регулярлы төбелік фигуралары бар екенін қамтамасыз ету үшін жеткілікті. Бұл дәстүрлі политоптардың регулярлылығынан әлсіз шарт, себебі ол (геометриялық) симметрия тобына емес, (комбинаторлық) автоморфизм тобына қатысты. Мысалы, кез келген абстрактілі көпбұрыш регулярлы, себебі абстрактілі политоптар үшін бұрыштар, қабырға ұзындығы, қабырға қисықтығы, бұрылыс және т.б. жоқ. Басқа да әлсіз ұғымдар бар, олардың кейбіреулері әлі толық стандартталмаған, мысалы жартылай регулярлы, квазирегулярлы, біркелкі, хиральды және Архимедтік, олар әр рангіде бірдей емес, бірақ олардың барлық беттері бірдей емес политоптарға қолданылады.

Орындалуы

Евклид кеңістігіндегі V нүктелер жиынтығы, абстрактілі политоп P-ның төбелер жиынтығынан сюръекция арқылы жабдықталған және P-ның автоморфизмдері V-нің изометриялық орналасуын тудыратын болса, онда ол абстрактілі политоптың іске асырылуы деп аталады. Егер олардың төбелер жиындары арасындағы табиғи биекция олардың айналасындағы Евклид кеңістіктерінің изометриясымен шақырылса, екі іске асыру сәйкес деп аталады. Егер абстрактілі n политоп n өлшемді кеңістікте іске асырылса, геометриялық орналасу дәстүрлі политоптар үшін ешқандай ережелерді бұзбаса (мысалы, қисық жақтары немесе нөлдік мөлшердегі қырлары болса), онда іске асыру адал деп аталады. Жалпы, кез келген n кеңістігінде адал іске асырыла алатын n дәрежелі абстрактілі политоптардың шектеулі жиынтығы ғана бар. Бұл құбылысты сипаттау әлі де шешілмеген мәселе болып табылады. Егер тұрақты абстрактілі политоп үшін абстрактілі политоптың комбинаторлық автоморфизмдері геометриялық симметриялар арқылы іске асырылса, онда геометриялық фигура тұрақты политоп болады.

Модульдік кеңістік

Абстрактілі политоптың V реализациясының G симметриялар тобы екі шағылыс арқылы туындайды, олардың көбейтіндісі P политопының әр төбесін келесі төбесіне жылдырады. Осы екі шағылыстың көбейтіндісін нөлдік емес трансляция, шекті сандағы айналулар және мүмкін тривиальды шағылыс көбейтіндісі түрінде жіктеуге болады. Әдетте, абстрактілі политоптың реализация модульдік кеңістігі – шексіз өлшемді дөңгелек конус болып табылады. Абстрактілі политоптың реализация конусы санауға келмейтін шексіз алгебралық өлшемге ие және Евклидтік топологияда жабық бола алмайды.

11 және 57-ші камералар

Х. С. М. Коксетер мен Бранко Грунбаум тәуелсіз түрде ашқан 11-ші жасуша – 4-өлшемді абстрактілі политоп. Оның жақтары геми-икосаэдрлерге ұқсас. Оның жақтары сфералардың орнына проекциялық жазықтықтар болғандықтан, 11-ші жасуша әдеттегі мағынада ешқандай манифольдтың тесселяциясы емес. Оның орнына, 11-ші жасуша жергілікті проективті политоп болып табылады. Ол өзіне-өзі дұал және әмбебап: геми-икосаэдрлі жақтары және геми-додекаэдрлі төбелік фигуралары бар жалғыз политоп. 57-ші жасуша да өзіне-өзі дұал, геми-додекаэдрлі жақтары бар. Оны Х. С. М. Коксетер 11-ші жасушаны ашқаннан кейін көп ұзамай тапқан. 11-ші жасуша сияқты, ол да әмбебап, себебі ол геми-додекаэдрлі жақтары және геми-икосаэдрлі төбелік фигуралары бар жалғыз политоп. Екінші жағынан, геми-додекаэдрлі жақтары және Шлефли типі {5,3,5} болатын тағы да көптеген политоптар бар. Геми-додекаэдрлі жақтары және икосаэдрлі (геми-икосаэдрлі емес) төбелік фигуралары бар әмбебап политоп шекті, бірақ өте үлкен, 10006920 жағы және одан жартысы аз төбесі бар.

Жергілікті топология

Құрастыру мәселесі тарихи тұрғыдан жергілікті топология бойынша қарастырылған. Яғни, K және L-ді нақты политоптармен шектеудің орнына, оларға белгілі бір топологиясы бар кез келген политоп болуға рұқсат етіледі, яғни берілген көпқырлы бетке теселяциялайтын кез келген политоп. Егер K және L сфералық болса (яғни, топологиялық сфераның теселяциясы болса), онда P жергілікті түрде сфералық деп аталады және өзі де кейбір көпқырлы беттің теселяциясына сәйкес келеді. Мысалы, егер K және L екеуі де квадраттар болса (демек, топологиялық тұрғыдан шеңберлермен бірдей), P жазықтықтың, тордың немесе Клейн бөтелкесінің квадраттар арқылы теселяциясы болады. n өлшемді көпқырлы беттің теселяциясы шын мәнінде n + 1 дәрежелі политоп болып табылады. Бұл Платон денелері үш өлшемді екендігі туралы жалпы түсінікпен сәйкес келеді, тіпті оларды шардың екі өлшемді бетінің теселяциясы ретінде қарастыруға болады. Жалпы, абстрактілі политоп, егер оның жақтары мен шыңдық фигуралары топологиялық тұрғыдан шарлар немесе X болса, бірақ екеуі де шарлар емес, жергілікті X деп аталады. 11 ұяшықты және 57 ұяшықты 4-ші қатардағы (яғни төрт өлшемді) жергілікті проективті политоптардың мысалы ретінде келтіруге болады, себебі олардың жақтары мен шыңдық фигуралары нақты проективті жазықтықтың теселяциясы болып табылады. Дегенмен, бұл терминологияда бір нашарлық бар. Ол, мысалы, жақтары тори, ал шыңдық фигуралары проективті жазықтықтар болатын политопты сипаттаудың оңай жолын қамтамасыз етпейді. Жағдай одан да нашарлайды, егер әртүрлі жақтардың әртүрлі топологиясы болса немесе ешқандай анықталған топологиясы болмаса. Алайда, жергілікті тороидті тұрақты политоптарды толық жіктеуде үлкен прогресс жасалды.

Тарих

1960 жылдары Бранко Грунбаум геометриялық қауымға ол полистромата деп атаған, тұрақты политоптар ұғымының жалпыламасын қарастыруға шақыру жасады. Ол полистроматалар теориясын дамытып, 11 ұяшықты қоса алғанда, жаңа нысандардың мысалдарын көрсетті. 11 ұяшық – өзіне-өзі дұрыс болатын 4-өлшемді политоп, оның жақтары икосаэдр емес, "жартылай икосаэдр" болып табылады, яғни икосаэдрдің қарама-қарсы жақтарын бір жақ деп есептегенде пайда болатын пішін (Грюнбаум, 1977). Грунбаумның 11 ұяшықты ашқаннан кейін бірнеше жыл өткен соң, Х. С. М. Коксетер 57 ұяшықтың ұқсас политопын тапты (Коксетер 1982, 1984), содан кейін 11 ұяшықты тәуелсіз түрде қайта ашты. Бранко Грунбаум, Х. С. М. Коксетер және Жак Титстің бұрынғы жұмыстары негіз салып, қазір абстрактілі политоптар деп аталатын комбинаторлық құрылымдардың негізгі теориясын алғаш рет Эгон Шульте 1980 жылы докторлық диссертациясында сипаттады. Онда ол «тұрақты инциденттік кешендер» және «тұрақты инциденттік политоптарды» анықтады. Кейіннен ол Питер МакМалленмен бірге теорияның негіздерін зерттеу мақалаларының сериясында дамытты, олар кейіннен кітапқа жинақталды. Содан бері көптеген басқа зерттеушілер де өз үлесін қосты, ал ерте пионерлер (Грунбаум сияқты) Шультенің анықтамасын «дұрыс» деп қабылдады. Осыдан кейін абстрактілі политоптар теориясындағы зерттеулер негізінен тұрақты политоптарға, яғни политоптың флагтар жиынтығындағы автоматты топтары транзитивті әрекет ететін политоптарға бағытталды.