Жоғары симметриялы политоптар

Кіріспе

Симметрияның ең жоғары дәрежесі бар политоп

+ Тұрақты политоп мысалдары Тұрақты бесбұрыш – 5 қабырғасы бар екі өлшемді полигон, Шлефли символымен {5} бейнеленеді. Тұрақты додекаэдр – 12 бесбұрышты жағы бар үш өлшемді полиэдр, Шлефли символымен {5,3} бейнеленеді. Тұрақты 120 ұяшықты полихорон – 120 додекаэдрлі ұяшығы бар төрт өлшемді политоп, Шлефли символы {5,3,3} арқылы бейнеленеді (мұнда Шлегель диаграммасы ретінде көрсетілген). Тұрақты кубтық ұяшық – Шлефли символы {4,3,4} арқылы бейнеленген шексіз үш өлшемді политоп. 8 кубтың 256 төбесі мен 1024 қабырғасы осы ортогональды проекцияда (Петри полигоны) көрсетілуі мүмкін.

Математикада тұрақты политоп – симметрия тобы өз жалаушаларында транзитивті әрекет ететін политоп, осылайша оған симметрияның ең жоғары дәрежесін береді. Атап айтқанда, оның барлық элементтері немесе j жақтары (барлық 0 ≤ j ≤ n үшін, мұнда n – политоптың өлшемі) – жасушалар, жақтар және т.б. – политоптың симметриясына да транзитивті болып табылады және өздері j ≤ n өлшемді тұрақты политоптар болып табылады.

Тұрақты политоптар – кез келген өлшемдегі тұрақты полигондардың (мысалы, квадрат немесе тұрақты бесбұрыш) және тұрақты полиэдрлердің (мысалы, куб) жалпыланған аналогы болып табылады. Тұрақты политоптардың күшті симметриясы оларға математиктерді де, математикамен айналыспайтындарды да қызықтыратын эстетикалық қасиет береді. Классикалық түрде n өлшемді тұрақты политоп тұрақты жақтары ([n–1] жақтары) және тұрақты төбелік фигуралары бар деп анықталады. Бұл екі шарт барлық жақтарының және барлық төбелерінің бірдей болуын қамтамасыз ету үшін жеткілікті. Алайда, бұл анықтама абстрактілі политоптар үшін жұмыс істемейтінін ескеріңіз. Тұрақты политопты Шлефли символымен {a, b, c, …, y, z} пішінде бейнелеуге болады, онда тұрақты жақтары {a, b, c, …, y} және тұрақты төбелік фигуралары {b, c, …, y, z} болады.

Шлефли белгілері

Регулярлы политоптардың қысқаша символдық бейнелеуін Людвиг Шлефли 19 ғасырда жасаған, ал одан сәл өзгертілген түрі стандартқа айналды. Бұл жазу тәсілі бір өлшемді бір-бірлеп қосу арқылы ең жақсы түсіндіріледі. n қабырғасы бар дөңес тұрақты көпбұрыш {n} деп белгіленеді. Демек, теңқабырғалы үшбұрыш {3}, квадрат {4} және т.б. Ортасынан m рет айналатын n қабырғалы тұрақты жұлдызды көпбұрыш {n/m} бөлшектік мәнімен белгіленеді, мұнда n және m өзара жай сандар, сондықтан тұрақты пентаграмма {5/2} болады. Бір төбесіне p беті қосылған {n} беттері бар тұрақты көпжақты {n, p} деп белгілейміз. Тоғыз тұрақты көпжақты {3, 3}, {3, 4}, {4, 3}, {3, 5}, {5, 3}, {3, 5/2}, {5/2, 3}, {5, 5/2} және {5/2, 5} болып табылады. {p} – көпжақтың төбелік фигурасы. {n, p} жасушалары бар, ал бір қабырғаның айналасына q жасуша қосылған 4-өлшемді тұрақты политоп {n, p, q} деп белгіленеді. 4-политоптың төбелік фигурасы {p, q} болып табылады. 5-өлшемді тұрақты политоп {n, p, q, r} түрінде болады. Әрі қарай осылай.

Тәртіпті политоптардың дуалдылығы

Регулярлы политоптың дуалы да регулярлы политоп болып табылады. Дуал политоптың Шлефли символы түпнұсқалық символдың кері жазылуымен анықталады: {3, 3} өзіне дуал, {3, 4} – {4, 3}-қа дуал, {4, 3, 3} – {3, 3, 4}-ке және т.с.с. Регулярлы политоптың төбелік фигурасы – дуал политоптың жағының дуалы. Мысалы, {3, 3, 4} политопының төбелік фигурасы {3, 4} болып табылады, оның дуалы {4, 3} – {4, 3, 3} политопының жасушасы. Кез келген өлшемдегі өлшемдік және қиылыс политоптары бір-біріне дуалды. Егер Шлефли символы палиндром болса, яғни оны алдан да, арттан да бірдей оқуға болса, онда көпбұрыш өзіне дуал болады. Өзіне дуалды регулярлы политоптар: Барлық регулярлы көпбұрыштар, {a}. Барлық регулярлы n симплекстер, {3,3, ,3}. 4 өлшемдегі регулярлы 24 жасуша, {3,4,3}. Үлкен 120 жасуша ({5,5/2,5}) және үлкен жұлдызды 120 жасуша ({5/2,5,5/2}) 4 өлшемде. Барлық n өлшемді регулярлы кубикалық бал ұялары, {4,3, ,3,4}. Бұларды шексіз политоптар ретінде қарастыруға болады. Гиперболалық плиткалар мен бал ұялары (2 өлшемде p>4 болғандағы {p,p} плиткалары, {4,4,4}, {5,3,5}. 3 өлшемде {3,5,3}, {6,3,6} және {3,6,3}, 4 өлшемде {5,3,3,5}, ал 5 өлшемде {3,3,4,3,3}).

Тұрақты қарапайымдар

+ 1 симплекстен 4 симплекске дейінгі графиктер. Сызық сегменті Үшбұрыш Тетраэдр Пентахорон

A нүктесінен бастаңыз. Одан r қашықтықта B нүктесін белгілеп, оларды қосып сызық сегментін құраңыз. Екінші, ортогоналды өлшемде екеуінен r қашықтықта C нүктесін белгілеп, A және B нүктелеріне қосып теңқабырғалы үшбұрыш жасаңыз. Үшінші, ортогоналды өлшемде барлығынан r қашықтықта D нүктесін белгілеп, оларды қосып дұрыс тетраэдр құраңыз. Жоғары өлшемдер үшін де осылай істеңіз. Бұл дұрыс симплекстер немесе симплекстер. Олардың атаулары өлшемдерінің ретімен:

0. Нүкте
1. Сызық сегменті
2. Теңқабырғалы үшбұрыш (дұрыс үшбұрыш)
3. Дұрыс тетраэдр
4. Дұрыс пентахорон немесе 4 симплекс
5. Дұрыс гексатерон немесе 5 симплекс
n симплексінде n+1 төбе бар.

Өлшем политоптары (гиперкубтар)

+ 2 кубтан 4 кубқа дейінгі графиктер. Квадраттық куб тесеракт.

A нүктесінен бастаңыз. Сызықты B нүктесіне r қашықтықта созып, сызық сегментін құру үшін қосыңыз. r ұзындығындағы екінші сызықты AB-ға перпендикуляр, B-ден C-ге және сондай-ақ A-дан D-ге созыңыз, осылайша ABCD квадратын құраңыз. Әр бұрыштан r ұзындығындағы сызықтарды AB және BC-ға (яғни жоғары) перпендикуляр етіп созыңыз. ABCDEFGH кубын құру үшін жаңа E, F, G, H нүктелерін белгілеңіз. Жоғары өлшемдер үшін де осылай істеңіз. Бұл өлшемдік политоптар немесе гиперкубтар. Олардың атаулары өлшемдер тізбесімен:

0. Нүкте
1. Сызық сегменті
2. Квадрат (тұрақты тетрагон)
3. Куб (тұрақты гексаэдр)
4. Тесеракт (тұрақты октахорон) немесе 4 куб
5. Пентаракт (тұрақты декатерон) немесе 5 куб
n кубының 2n төбесі бар.

Крес политоптар (ортоплекстер)

+ 2 орфоплекстен 4 орфоплекске дейінгі графиктің суреті. Квадраттық октаэдр 16 жасушалы

Бір О нүктесінен бастайық. О нүктесінен қарама-қарсы бағытта А және В нүктелеріне дейін r қашықтықта және 2r арақашықтықта сызықтар жүргізіңіз. О-ға ортақталған және AB-ге перпендикуляр 2r ұзындығындағы COD сызығын салыңыз. Сосын ұштарын қосып, АСВД квадратын құраңыз. Сол сияқты, ұзындығы да сол, ортасы О нүктесінде орналасқан, AB және CD-ге (яғни жоғары және төмен) перпендикуляр EOF сызығын салыңыз. Бұл сызықтың ұштарын квадратпен қосып, дұрыс октаэдр жасаңыз. Жоғары өлшемдер үшін де осылай істеңіз. Бұлар – көлденең политоптар немесе ортоплекстер. Олардың өлшемдеріне қарай атаулары:

0. Нүкте
1. Сызық сегменті
2. Квадрат (дұрыс тетрагон)
3. Дұрыс октаэдр
4. Дұрыс гексадекахорон (16 жасушалы) немесе 4 ортоплекс
5. Дұрыс триаконтакаидитерон (Пентакросс) немесе 5 ортоплекс
n ортоплексінде 2n төбе бар.

Жоғары өлшемді политоптар

19 ғасырға дейін швейцариялық математик Людвиг Шлефли жоғары өлшемдегі тұрақты политоптарды зерттеді және сипаттады. Оның еңбектері алғаш рет толықтай 1880 жылы жарияланды, ал оның кейбір бөліктері 1879 және 1880-1900 жылдар аралығында жарияланған болатын. Шлефлидің нәтижелері алты жыл өткен соң кем дегенде тоғыз басқа математикпен тәуелсіз түрде қайта ашылды. Шлефли мұндай фигураны "полисхема" (ағылшын тілінде "polyscheme" немесе "polyschema") деп атады. "Политоп" терминін 1882 жылы Шлефлиді қайта ашқандардың бірі Рейнхольд Хоппе енгізді, ал ағылшын тілінде алғаш рет оны жиырма жылдан кейін Алисия Буль Стотт қолданды. "Полиэдроидтар" термині ертерек әдебиетте де кездеседі (Хилберт, 1952). Шлефлидің және ұқсас нәтижелердің осы уақытқа дейінгі ең толық баспалық өңдеуі болып саналады. Шлефли 4 өлшемде алты тұрақты дөңес политоп бар екенін көрсетті. Олардың бесеуін Платондық денелерге ұқсас деп қарастыруға болады: 4 симплекс (немесе пентахорон) тетраэдрге, гиперкуб (немесе тесеракт) кубқа, 4 ортоплекс (немесе гексадекахорон немесе 16 жасуша) октаэдрге, 120 жасуша додекаэдрге және 600 жасуша икосаэдрге. Алтыншы, 24 жасуша, гиперкуб пен 16 жасуша арасындағы өтпелі форма ретінде қарастырылады, бұл кубоктаэдр мен ромбтық додекаэдрдің куб пен октаэдр арасындағы өтпелі формалары сияқты. Бес және одан да көп өлшемдерде тура үш тұрақты политоп бар, олар тетраэдр, куб және октаэдрге сәйкес келеді: бұл тұрақты симплекстер, өлшемдік политоптар және қиылыс политоптары. Оларды тұрақты политоптар тізімінен табуға болады. Сондай-ақ, Шлефли жартылай ашқан жұлдызды тұрақты 4 политоптары қызығушылық тудырады. 19 ғасырдың аяғында Артур Кейли мен Людвиг Шлефли сияқты математиктер төрт және одан жоғары өлшемдегі тұрақты политоптар теориясын, мысалы, тесеракт пен 24 жасушаны дамытты. Соңғыларын өлшемдік аналогия процесінде елестету қиын (бірақ мүмкін емес емес), өйткені олар төмен өлшемді аналогтарының таныс симметриясын сақтайды. Тесеракт 8 текшелі жасушадан тұрады. Ол параллель гипержазықтықтардағы екі кубтан тұрады, олардың сәйкес келетін төбелері қиылысқан, сондықтан 8 қиылысқан қабырғалары ұзындығы бірдей және әр кубта орналасқан 12+12 қабырғаға перпендикуляр. Екі кубтың сәйкес беттері тесеракттың қалған 6 кубикалық бетін қалыптастыру үшін қосылады. 24 жасуша тесеракттан оның әрбір кубикалық бетінің 8 төбесін қосымша төбемен қосып, пирамиданың төрт өлшемді аналогын қалыптастыру арқылы алынуы мүмкін. Екі фигураны да, басқа да төрт өлшемді фигураларды тікелей бейнелеуге болады және төрт өлшемді стереограммалар арқылы көрсетуге болады. 57 жасуша немесе 11 жасуша сияқты қазіргі заманғы абстрактілі тұрақты политоптарды елестету одан да қиын. Алайда, математикалық тұрғыдан алғанда, бұл нысандар екі және үш өлшемді туыстарымен бірдей эстетикалық қасиеттерге ие. 20 ғасырдың басында тұрақты политоптың анықтамасы мынадай болды. Тұрақты көпбұрыш – бұл барлық қабырғалары тең және барлық бұрыштары тең болатын көпбұрыш. Тұрақты көпжақ – бұл барлық беттері бірдей тұрақты көпбұрыштардан тұратын және шыңдық фигуралары бірдей және тұрақты болатын көпжақ. Осылайша, тұрақты n политоп – бұл (n − 1) өлшемді беттерінің барлығы тұрақты және конгруэнтті, ал шыңдық фигуралары тұрақты және конгруэнтті болатын n өлшемді политоп. Бұл "рекурсивті" анықтама. Ол жоғары өлшемді фигуралардың тұрақтылығын төмен өлшемді тұрақты фигуралар тұрғысынан анықтайды. Сонымен қатар, теңдестірілген (рекурсивті емес) анықтама бар, онда политоп, егер оның симметриясы жеткілікті болса, тұрақты деп есептеледі. n политоп тұрақты болады, егер одан түбір, оны қамтитын қабырға, қабырғаны қамтитын 2 өлшемді бет және т.б. n-1 өлшемге дейін тұратын кез келген жиынтық политоптың симметриясымен кез келген басқа жиынтыққа сәйкестендіріле алатын болса. Мысалы, куб тұрақты, өйткені біз кубтың түбірін, оның үш қабырғасының бірін және қабырғаны қамтитын екі бетінің бірін таңдасақ, онда бұл үштік, яғни желек (түбір, қабырға, бет), кубтың сәйкес симметриясымен кез келген басқа желекке сәйкестендіріле алады. Осылайша, тұрақты политопты өте қысқаша анықтауға болады: тұрақты политоп – бұл симметрия тобы оның желектерінде транзитивті болатын политоп. 20 ғасырда маңызды жаңалықтар жасалды. Классикалық тұрақты политоптардың симметриялық топтары қазір Коксетер топтары деп аталатын топтарға жалпыландырылды. Коксетер топтары кеңістіктің немесе жазықтықтың тұрақты теселяцияларының симметриялық топтарын да қамтиды. Мысалы, шексіз шахмат тақтасының симметрия тобы [4,4] болады.

It was not until the 19th century that a Swiss mathematician, Ludwig Schläfli, examined and characterised the regular polytopes in higher dimensions. His efforts were first published in full in , six years posthumously, although parts of it were published in and Between 1880 and 1900, Schläfli's results were rediscovered independently by at least nine other mathematicians — see for more details. Schläfli called such a figure a "polyschem" (in English, "polyscheme" or "polyschema"). The term "polytope" was introduced by Reinhold Hoppe, one of Schläfli's rediscoverers, in 1882, and first used in English by Alicia Boole Stott some twenty years later. The term "polyhedroids" was also used in earlier literature (Hilbert, 1952). is probably the most comprehensive printed treatment of Schläfli's and similar results to date. Schläfli showed that there are six regular convex polytopes in 4 dimensions. Five of them can be seen as analogous to the Platonic solids: the 4 simplex (or pentachoron) to the tetrahedron, the hypercube (or tesseract) to the cube, the 4 orthoplex (or hexadecachoron or 16 cell) to the octahedron, the 120 cell to the dodecahedron, and the 600 cell to the icosahedron. The sixth, the 24 cell, can be seen as a transitional form between the hypercube and 16 cell, analogous to the way that the cuboctahedron and the rhombic dodecahedron are transitional forms between the cube and the octahedron. In five and more dimensions, there are exactly three regular polytopes, which correspond to the tetrahedron, cube and octahedron: these are the regular simplices, measure polytopes and cross polytopes. Descriptions of these may be found in the list of regular polytopes. Also of interest are the star regular 4 polytopes, partially discovered by Schläfli. By the end of the 19th century, mathematicians such as Arthur Cayley and Ludwig Schläfli had developed the theory of regular polytopes in four and higher dimensions, such as the tesseract and the 24 cell. The latter are difficult (though not impossible) to visualise through a process of dimensional analogy, since they retain the familiar symmetry of their lower dimensional analogues. The tesseract contains 8 cubical cells. It consists of two cubes in parallel hyperplanes with corresponding vertices cross connected in such a way that the 8 cross edges are equal in length and orthogonal to the 12+12 edges situated on each cube. The corresponding faces of the two cubes are connected to form the remaining 6 cubical faces of the tesseract. The 24 cell can be derived from the tesseract by joining the 8 vertices of each of its cubical faces to an additional vertex to form the four dimensional analogue of a pyramid. Both figures, as well as other 4 dimensional figures, can be directly visualised and depicted using 4 dimensional stereographs. Harder still to imagine are the more modern abstract regular polytopes such as the 57 cell or the 11 cell. From the mathematical point of view, however, these objects have the same aesthetic qualities as their more familiar two and three dimensional relatives. At the start of the 20th century, the definition of a regular polytope was as follows. A regular polygon is a polygon whose edges are all equal and whose angles are all equal. A regular polyhedron is a polyhedron whose faces are all congruent regular polygons, and whose vertex figures are all congruent and regular. And so on, a regular n polytope is an n dimensional polytope whose (n − 1) dimensional faces are all regular and congruent, and whose vertex figures are all regular and congruent. This is a "recursive" definition. It defines regularity of higher dimensional figures in terms of regular figures of a lower dimension. There is an equivalent (non recursive) definition, which states that a polytope is regular if it has a sufficient degree of symmetry. An n polytope is regular if any set consisting of a vertex, an edge containing it, a 2 dimensional face containing the edge, and so on up to n−1 dimensions, can be mapped to any other such set by a symmetry of the polytope. So for example, the cube is regular because if we choose a vertex of the cube, and one of the three edges it is on, and one of the two faces containing the edge, then this triplet, known as a flag, (vertex, edge, face) can be mapped to any other such flag by a suitable symmetry of the cube. Thus we can define a regular polytope very succinctly:
A regular polytope is one whose symmetry group is transitive on its flags. In the 20th century, some important developments were made. The symmetry groups of the classical regular polytopes were generalised into what are now called Coxeter groups. Coxeter groups also include the symmetry groups of regular tessellations of space or of the plane. For example, the symmetry group of an infinite chessboard would be the Coxeter group [4,4].

Апеиротоптар шексіз политоптар

XX ғасырдың басында Коксетер мен Петри {4, 6}, {6, 4} және {6, 6} атты үш шексіз құрылымды ашты. Олар бұл құрылымдарды тұрақты қисық полиэдрлер деп атады, себебі олар тұрақты полиэдрлердің анықтамасына сай келеді: барлық төбелері, қабырғалары және жақтары бірдей, барлық бұрыштары тең, ал фигурада ашық қабырғалар жоқ. Бүгінде оларды шексіз полиэдрлер немесе апироэдрлер деп атайды. Жазықтықтағы {4, 4}, {3, 6} және {6, 3} тұрақты мозаикаларын да шексіз полиэдрлер ретінде қарастыруға болады. 1960 жылдары Бранко Грунбаум геометриялық қауымдастықты полистромата деп аталатын тұрақты политоптардың көбірек абстрактілі түрлерін қарастыруға шақырды. Ол полистромата теориясын жасап, шексіз көп жағы бар тұрақты политоптар, яғни тұрақты апиротоптар деп аталатын жаңа нысандардың мысалдарын көрсетті. Бұрышты апирогонның қарапайым мысалы – зигзаг. Ол тұрақты көпбұрыштың анықтамасына сай келеді: барлық қабырғалары бірдей ұзындықта, барлық бұрыштары тең, ал фигурада ашық ұштары жоқ (өйткені оларға ешқашан жете алмайсыз). Көбінесе маңыздысы, зигзагтың симметриясы бар, ол кез келген төбе және оған жалғанған қабырға жұбын кез келген басқа төбе мен қабырға жұбына бейімдей алады. Одан бері басқа тұрақты апирогондар мен жоғары апиротоптар да ашыла берді.

Қалыпты күрделі политоптар

Күрделі сан нақты бөліктен және жорамал бөліктен тұрады. Нақты бөлік – бәрімізге таныс нәрсе, ал жорамал бөлік минус бірдің квадрат түбірінің еселігі болып табылады. Күрделі Хилберт кеңістігінде x, y, z сияқты координаттар күрделі сандар түрінде болады. Бұл өлшемдер санын екі есеге арттырады. Мұндай біртұтас кеңістікте салынған көпбұрыш күрделі көпбұрыш деп аталады.

Абстрактілі политоптар

Грунбаум сондай-ақ 11 ұяшықты, төрт өлшемді өзіндік дуалды объектіні ашты, оның жақтары икосаэдр емес, "геми икосаэдр" – яғни, икосаэдрдің қарама-қарсы жақтарын бір жақ деп есептегенде пайда болатын пішін. Геми икосаэдрде тек 10 үшбұрышты жақ және 6 төбесі бар, ал икосаэдрде 20 жақ және 12 төбесі бар. Оқырманға бұл ұғымды түсіну үшін текше мен жартылай текше арасындағы қатынасты қарастыру оңайырақ болуы мүмкін. Көпбұрыштың 8 бұрышы бар, оларды А-дан H-ға дейін белгілеуге болады, мұнда А-ның қарсысы H, B-ның қарсысы G, және т.с.с. Жартылай текшеде А мен H бірдей бұрыш болып есептеледі. Сол сияқты B мен G де, және басқалары да. AB қабырғасы GH қабырғасымен бірдей болады, ал ABEF жағы CDGH жағымен бірдей болады. Жаңа пішінде үш жақ, 6 қабырға және 4 бұрыш бар. 11 ұяшықты тегіс (Евклидтік) гиперкөліктік кеңістікте тұрақты геометриямен құру мүмкін емес, ол тек оң қисық (эллипстік) гиперкөліктік кеңістікте ғана құрылуы мүмкін. Грунбаумның 11 ұяшықты ашқаннан кейін бірнеше жыл өткен соң, Х.С.М. Коксетер тәуелсіз түрде дәл осы пішінге қол жеткізді. Ол бұрын 57 ұяшықты (Coxeter 1982, 1984) деп аталатын ұқсас политопты ашқан болатын. 1994 жылға қарай Грунбаум политоптарды абстрактілі түрде нүктелер немесе төбелердің комбинаторлық жиынтығы ретінде қарастыра бастады және жақтарының жазықтығына мән бермеді. Ол және басқа зерттеушілер осы идеяларды жетілдірген сайын, мұндай жиынтықтар абстрактілі политоптар деп аталды. Абстрактілі политоп – элементтері политоптың жақтары (төбелер, қабырғалар, жақтар және т.б.) болып табылатын, ішінара реттелген жиынтық (посет) ретінде анықталады, олар кіріктірілу арқылы реттелген. Жиынтыққа классикалық тұрақты политоптардың (оның ішінде Платон денелерінің) қанағаттандыратын қасиеттеріне ұқсас белгілі бір шектеулер қойылады. Дегенмен, бұл шектеулер соншалықты еркін, тұрақты мозаикалар, жартылай текшелер және тіпті 11 ұяшық сияқты ерекше нысандардың бәрі де тұрақты политоптардың мысалдары болып табылады. Геометриялық политоп абстрактілі политоптың іске асырылуы ретінде түсініледі, яғни абстрактілі элементтер геометриялық іске асырылудың сәйкес жақтарына бір-бірге сәйкес келеді. Осылайша, кез келген геометриялық политопты тиісті абстрактілі жиынтық арқылы сипаттауға болады, бірақ барлық абстрактілі политоптардың геометриялық іске асырылуы жоқ. Бұл теория одан әрі дамыды, көбінесе, бірақ басқа зерттеушілер де үлес қосты.

Grünbaum also discovered the 11 cell, a four dimensional self dual object whose facets are not icosahedra, but are "hemi icosahedra" — that is, they are the shape one gets if one considers opposite faces of the icosahedra to be actually the same face The hemi icosahedron has only 10 triangular faces, and 6 vertices, unlike the icosahedron, which has 20 and 12. This concept may be easier for the reader to grasp if one considers the relationship of the cube and the hemicube. An ordinary cube has 8 corners, they could be labeled A to H, with A opposite H, B opposite G, and so on. In a hemicube, A and H would be treated as the same corner. So would B and G, and so on. The edge AB would become the same edge as GH, and the face ABEF would become the same face as CDGH. The new shape has only three faces, 6 edges and 4 corners. The 11 cell cannot be formed with regular geometry in flat (Euclidean) hyperspace, but only in positively curved (elliptic) hyperspace. A few years after Grünbaum's discovery of the 11 cell, H. S. M. Coxeter independently discovered the same shape. He had earlier discovered a similar polytope, the 57 cell (Coxeter 1982, 1984). By 1994 Grünbaum was considering polytopes abstractly as combinatorial sets of points or vertices, and was unconcerned whether faces were planar. As he and others refined these ideas, such sets came to be called abstract polytopes. An abstract polytope is defined as a partially ordered set (poset), whose elements are the polytope's faces (vertices, edges, faces etc.) ordered by containment. Certain restrictions are imposed on the set that are similar to properties satisfied by the classical regular polytopes (including the Platonic solids). The restrictions, however, are loose enough that regular tessellations, hemicubes, and even objects as strange as the 11 cell or stranger, are all examples of regular polytopes. A geometric polytope is understood to be a realization of the abstract polytope, such that there is a one to one mapping from the abstract elements to the corresponding faces of the geometric realisation. Thus, any geometric polytope may be described by the appropriate abstract poset, though not all abstract polytopes have proper geometric realizations. The theory has since been further developed, largely by , but other researchers have also made contributions.

Абстрактілі политоптардың тұрақтылығы

Тұрақтылық абстрактілі политоптар үшін байланысты, бірақ мағынасы басқаша, себебі бұрыштар мен қабырғалардың ұзындығы мағынасыз. Кіріспеде берілгендей, байрақтардың транзитивтілігі тұрақтылығының анықтамасы абстрактілі политоптарға қолданылады. Кез келген классикалық тұрақты политоптың жақтары жиынтығын алып, тұрақты абстрактілі эквиваленті болады. Бірақ, тұрақты емес классикалық политоптардың да тұрақты абстрактілі эквиваленттері болуы мүмкін, себебі абстрактілі политоптар бұрыштар мен қабырға ұзындығы туралы ақпаратты сақтап қалмайды, мысалы. Ал, тұрақты абстрактілі политоп классикалық политоп ретінде іске асырылмауы мүмкін. Мысалы, барлық көпбұрыштар абстрактілі әлемде тұрақты, ал классикалық әлемде тек қана тең бұрыштар мен тең ұзындықтағы қабырғалары барлар ғана тұрақты болып саналады.

Көпбұрыштар

Тұрақты көпбұрыш немесе жазықтықтағы кез келген басқа фигураны салудың дәстүрлі әдісі – компас пен түзу сызық арқылы. Кейбір тұрақты көпбұрыштарды осылай салу өте оңай (мысалы, теңқабырғалы үшбұрыш ең оңайы), ал кейбіреулері күрделірек, ал кейбіреулерін салу мүмкін емес ("салынбайды"). Салуға болмайтын ең қарапайым тұрақты көпбұрыштардың бірнешесі – n саны 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21-ге тең n қабырғалы көпбұрыштар. Осы мағынадағы салынбалылық тек идеалды құралдармен жасалатын идеалды құрылыстарды білдіреді. Әрине, әртүрлі әдістермен жеткілікті дәл жуықтамалар жасауға болады, ал теориялық тұрғыдан мүмкін болатын құрылыстар практикалық бола бермейді.

Көпбұрышты

Евклидтің "Элементтері" бес Платондық қатты денелерді салу үшін сызғыш пен циркуль қолдануға мүмкіндік берді. Дегенмен, кеңістікте тік сызықты қалай жүргізуге болады деген қарапайым практикалық сұрақ, тіпті сызғышпен болса да, тұрақты көпбұрышты "салу" дегеннің не екенін күмәндануға әкелуі мүмкін. (Осындай сұрақ көпбұрыштар туралы да қойылуы мүмкін.) "Construct" деген ағылшын сөзі, салынған нәрсені жүйелі түрде жасау мағынасын білдіреді. Тұрақты көпбұрышты салудың ең көп таралған тәсілі – ашылатын желі арқылы. Көпбұрыштың ашылатын желісін алу үшін, көпбұрыштың бетін алып, оны жазыққа жаюға жеткілікті жиектерін кесіп аламыз. Бұл ашылған көпбұрыштың желісіне жоспар береді. Платондық қатты денелердің беттері тек үшбұрыштардан, төртбұрыштардан және бесбұрыштардан тұрады, ал оларды сызғыш пен циркульмен салуға болады, сондықтан осы ашылатын желілерді салу үшін сызғыш пен циркуль әдістері бар. Бұл жұлдызды көпбұрыштарға да қатысты, бірақ мұнда тек сыртқы көрінетін беті үшін ғана желі жасауға сақтық таныту керек. Егер бұл желі картонға немесе осыған ұқсас иілгіш материалға (мысалы, металл параққа) салынса, оны кесіп, кесілмеген жиектерінен бүгіп, тиісті кесілген жиектерін біріктіріп, желі жобаланған көпбұрышты құрастыруға болады. Әрбір көпбұрыш үшін көптеген ашылатын желілер болуы мүмкін. Мысалы, текше үшін 11, ал он екібұрыш үшін 900 000-нан астам. Жасөспірімдерге және ересектерге арналған көптеген ойыншықтар тұрақты көпбұрыштар мен көпбұрыштармен тәжірибе жасауға мүмкіндік береді. Мысалы, Klikko пластикалық үшбұрыштардан, төртбұрыштардан, бесбұрыштардан және алтыбұрыштардан тұратын жиынтық ұсынады, оларды әртүрлі жолдармен жиектерінен біріктіруге болады. Мұндай ойыншықпен ойнаған бала Платондық (немесе Архимедтік) қатты денелерді қайта ашуы мүмкін, әсіресе білімді ересек адамның көмегімен. Теориялық тұрғыдан алғанда, тұрақты көпбұрыштарды салу үшін кез келген материалды қолдануға болады. Оларды ағаштан ойып жасауға, сымнан модельдеуге, боялған шыныдан құрастыруға болады. Көзге көрінетін нәрсенің шегі жоқ.

Euclid's Elements gave what amount to ruler and compass constructions for the five Platonic solids. However, the merely practical question of how one might draw a straight line in space, even with a ruler, might lead one to question what exactly it means to "construct" a regular polyhedron. (One could ask the same question about the polygons, of course.) The English word "construct" has the connotation of systematically building the thing constructed. The most common way presented to construct a regular polyhedron is via a fold out net. To obtain a fold out net of a polyhedron, one takes the surface of the polyhedron and cuts it along just enough edges so that the surface may be laid out flat. This gives a plan for the net of the unfolded polyhedron. Since the Platonic solids have only triangles, squares and pentagons for faces, and these are all constructible with a ruler and compass, there exist ruler and compass methods for drawing these fold out nets. The same applies to star polyhedra, although here we must be careful to make the net for only the visible outer surface. If this net is drawn on cardboard, or similar foldable material (for example, sheet metal), the net may be cut out, folded along the uncut edges, joined along the appropriate cut edges, and so forming the polyhedron for which the net was designed. For a given polyhedron there may be many fold out nets. For example, there are 11 for the cube, and over 900000 for the dodecahedron. Numerous children's toys, generally aimed at the teen or pre teen age bracket, allow experimentation with regular polygons and polyhedra. For example, klikko provides sets of plastic triangles, squares, pentagons and hexagons that can be joined edge to edge in a large number of different ways. A child playing with such a toy could re discover the Platonic solids (or the Archimedean solids), especially if given a little guidance from a knowledgeable adult. In theory, almost any material may be used to construct regular polyhedra. They may be carved out of wood, modeled out of wire, formed from stained glass. The imagination is the limit.

Жоғары өлшемдер

Жоғары өлшемдерде объектіні "құру" дегенді түсіну қиынға соғады. 3 өлшемді әлемде 4 немесе одан көп өлшемді нысанның физикалық моделін жасау мүмкін емес. Бұл мәселені шешу үшін бірнеше тәсілдер қолданылады. Төрт өлшемге арналған бірінші тәсіл төрт өлшемді стереографияны пайдаланады. Біз тіпті осы бүктеліп жазылатын тордың моделін жасауды, қағазға көпбұрыштың жазылатын торын салғандай елестетуіміз мүмкін. Алайда, физикалық әлемнің шектеулеріне байланысты 3 өлшемді құрылымды 4 өлшемді политоп алу үшін қажетті бүктеуді ешқашан жасай алмаймыз. Жоғары өлшемді пішіндерді 3 өлшемде "бейнелеудің" тағы бір жолы – проекцияның бір түрі, мысалы, орфографиялық немесе перспективалық проекцияның аналогы. Коксетердің политоптар туралы танымал кітабында мұндай орфографиялық проекциялардың мысалдары бар. Тіпті 4 өлшемді полихораны тікелей 2 өлшемге енгізудің өзі де шатастырады. Проекциялардың 3D модельдерін түсіну оңайырақ. Мұндай модельдерді кейде ғылым музейлерінде немесе университеттердің математика факультеттерінде (мысалы, Брюссельдің еркін университетінде) кездестіруге болады. Төрт (немесе одан жоғары) өлшемді тұрақты политоптың үш өлшемді гипержазықпен қиылысы политоп болады (қажетті түрде тұрақты емес). Егер гипержазық пішін арқылы жылжыса, үш өлшемді қималар біріктіріліп, төрт өлшемді нысанға айналады, онда төртінші өлшем уақыт ретінде қарастырылады. Осылайша, біз (толыққанды түсінбесек те) осындай қималар арқылы төрт өлшемді тұрақты политоптардың толық төрт өлшемді құрылымын көре аламыз. Бұл КТ-ның екі өлшемді суреттерді сканерленген органдардың үш өлшемді бейнесі ретінде қайта құрауына ұқсас. Идеалы – қандай да бір анимациялық голограмма болса керек, бірақ көрсетілгендей қарапайым анимация да политоптың құрылымы туралы шектеулі түсінік бере алады. Үш өлшемді көрермен төрт өлшемді политоптың құрылымын түсінудің тағы бір жолы – объектіге "шоғылу", мүмкін виртуалды шындық технологиясының көмегімен. Бұл қалай жұмыс істейтінін түсіну үшін, кеңістік текшелермен толтырылса не көретінімізді елестетіңіз. Көрермен бір текшеде болады және алдында, артында, жоғарыда, төменде, сол және оң жақтағы текшелерді көре алады. Егер ол осы бағыттарда жылса, текшелер массивін зерттеп, оның геометриялық құрылымын түсіне алады. Текшелердің шексіз массиві дәстүрлі мағынада политоп емес. Шын мәнінде, бұл 3 өлшемді (Евклидтік) кеңістіктің кескіні. Дегенмен, 4 политопты 3 өлшемді Евклидтік емес кеңістіктің кескіні деп қарастыруға болады, атап айтқанда, төрт өлшемді сфераның (төрт өлшемді сфералық кескінінің) бетінің кескіні. Жергілікті жағдайда бұл кеңістік бізге таныс сияқты көрінеді, сондықтан виртуалды шындық жүйесін қағида бойынша осы "кескіндерді", яғни 4 өлшемді тұрақты политоптарды зерттеуге мүмкіндік беретіндей бағдарламалауға болады. UIUC математика факультетінде гиперболалық кеңістіктің додекаэдрлармен кескіленгенінде не көретініміздің бірнеше суреттері бар. Мұндай кескілену шексіз абстрактілі тұрақты политоптың мысалы болып табылады. Әдетте, абстрактілі тұрақты политоптар үшін математик объектінің симметрия тобының құрылымы белгілі болса, ол "құрылған" деп санайды. Бұл абстрактілі тұрақты политоптарды зерттеудегі маңызды теоремамен байланысты, ол абстрактілі тұрақты политопты оның симметрия тобынан стандартты және қарапайым түрде құруға мүмкіндік беретін әдіс ұсынады.

In higher dimensions, it becomes harder to say what one means by "constructing" the objects. Clearly, in a 3 dimensional universe, it is impossible to build a physical model of an object having 4 or more dimensions. There are several approaches normally taken to overcome this matter. The first approach, suitable for four dimensions, uses four dimensional stereography. One might even imagine building a model of this fold out net, as one draws a polyhedron's fold out net on a piece of paper. Sadly, we could never do the necessary folding of the 3 dimensional structure to obtain the 4 dimensional polytope because of the constraints of the physical universe. Another way to "draw" the higher dimensional shapes in 3 dimensions is via some kind of projection, for example, the analogue of either orthographic or perspective projection. Coxeter's famous book on polytopes has some examples of such orthographic projections. Note that immersing even 4 dimensional polychora directly into two dimensions is quite confusing. Easier to understand are 3 d models of the projections. Such models are occasionally found in science museums or mathematics departments of universities (such as that of the Université Libre de Bruxelles). The intersection of a four (or higher) dimensional regular polytope with a three dimensional hyperplane will be a polytope (not necessarily regular). If the hyperplane is moved through the shape, the three dimensional slices can be combined, animated into a kind of four dimensional object, where the fourth dimension is taken to be time. In this way, we can see (if not fully grasp) the full four dimensional structure of the four dimensional regular polytopes, via such cutaway cross sections. This is analogous to the way a CAT scan reassembles two dimensional images to form a 3 dimensional representation of the organs being scanned. The ideal would be an animated hologram of some sort, however, even a simple animation such as the one shown can already give some limited insight into the structure of the polytope. Another way a three dimensional viewer can comprehend the structure of a four dimensional polytope is through being "immersed" in the object, perhaps via some form of virtual reality technology. To understand how this might work, imagine what one would see if space were filled with cubes. The viewer would be inside one of the cubes, and would be able to see cubes in front of, behind, above, below, to the left and right of himself. If one could travel in these directions, one could explore the array of cubes, and gain an understanding of its geometrical structure. An infinite array of cubes is not a polytope in the traditional sense. In fact, it is a tessellation of 3 dimensional (Euclidean) space. However, a 4 polytope can be considered a tessellation of a 3 dimensional non Euclidean space, namely, a tessellation of the surface of a four dimensional sphere (a 4 dimensional spherical tiling). Locally, this space seems like the one we are familiar with, and therefore, a virtual reality system could, in principle, be programmed to allow exploration of these "tessellations", that is, of the 4 dimensional regular polytopes. The mathematics department at UIUC has a number of pictures of what one would see if embedded in a tessellation of hyperbolic space with dodecahedra. Such a tessellation forms an example of an infinite abstract regular polytope. Normally, for abstract regular polytopes, a mathematician considers that the object is "constructed" if the structure of its symmetry group is known. This is because of an important theorem in the study of abstract regular polytopes, providing a technique that allows the abstract regular polytope to be constructed from its symmetry group in a standard and straightforward manner.